初中數學復習知識匯總及解析(代數部分)

1、初中數學復習知識匯總及解析代數部分一、實數基礎知識點：一、實數的分類：1、有理數：任何一個有理數總可以寫成的形式，其中p、q是互質的整數，這是有理數的重要特征。2、無理數：初中遇到的無理數有三種：開不盡的方根，如、；特定結構的不限環(huán)無限小數，如1.101001000100001；特定意義的數，如、等。3、判斷一個實數的數性不能僅憑表面上的感覺，往往要經過整理化簡后才下結論。二、實數中的幾個概念1、相反數：只有符號不同的兩個數叫做互為相反數。（1）實數a的相反數是 -a； （2）a和b互為相反數a+b=02、倒數：（1）實數a（a0）的倒數是；（2）a和b 互為倒數；（3）注意0沒有倒數3、絕對

2、值：（1）一個數a 的絕對值有以下三種情況：（2）實數的絕對值是一個非負數，從數軸上看，一個實數的絕對值，就是數軸上表示這個數的點到原點的距離。（3）去掉絕對值符號（化簡）必須要對絕對值符號里面的實數進行數性（正、負）確認，再去掉絕對值符號。4、n次方根（1）平方根，算術平方根：設a0，稱叫a的平方根，叫a的算術平方根。（2）正數的平方根有兩個，它們互為相反數；0的平方根是0；負數沒有平方根。（3）立方根：叫實數a的立方根。（4）一個正數有一個正的立方根；0的立方根是0；一個負數有一個負的立方根。三、實數與數軸1、數軸：規(guī)定了原點、正方向、單位長度的直線稱為數軸。原點、正方向、單位長度是數軸的

3、三要素。2、數軸上的點和實數的對應關系：數軸上的每一個點都表示一個實數，而每一個實數都可以用數軸上的唯一的點來表示。實數和數軸上的點是一一對應的關系。四、實數大小的比較1、在數軸上表示兩個數，右邊的數總比左邊的數大。2、正數大于0；負數小于0；正數大于一切負數；兩個負數絕對值大的反而小。五、實數的運算1、加法：（1）同號兩數相加，取原來的符號，并把它們的絕對值相加；（2）異號兩數相加，取絕對值大的加數的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值。可使用加法交換律、結合律。2、減法：減去一個數等于加上這個數的相反數。3、乘法：（1）兩數相乘，同號取正，異號取負，并把絕對值相乘。（2）n個實數相乘，有

4、一個因數為0，積就為0；若n個非0的實數相乘，積的符號由負因數的個數決定，當負因數有偶數個時，積為正；當負因數為奇數個時，積為負。（3）乘法可使用乘法交換律、乘法結合律、乘法分配律。4、除法：（1）兩數相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除。（2）除以一個數等于乘以這個數的倒數。（3）0除以任何數都等于0，0不能做被除數。5、乘方與開方：乘方與開方互為逆運算。6、實數的運算順序：乘方、開方為三級運算，乘、除為二級運算，加、減是一級運算，如果沒有括號，在同一級運算中要從左到右依次運算，不同級的運算，先算高級的運算再算低級的運算，有括號的先算括號里的運算。無論何種運算，都要注意先定符號后運算。六

5、、有效數字和科學記數法1、科學記數法：設N0，則N= a（其中1a10，n為整數）。2、有效數字：一個近似數，從左邊第一個不是0的數，到精確到的數位為止，所有的數字，叫做這個數的有效數字。精確度的形式有兩種：（1）精確到那一位；（2）保留幾個有效數字。例題：例1、已知實數a、b在數軸上的對應點的位置如圖所示，且。化簡：分析：從數軸上a、b兩點的位置可以看到：a0，b0且所以可得：解：例2、若，比較a、b、c的大小。分析：；c0；所以容易得出：abc。解：略例3、若互為相反數，求a+b的值分析：由絕對值非負特性，可知，又由題意可知：所以只能是：a2=0，b+2=0，即a=2，b= 2 ，所以a+

6、b=0解：略例4、已知a與b互為相反數，c與d互為倒數，m的絕對值是1，求的值。解：原式=例5、計算：（1） （2）解：（1）原式=（2）原式=二、代數式基礎知識點：一、代數式1、代數式：用運算符號把數或表示數的字母連結而成的式子，叫代數式。單獨一個數或者一個字母也是代數式。2、代數式的值：用數值代替代數里的字母，計算后得到的結果叫做代數式的值。3、代數式的分類：二、整式的有關概念及運算1、概念（1）單項式：像x、7、，這種數與字母的積叫做單項式。單獨一個數或字母也是單項式。單項式的次數：一個單項式中，所有字母的指數叫做這個單項式的次數。單項式的系數：單項式中的數字因數叫單項式的系數。（2）多

7、項式：幾個單項式的和叫做多項式。多項式的項：多項式中每一個單項式都叫多項式的項。一個多項式含有幾項，就叫幾項式。多項式的次數：多項式里，次數最高的項的次數，就是這個多項式的次數。不含字母的項叫常數項。升（降）冪排列：把一個多項式按某一個字母的指數從?。ù螅┑酱螅ㄐ。┑捻樞蚺帕衅饋恚凶霭讯囗検桨催@個字母升（降）冪排列。（3）同類項：所含字母相同，并且相同字母的指數也分別相同的項叫做同類項。2、運算（1）整式的加減：合并同類項：把同類項的系數相加，所得結果作為系數，字母及字母的指數不變。 去括號法則：括號前面是“+”號，把括號和它前面的“+”號去掉，括號里各項都不變；括號前面是“”號，把括號和它

8、前面的“”號去掉，括號里的各項都變號。 添括號法則：括號前面是“+”號，括到括號里的各項都不變；括號前面是“”號，括到括號里的各項都變號。 整式的加減實際上就是合并同類項，在運算時，如果遇到括號，先去括號，再合并同類項。 （2）整式的乘除： 冪的運算法則：其中m、n都是正整數 同底數冪相乘：；同底數冪相除：；冪的乘方：積的乘方：。 單項式乘以單項式：用它們系數的積作為積的系數，對于相同的字母，用它們的指數的和作為這個字母的指數；對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數作為積的一個因式。 單項式乘以多項式：就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加。 多項式乘以多項式：先用一個多項式

9、的每一項乘以另一個多項式的每一項，再把所得的積相加。 單項除單項式：把系數，同底數冪分別相除，作為商的因式，對于只在被除式里含有字母，則連同它的指數作為商的一個因式。 多項式除以單項式：把這個多項式的每一項除以這個單項，再把所得的商相加。 乘法公式： 平方差公式：；完全平方公式：，三、因式分解 1、因式分解概念：把一個多項式化成幾個整式的積的形式，叫因式分解。 2、常用的因式分解方法： （1）提取公因式法： （2）運用公式法：平方差公式：；完全平方公式：（3）十字相乘法：（4）分組分解法：將多項式的項適當分組后能提公因式或運用公式分解。（5）運用求根公式法：若的兩個根是、，則有：3、因式分解的

10、一般步驟：（1）如果多項式的各項有公因式，那么先提公因式；（2）提出公因式或無公因式可提，再考慮可否運用公式或十字相乘法；（3）對二次三項式，應先嘗試用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法。（4）最后考慮用分組分解法。四、分式 1、分式定義：形如的式子叫分式，其中A、B是整式，且B中含有字母。 （1）分式無意義：B=0時，分式無意義； B0時，分式有意義。 （2）分式的值為0：A=0，B0時，分式的值等于0。 （3）分式的約分：把一個分式的分子與分母的公因式約去叫做分式的約分。方法是把分子、分母因式分解，再約去公因式。 （4）最簡分式：一個分式的分子與分母沒有公因式時，叫做最簡分式。分式運算的

11、最終結果若是分式，一定要化為最簡分式。 （5）通分：把幾個異分母的分式分別化成與原來分式相等的同分母分式的過程，叫做分式的通分。 （6）最簡公分母：各分式的分母所有因式的最高次冪的積。 （7）有理式：整式和分式統(tǒng)稱有理式。 2、分式的基本性質： （1）；（2） （3）分式的變號法則：分式的分子，分母與分式本身的符號，改變其中任何兩個，分式的值不變。 3、分式的運算： （1）加、減：同分母的分式相加減，分母不變，分子相加減；異分母的分式相加減，先把它們通分成同分母的分式再相加減。 （2）乘：先對各分式的分子、分母因式分解，約分后再分子乘以分子，分母乘以分母。 （3）除：除以一個分式等于乘上它的倒

12、數式。 （4）乘方：分式的乘方就是把分子、分母分別乘方。五、二次根式 1、二次根式的概念：式子叫做二次根式。 （1）最簡二次根式：被開方數的因數是整數，因式是整式，被開方數中不含能開得盡方的因式的二次根式叫最簡二次根式。 （2）同類二次根式：化為最簡二次根式之后，被開方數相同的二次根式，叫做同類二次根式。 （3）分母有理化：把分母中的根號化去叫做分母有理化。 （4）有理化因式：把兩個含有二次根式的代數式相乘，如果它們的積不含有二次根式，我們就說這兩個代數式互為有理化因式（常用的有理化因式有：與；與） 2、二次根式的性質： （1） ；（2）；（3）（a0，b0）；（4） 3、運算： （1）二次根

13、式的加減：將各二次根式化為最簡二次根式后，合并同類二次根式。 （2）二次根式的乘法：（a0，b0）。 （3）二次根式的除法： 二次根式運算的最終結果如果是根式，要化成最簡二次根式。例題：一、因式分解： 1、提公因式法：例1、分析：先提公因式，后用平方差公式解：略規(guī)律總結因式分解本著先提取，后公式等，但應把第一個因式都分解到不能再分解為止，往往需要對分解后的每一個因式進行最后的審查，如果還能分解，應繼續(xù)分解。2、十字相乘法：例2、（1）；（2）分析：可看成是和(x+y)的二次三項式，先用十字相乘法，初步分解。解：略規(guī)律總結應用十字相乘法時，注意某一項可是單項的一字母，也可是某個多項式或整式，有時

14、還需要連續(xù)用十字相乘法。3、分組分解法：例3、分析：先分組，第一項和第二項一組，第三、第四項一組，后提取，再公式。解：略規(guī)律總結對多項式適當分組轉化成基本方法因式分組，分組的目的是為了用提公因式，十字相乘法或公式法解題。4、求根公式法：例4、解：略二、式的運算巧用公式 例5、計算：分析：運用平方差公式因式分解，使分式運算簡單化。解：略規(guī)律總結抓住三個乘法公式的特征，靈活運用，特別要掌握公式的幾種變形，公式的逆用，掌握運用公式的技巧，使運算簡便準確。2、化簡求值：例6、先化簡，再求值：，其中x= 1 y =解：略規(guī)律總結一定要先化到最簡再代入求值，注意去括號的法則。3、分式的計算：例7、化簡分析

15、： 可看成解：略規(guī)律總結分式計算過程中：（1）除法轉化為乘法時，要倒轉分子、分母；（2）注意負號4、根式計算例8、已知最簡二次根式和是同類二次根式，求b的值。分析：根據同類二次根式定義可得：2b+1=7b。解：略規(guī)律總結二次根式的性質和運算是中考必考內容，特別是二次根式的化簡、求值及性質的運用是中考的主要考查內容。三、方程和方程組基礎知識點：一、方程有關概念 1、方程：含有未知數的等式叫做方程。 2、方程的解：使方程左右兩邊的值相等的未知數的值叫方程的解，含有一個未知數的方程的解也叫做方程的根。 3、解方程：求方程的解或方判斷方程無解的過程叫做解方程。 4、方程的增根：在方程變形時，產生的不適

16、合原方程的根叫做原方程的增根。 二、一元方程 1、一元一次方程 （1）一元一次方程的標準形式：ax+b=0（其中x是未知數，a、b是已知數，a0） （2）一玩一次方程的最簡形式：ax=b（其中x是未知數，a、b是已知數，a0） （3）解一元一次方程的一般步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項和系數化為1。 （4）一元一次方程有唯一的一個解。 2、一元二次方程 （1）一元二次方程的一般形式：（其中x是未知數，a、b、c是已知數，a0） （2）一元二次方程的解法： 直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法 （3）一元二次方程解法的選擇順序是：先特殊后一般，如果沒有要求，一般不用配方法。 （4）一元

17、二次方程的根的判別式： 當0時方程有兩個不相等的實數根； 當=0時方程有兩個相等的實數根； 當0，即原不等式的解集為，解此方程求出a的值。 解：略 規(guī)律總結此題先解字母不等式，后著眼已知的解集，探求成立的條件，此種類型題都采用逆向思考法來解。六、函數及其圖像知識點：一、平面直角坐標系1、平面內有公共原點且互相垂直的兩條數軸，構成平面直角坐標系。在平面直角坐標系內的點和有序實數對之間建立了一對應的關系。 2、不同位置點的坐標的特征： （1）各象限內點的坐標有如下特征： 點P（x, y）在第一象限x 0，y0； 點P（x, y）在第二象限x0，y0； 點P（x, y）在第三象限x0，y0； 點P（

18、x, y）在第四象限x0，y0。 （2）坐標軸上的點有如下特征： 點P（x, y）在x軸上y為0，x為任意實數。 點P（x，y）在y軸上x為0，y為任意實數。 3點P（x, y）坐標的幾何意義： （1）點P（x, y）到x軸的距離是| y |； （2）點P（x, y）到y(tǒng)袖的距離是| x |； （3）點P（x, y）到原點的距離是 4關于坐標軸、原點對稱的點的坐標的特征： （1）點P（a, b）關于x軸的對稱點是； （2）點P（a, b）關于x軸的對稱點是； （3）點P（a, b）關于原點的對稱點是； 二、函數的概念 1、常量和變量：在某一變化過程中可以取不同數值的量叫做變量；保持數值不變的量

19、叫做常量。 2、函數：一般地，設在某一變化過程中有兩個變量x和y，如果對于x的每一個值，y都有唯一的值與它對應，那么就說x是自變量，y是x的函數。 （1）自變量取值范圍的確是： 解析式是只含有一個自變量的整式的函數，自變量取值范圍是全體實數。 解析式是只含有一個自變量的分式的函數，自變量取值范圍是使分母不為0的實數。 解析式是只含有一個自變量的偶次根式的函數，自變量取值范圍是使被開方數非負的實數。 注意：在確定函數中自變量的取值范圍時，如果遇到實際問題，還必須使實際問題有意義。 （2）函數值：給自變量在取值范圍內的一個值所求得的函數的對應值。 （3）函數的表示方法：解析法；列表法；圖像法 （4

20、）由函數的解析式作函數的圖像，一般步驟是：列表；描點；連線 三、幾種特殊的函數 1、一次函數 直線位置與k，b的關系： （1）k0直線向上的方向與x軸的正方向所形成的夾角為銳角； （2）k0直線向上的方向與x軸的正方向所形成的夾角為鈍角；（3）b0直線與y軸交點在x軸的上方；（4）b0直線過原點；（5）b0直線與y軸交點在x軸的下方；2、二次函數 拋物線位置與a，b，c的關系： （1）a決定拋物線的開口方向 （2）c決定拋物線與y軸交點的位置： c0圖像與y軸交點在x軸上方；c=0圖像過原點；c0圖像與y軸交點在x軸下方； （3）a，b決定拋物線對稱軸的位置：a，b同號，對稱軸在y軸左側；b0

21、，對稱軸是y軸； a，b異號。對稱軸在y軸右側；3、反比例函數： 4、正比例函數與反比例函數的對照表：例題： 例1、正比例函數圖象與反比例函數圖象都經過點P（m，4），已知點P到x軸的距離是到y(tǒng)軸的距離2倍. 求點P的坐標.； 求正比例函數、反比例函數的解析式。 分析：由點P到x軸的距離是到y(tǒng)軸的距離2倍可知：2|m|=4，易求出點P的坐標，再利用待定系數法可求出這正、反比例函數的解析式。 解：略 例2、已知a，b是常數，且y+b與x+a成正比例.求證：y是x的一次函數.分析：應寫出y+b與x+a成正比例的表達式，然后判斷所得結果是否符合一次函數定義.證明：由已知，有y+b=k(x+a)，其中

22、k0.整理，得y=kx+(kab).因為k0且kab是常數，故y=kx+(kab)是x的一次函數式. 例3、填空：如果直線方程ax+by+c=0中，a0，b0且bc0，則此直線經過第_象限.分析：先把ax+by+c=0化為.因為a0，b0，所以，又bc0，即0，故0.相當于在一次函數y=kx+l中，k=0，l=0，此直線與y軸的交點(0，)在x軸上方.且此直線的向上方向與x軸正方向所成角是鈍角，所以此直線過第一、二、四象限. 例4、把反比例函數y=與二次函數y=kx2(k0)畫在同一個坐標系里，正確的是( ).答：選(D).這兩個函數式中的k的正、負號應相同(圖13110). 例5、畫出二次函

23、數y=x2-6x+7的圖象，根據圖象回答下列問題：（1）當x=-1，1，3時y的值是多少？（2）當y=2時，對應的x值是多少？（3）當x3時，隨x值的增大y的值怎樣變化？（4）當x的值由3增加1時，對應的y值增加多少？分析：要畫出這個二次函數的圖象，首先用配方法把y=x2-6x+7變形為y=（x-3）2-2，確定拋物線的開口方向、對稱軸、頂點坐標，然后列表、描點、畫圖解：圖象略 例6、拖拉機開始工作時，油箱有油45升，如果每小時耗油6升（1）求油箱中的余油量Q（升）與工作時間t（時）之間的函數關系式；（2）畫出函數的圖象答：（1）Q=45-6t（2）圖象略注意：這是實際問題，圖象只能由自變量t

24、的取值范圍0t7.5決定是一條線段，而不是直線七、統(tǒng)計初步知識點：一、總體和樣本： 在統(tǒng)計時，我們把所要考察的對象的全體叫做總體，其中每一考察對象叫做個體。從總體中抽取的一部分個體叫做總體的一個樣本，樣本中個體的數目叫做樣本容量。 二、反映數據集中趨勢的特征數 1、平均數 （1）的平均數， （2）加權平均數：如果n個數據中，出現次，出現次，出現次（這里），則 （3）平均數的簡化計算： 當一組數據中各數據的數值較大，并且都與常數a接近時，設的平均數為則：。 2、中位數：將一組數據接從小到大的順序排列，處在最中間位置上的數據叫做這組數據的中位數，如果數據的個數為偶數中位數就是處在中間位置上兩個數據

25、的平均數。 3、眾數：在一組數據中，出現次數最多的數據叫做這組數據的眾數。一組數據的眾數可能不止一個。 三、反映數據波動大小的特征數： 1、方差： （l）的方差， （2）簡化計算公式：（為較小的整數時用這個公式要比較方便） （3）記的方差為，設a為常數，的方差為，則=。 注：當各數據較大而常數a較接近時，用該法計算方差較簡便。 2、標準差：方差（）的算術平方根叫做標準差（S）。 注：通常由方差求標準差。 四、頻率分布 1、有關概念 （1）分組：將一組數據按照統(tǒng)一的標準分成若干組稱為分組，當數據在100個以內時，通常分成512組。 （2）頻數：每個小組內的數據的個數叫做該組的頻數。各個小組的頻數

26、之和等于數據總數n。 （3）頻率：每個小組的頻數與數據總數n的比值叫做這一小組的頻率，各小組頻率之和為l。 （4）頻率分布表：將一組數據的分組及各組相應的頻數、頻率所列成的表格叫做頻率分布表。 （5）頻率分布直方圖：將頻率分布表中的結果，繪制成的，以數據的各分點為橫坐標，以頻率除以組距為縱坐標的直方圖，叫做頻率分布直方圖。 圖中每個小長方形的高等于該組的頻率除以組距。 每個小長方形的面積等于該組的頻率。 所有小長方形的面積之和等于各組頻率之和等于1。 樣本的頻率分布反映樣本中各數據的個數分別占樣本容量n的比例的大小，總體分布反映總體中各組數據的個數分別在總體中所占比例的大小，一般是用樣本的頻率

27、分布去估計總體的頻率分布。 2、研究頻率分布的方法；得到一數據的頻率分布和方法，通常是先整理數據，后畫出頻率分布直方圖，其步驟是： （1）計算最大值與最小值的差；（2）決定組距與組數；（3）決定分點；（4）列領率分布表；（5）繪頻率分布直方圖。例題： 例1、某養(yǎng)魚戶搞池塘養(yǎng)魚，放養(yǎng)鱔魚苗20000尾，其成活率為70，隨意撈出10尾魚，稱得每尾的重量如下（單位：千克）08、09、12、13、08、1l、10、12、08、09 根據樣本平均數估計這塘魚的總產量是多少千克？ 分析：先算出樣本的平均數，以樣本平均數乘以20000，再乘以70%。解：略 規(guī)律總結求平均數有三種方法，即當所給數據比較分散時，一般用平均數的概念來求；著所給數據較大且都在某一數a上下波動時，通常采用簡化公式；若所給教據重復出現時，通常采用加權平均數公式來