“植樹問題”教學實錄與評析

1、“植樹問題”教學實錄與評析“植樹問題”教學實錄與評析丁麗執(zhí)教張新春.評析(1.長沙市岳麓區(qū)高新博才學校湖南長沙4100132.長沙市岳麓區(qū)教研室湖南長沙410013)教學目標:1.通過實驗探究,理解植樹問題中棵數(shù)與段數(shù)的關系.2.通過學生自主實驗,探究,交流,發(fā)現(xiàn)規(guī)律,培養(yǎng)學生動手操作,初步探究,合作交流的能力;滲透數(shù)形結合的思想,培養(yǎng)學生借助圖形解決問題的意識和針對不同問題的特點靈活解決問題的能力.3.滲透歸納推理和轉化的思想,方法,培養(yǎng)學生研究問題的科學素養(yǎng).教學過程:一,開門見山.揭示課題1.板書課題:植樹問題.2.講述課前調(diào)查一事.師:為了上好”植樹問題”,上課前,我在三個學校分別找了

2、三,四年級同學,讓他們做了幾道題.其中,第一題三年級同學做得不錯,四年級中沒學過植樹問題的同學也做得挺好,可偏偏就是學過植樹問題的同學錯誤不少,大家想看看是什么題嗎?你也試試?待會兒我出示題目后,請你把算式和答案記在心里,想好了就舉手,看誰快!我先讀題,準備好了嗎?二,師生互動,探尋棵數(shù)與段數(shù)的關系1.尋求段數(shù)的計算方法.出示題目:120米的路,每20米一段,可以分成幾段?師讀題,指名回答(有學生認為是7段),并出示學生的一些錯誤做法(如下圖),再引導學生討論并統(tǒng)一算法.師小結:求幾段,就是看120里面有幾個20,直接用除法計算.2.引發(fā)爭議,聚焦段數(shù)與棵數(shù)的關系.師:還是這120米的路,也還

3、是每20米一段,只不過我們要在這條路上種樹.(出示題目:在一條120米的路的一邊種樹,每隔20米種一棵(兩端都種),一共要種幾棵樹?)請把你的算式和答案寫在紙上.生獨立練習,師巡視,并收集幾種典型做法進行展示.j:12020=6(棵),12020+1=7(棵).師引導學生找出不同做法中相同的一步120課鏈攮“:糍;田團圓匝皿啊20,然后提示學生,這步求的是什么?學生意見統(tǒng)一,都認為求的是段數(shù).師:看來,12020求出的就是段數(shù),而題目要求的是多少棵.有的同學認為是用段數(shù)加1,有的認為不要加,到底誰對呢?有什么好的辦法來判斷?生:畫個圖,看看是誰對13.畫圖驗證,初步感知研究的方法.師:你會畫圖

4、嗎?請說說要畫些什么?生動手畫圖驗證,師適時指導并選擇一個學生的畫法予以展示.師:大家一起看看他畫了幾段?我們一起數(shù)數(shù).(指著學生的圖,帶大家數(shù))是幾棵?學生一齊數(shù)出是7棵.師:那誰對了?(根據(jù)學生的回答板書:)師:剛才我們求出的是6段,就畫6段來進行驗證.這就是直接檢驗,其結論是非常令人信服的14尋找事實,總結棵數(shù)與段數(shù)間的規(guī)律.師:在實際生活中,種樹的這條路往往不止120米,如果是1200米的路,那么先求什么?生l:段數(shù),120020=60段.師:然后呢?生:我認為再加1棵,是61棵.生:我覺得應當/i/2棵.生:我認為是加10棵,70棵.師:又出現(xiàn)不同意見了,該怎樣判斷?還是畫圖?好,我

5、們一起來畫.怎么畫?生:畫60段.老師試著畫60段,畫到第9段就已經(jīng)畫到黑板的一盡頭了,碰到困難.教師趁機引導學生討論,最終確定研究方法:可以少畫一點,找規(guī)律.教師示范畫線段圖,帶領學生研究規(guī)律.師:看來,在這種情況下,棵數(shù)就等于段數(shù)加1.(板書結論)在這里,我們通過一兩個事實產(chǎn)生了一種想法,再通過尋求更多的事實驗證這種猜測,這就是研究.5.男辟新路,學習兩端都不種的情況.出示題目:卡通世界一號樓與二號樓之間有一條號月7年影隧甓曩匝圃函啞衄;善;:”600米長的路,計劃在路的一邊種樹,相鄰兩棵樹之間的距離是3米.一共要栽幾棵樹?生獨立完成表格,研究題中棵數(shù)與段數(shù)的關系.(出示表格)(1)m一畫

6、,填一填總長(米)每段長度(米)段數(shù)示意圖叫棵數(shù)63931233(2)請用一句話或一個算式表達棵數(shù)與段數(shù)的規(guī)律:.學生獨立做,師巡視時強調(diào)最后一行留給學生自己去探究,重點檢查圖的畫法.請學生上臺匯報,說說自己是怎樣研究的.師:(板書結論)你們真了不起,那這個題該怎樣解答呢?同桌互相說一說,然后全班交流.6.峰回路轉,學習封閉的情況.師:在生活中,還有這樣的種樹情況.(出示題目:圓形廣場一周全長400米.沿這一圈每隔5米種一棵小松樹,一共需要種幾棵小松樹?)情況好像又變了,是不是啊?(請學生說區(qū)別)那么這個題你準備怎么研究?請獨立研究,用事實來說話!學生小組合作,研究規(guī)律后集體匯報.(板書結論)

7、師小結:通過研究,我們一共得到了三個結論:兩端都種時,棵數(shù)=段數(shù)+l;兩端都不種時,棵數(shù)=段數(shù)一l;在封閉圖形中,棵數(shù)=段數(shù).(邊說邊貼出三幅圖,并板書)棵數(shù):段數(shù)+l嘈._靜棵數(shù):段數(shù)一l靜.鼉卜晦一棵數(shù):段數(shù)n,鴦/三,聯(lián)系生活,拓展應用師:其實,植樹問題也可以不植樹的!來,一起看看!師生一起欣賞生活中的植樹問題圖片.師:小朋友排隊回家,這里面也蘊含著植樹問題,你看出來了嗎?如果要解決這個問題,應當畫哪幅圖研究?生:第一幅圖.把學生看成樹,每兩人間的距離看成段數(shù).一師:那,如果是在溜冰場四周立路燈呢?生:畫第j幅圖.師:鋸木頭呢?生,:畫第二幅圖,因為鋸的次數(shù)就相當于棵數(shù).師:如果要把木頭

8、鋸成暇,要鋸幾次?說說怎樣思考?師根據(jù)學生回答出示算式,統(tǒng)一做法.四,總結分析,滲透解決問題的策略師:今天大家做的這幾個題就是丁老師課前調(diào)查的題.事后,我專門和幾個做這些題出了錯的同學進行了交談.他們說:剛學的時候我記得很清楚,后來就迷糊了,不知道什么時候加l,什么時候減l,什么時候不加也不減.的確,公式這么多,要記牢還挺不容易的.要是真忘了,你有辦法把它找回來嗎?生:我們可以再畫圖,看看棵數(shù)和段數(shù)是什么關系.師:對!這就是一個簡單的找回這些公式的辦法.既然公式忘記了還可以有這么簡單的辦法找回來,那公式就不是那么重要了,對嗎?這樣的話,老師就把這些公式都擦掉了.但老師提醒大家,畫圖,驗證,研究

9、,找事實,尋求規(guī)律,這些你可千萬別忘了!評析談談對以下三個問題的認識.1.植樹問題是一個什么樣的問題?在一條路上種樹,這些樹把一條路平均分成了若干段,若只考慮這條路的長度與分成的段數(shù)以及每一段的長度,則只是一個簡單的數(shù)量關系(簡單的乘法或除法).若僅僅是這樣,植樹問題還沒有資格成為一個值得專門取個名字加以研究的問題,就像若干個小朋友平均分一些蘋果的問題一樣,不必專門取個叫”分蘋果問題”的名字來加以研究一樣.可我們關注的是種的樹的棵數(shù),而棵數(shù)與分成的段數(shù)關系密切且往往不相等,于是就有了研究在各種植樹情況條件下,棵數(shù)與段數(shù)的關系問題的植樹問題.更因為一段段的路與一棵棵的樹間隔著排列,這種間隔計數(shù)是

10、一個很重要的數(shù)學模型,不僅在解決植樹問題中有用,在其他很多現(xiàn)實生活問題和數(shù)學問題中同樣常見從生活中的計算日期(6月10日到6月15日共多少天),計算年齡到數(shù)學中的等差數(shù)列,等比數(shù)列求項數(shù),都能見到間隔計數(shù)的影子.于是,以植樹為載體來研究這類問隔計數(shù)模型就顯得重要了.2.學生在植樹問題的學習中應該獲得什么?植樹問題是奧數(shù)中的經(jīng)典問題.有不少學生此前均學習過植樹問題,那么學生在通常的植樹問題學習中能獲得些什么呢?學生通常能得到兩個方面的收獲.一是知道植樹問題這個名字,知道大凡在”一條路上種樹”這樣的問題,往往就是植樹問題,還知道(或隱隱約約知道)植樹問題有很多種情況.二是知道解決植樹問題的2008

11、年7月號5;公式里經(jīng)常有加1,減1,有些學生能準確地記得什么情況下加1,什么情況下減1,有些學生記得不那么清楚.因此,學過植樹問題的學生解決這類問題時通常是進行模式識別:植樹問題嗎?兩端都種嗎?加1嗎?這些學生解這類問題的速度往往很快,題目看完即可動手,但也常常由于模式識別不清,加1,減1之類記憶不準而犯錯誤,甚至把一些簡單的問題錯誤地識別為植樹問題加以解決(這些從丁老師的調(diào)查中都可以得到印證),并且學生往往很少對自己的答案產(chǎn)生過懷疑,沒有能力(也沒有意識到)想辦法檢驗一下自己的答案.同時,學生對為什么加1,減1的認識往往停留在記憶的水平上,盡管老師問學生”為什么要加1”時,學生往往也會回答”

12、因為兩端都要種”,但這也只是記憶,即在學生認知結構中,加1與兩端都種之間的聯(lián)系是淺層次的,機械的.從問題解決的角度看,植樹問題只應該是載體,是提高學生解決問題能力的載體.于是,教學植樹問題的目的應該不僅僅是讓學生能很快對各類植樹問題的模式進行快速識別,并能準確地利用相應的公式解決之.解決問題的能力更多地體現(xiàn)在解決一個新的問題的過程中,即在面臨一個新問題時,誰有更多的手段來研究并解決它.于是,我們不妨設想一個解決問題的能力比較強,卻從來不知道植樹問題為何物的人怎樣解決”在1200米的路的一邊種樹(兩端都要種),每隔3米種一棵,一共要種多少棵?”的問題.首先,這個人應該能憑直覺意識到應先求出這條路

13、被分成了多少段.他能很快算出12003=400,接下來應該要能意識到求出來的400是段數(shù),不能貿(mào)然地認為就是400棵,還得研究一下棵數(shù)與段數(shù)之間的關系(這事實上即是一個成熟的解決問題者與一個新手的區(qū)別,新手可能就下結論了!).弄清棵數(shù)與段數(shù)之間的關系對于這個解決問題能力比較強的人來說應該不是難事,只需通過一個簡單的圖示來解決(這種圖示可能被畫在紙上,也可能只出現(xiàn)在解決問題者的頭腦里).在這一個個圖示中,這個解決問題者即發(fā)現(xiàn)了一種模式(是發(fā)現(xiàn),不是記憶)原來還要加1.(我們說數(shù)學是關于模式的科學,其意義也許可以從這里看到一點點吧)我們所設想的這個解決問題者面對問題的態(tài)度,研究問題的手段就是學生在

14、學習植樹問題時特別要獲得的13.植樹問題的教學要注意什么?值得一提的是,丁老師設計本節(jié)課時能從調(diào)查了解學生的學習現(xiàn)狀開始,本身就是一種難能可貴的研究態(tài)度.發(fā)現(xiàn)問題(可以是通過調(diào)查,也可以是通過其他手段),尋找原因,有針對性地設計教學解決問題,這也應成為教學設計的基本程序.我們認為,植樹問題的教學首先要注重培養(yǎng)學生面氓麓攮“:掰疆田墨函啞皿目對問題時的態(tài)度研究的態(tài)度.有經(jīng)驗的老師往往會有這樣的體會:很多學生在面臨一個問題時,首先就會在記憶中搜索:老師以前有沒有教過這類問題?如果得到否定的回答,就會認為這樣的題目很難,并往往由此選擇放棄,即沒有解決一個新問題的勇氣和愿望.丁老師在本課中特別關注學生

15、用研究的態(tài)度面對數(shù)學問題(這一點,從丁老師的一些課堂用語中不難看出).”情況又變了,怎么辦呢?如何研究?”,”又有了不同意見,誰的意見正確呢?如何檢驗?”這些話在不停地告訴學生:面對新的問題是正常的,要有研究的態(tài)度;有不同意見也是正常的,要尋找事實支持,用事實說話,而這些正是研究的態(tài)度.其次要注意合理處理教材彳艮多老師在植樹問題的教學時,都是只教”不封閉”的情況(甚至是”不封閉”情況中的部分類型”兩端都種”或”兩端都不種”),并認為如果一節(jié)課涉及的情況過多,學生可能不能熟練地掌握,從而導致教學效果不理想.這種觀點認為,研究一種情況比研究多種情況更能深入,教學一個例題比教學多個例題更為容易.事實

16、上,有時候情況恰好相反,用波利亞的話說:”多個問題也許比一個問題容易回答,較全面的定理可能更容易證明,較普通的題目可能更容易回答”(怎樣解題第101頁,上?？萍冀逃霭嫔?.并指出出現(xiàn)這種”悖論”的原因是”洞察了超越那些表面現(xiàn)象的東西”.我們認為,丁老師把植樹問題的各種情況全部呈現(xiàn),讓它們在研究的態(tài)度,在畫圖,找規(guī)律,驗證等研究問題的基本方法這些”超越表面現(xiàn)象的東西”之下統(tǒng)一起來,正是培養(yǎng)學生解決問題能力的好辦法.第三,要正確看待植樹問題的公式.公式是對植樹問題中數(shù)量關系的概括和總結,當然是重要的,但是比起獲取這些公式的方法來說,其重要性又是次之的.特別是具體到植樹問題中棵數(shù)與段數(shù)關系的公式,如果有研究的態(tài)度,有畫圖確認的意識,是不難得到的.因此,從這個意義上講,這些公式又是不重要的.丁老師的這種價值取向在她看待三個公式的態(tài)度上有明顯體現(xiàn)這些不重