微積分復(fù)習(xí)與解題技巧

1、-微積分復(fù)習(xí)及解題技巧第一章函數(shù)一、據(jù)定義用代入法求函數(shù)值：典型例題：綜合練習(xí)第二大題之2二、求函數(shù)的定義域： （答案只要求寫成不等式的形式，可不用區(qū)間表示）對(duì)于用數(shù)學(xué)式子來表示的函數(shù)，它的定義域就是使這個(gè)式子有意義的自變量 x 的取值范圍（集合）主要根據(jù)：分式函數(shù)：分母 0偶次根式函數(shù)：被開方式 0對(duì)數(shù)函數(shù)式：真數(shù)式 0反正（余）弦函數(shù)式：自變量1在上述的函數(shù)解析式中，上述情況有幾種就列出幾個(gè)不等式組成不等式組解之。典型例題：綜合練習(xí)第二大題之12x21補(bǔ)充：求 y= 12x 的定義域。（答案：x）2三、判斷函數(shù)的奇偶性：典型例題：綜合練習(xí)第一大題之3、4-第二章極限與連續(xù)求極限主要根據(jù)：1

2、、常見的極限：x1sin xlim 11lim0(0)lim1exxxxxx 02、利用連續(xù)函數(shù)：limf (x)f (x0 )xx0初等函數(shù)在其定義域上都連續(xù)。例：1limx1 x13、求極限f ( x)limx g ( x) 1的思路：00lim f ( x)C1 (C1 0常數(shù) )lim g( x)C2 (C2 0常數(shù) )xx可考慮以下9 種可能：0=0 0型不定式（用羅彼塔法則）0C 20 =0C1= C10C2C 1=0= =0C2型不定式（用羅彼塔法則）特別注意：對(duì)于 f （x）、g（x）都是多項(xiàng)式的分式求極限時(shí)，解法見教材 P70下總結(jié)的“規(guī)律” 。以上解法都必須貫穿極限四則運(yùn)算

3、的法則！-典型例題：綜合練習(xí)第二大題之5、7、8補(bǔ)充 1：若 limsin 2 ( x1)，則 a=x2ax1x 1bx1x1補(bǔ)充 2： limlim1x11xxx補(bǔ)充 3：2lim111.11335571)(2n1)n(2n1lim 11122n12n補(bǔ)充 4：limln xx1x110 型limx10x11（此題用了“羅彼塔法則”）3、4；第三大題之1、3、 2， b= 1 .x 12 x2x 1e2lim1111112135.12n1n32n-第三章導(dǎo)數(shù)和微分一、根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義驗(yàn)證函數(shù)可導(dǎo)性的問題：典型例題：綜合練習(xí)第一大題之12二、求給定函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分：求導(dǎo)主要方法復(fù)習(xí)：1、求導(dǎo)的基本

4、公式：教材P1232、求導(dǎo)的四則運(yùn)算法則：教材P110 1113、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則（最重要的求導(dǎo)依據(jù)）4、隱函數(shù)求導(dǎo)法（包括對(duì)數(shù)函數(shù)求導(dǎo)法）6、求高階導(dǎo)數(shù)（最高為二階）7、求微分： dy=y/ dx 即可典型例題：綜合練習(xí)第四大題之1、2、 7、 9補(bǔ)充：設(shè) y=x21(arctgx)2 ，求 dy.111x2arctgx解： y2x 2arctgx21 x 21 x221 x 21 x dy= y dx (1x2arctgx2 ) dxx21 x-第四章 中值定理，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一、關(guān)于羅爾定理及一些概念關(guān)系的識(shí)別問題：典型例題：綜合練習(xí)第一大題之 16、19二、利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求曲線的切、

5、法線方程：典型例題：綜合練習(xí)第二大題之5二、函數(shù)的單調(diào)性（增減性）及極值問題：典型例題：綜合練習(xí)第一大題之 18，第二大題之 6，第六大題之 2-第五章不定積分第六章定積分理論內(nèi)容復(fù)習(xí)：1、原函數(shù)：F ( x)f ( x)則稱 F（x）為 f （ x）的 一個(gè) 原函數(shù)。2、不定積分：概念： f （ x）的所有的原函數(shù)稱f （ x）的不定積分。f ( x) dxF (x)C注意以下幾個(gè)基本事實(shí)：f (x)dxf ( x)f ( x)dxf ( x)Cdf ( x) dxf ( x)dxdf ( x)f ( x)C性質(zhì)：af (x)dxaf ( x)dx(注意 a0)f (x)g( x) dxf

6、( x)dxg ( x)dx基本的積分公式：教材P2063、定積分：定義幾何意義性質(zhì)：教材P234235 性質(zhì) 13求定積分方法：牛頓萊布尼茲公式習(xí)題復(fù)習(xí)：一、關(guān)于積分的概念題：典型例題：綜合練習(xí)第一大題之22、 24、 25、第二大題之 11、 14二、求不定積分或定積分：可供選用的方法有直接積分法：直接使用積分基本公式換元積分法：包括第一類換元法（湊微分法） 、第二類換元法分部積分法典型例題：綜合練習(xí)第五大題之 2、3、 5、 6 關(guān)于“換元積分法”的補(bǔ)充題一：dx11d (2x 1)1 ln 2x 1 C2x 122 x 12-關(guān)于“換元積分法”的補(bǔ)充題二：xdxx3解：設(shè) x 3=t

7、2，即x3 =t ，則 dx=2tdt.xdx= (t 23) 2t dt = 21t 2 16t Cx3t21= 2 t 36t C = 2 (x 3) 36 x 3 C33關(guān)于“換元積分法”的補(bǔ)充題三：8 dx0 1 3 x解：設(shè) x=t 3，即 3 xt ，則 dx=3t 2dt.當(dāng) x=0 時(shí)， t=0 ；當(dāng) x=8 時(shí)， t=2.所以8 dx2 3t2dt233 1(t 1)223(t 1)dtln 1 t0 1 3 x = 0 1 t01 t20=3ln3（此題為定積分的第二類換元積分法，注意“換元必?fù)Q限” ，即變量 x 換成變量 t 后，其上、下限也從 0、 8 變?yōu)?0、 2）

8、關(guān)于“分部積分法”的補(bǔ)充題一：xex dxxdexxexex dx( x1)exC關(guān)于“分部積分法”的補(bǔ)充題二：arctgxdxxarctgxx1dxarctgx1 ln 1 x2C1x22關(guān)于“分部積分法”的補(bǔ)充題三：ex ln xdx1=1e21 2ee2d ln x1 2ee1212 eln xdxxln xxxln xxdxex12 1211211221 e21 x 2e1 (e21 e21 )1 (e21)1= 222224-（此題為定積分的分部積分法）三、定積分的應(yīng)用（求曲線圍成的平面圖形面積）：典型例題：綜合練習(xí)第六大題之4注意：此題若加多一條直線 y=3x ，即求三線所圍平面圖形的面積，則解法為（草圖略）S= 1(3xx)dx3(3xx 2 )dx =12xdx3(3x x2 ) dx0101= 21x2 13x21x3339 1273120231=1232313= 3 （平方單位）-使用指南本 復(fù)習(xí)參考資料 應(yīng)當(dāng)與人手一冊(cè)的 綜合練習(xí)題 配套使用并服從于 綜合練習(xí)題 。另外，請(qǐng)注意如下幾點(diǎn)：本復(fù)習(xí)參考資料中的藍(lán)色字體的“補(bǔ)充”題是以往年級(jí)的部分應(yīng)試復(fù)習(xí)題，對(duì)今年9 月份考試的同志來說，僅僅作為參考補(bǔ)充。綜合練習(xí)題是我們復(fù)習(xí)重點(diǎn)中的重點(diǎn)，請(qǐng)對(duì)照答案將所有題目完整地做一遍（使題目與答案相結(jié)合而不要相分離，以便需要時(shí)加快查找的速度和準(zhǔn)確度） 。請(qǐng)將上述做好