21數(shù)列的概念和表示法

1、 國(guó)際象棋起源于古印度，關(guān)于國(guó)際象棋還有一國(guó)際象棋起源于古印度，關(guān)于國(guó)際象棋還有一 個(gè)傳說(shuō)。國(guó)王獎(jiǎng)賞發(fā)明者，問(wèn)他有什么要求，他答道：個(gè)傳說(shuō)。國(guó)王獎(jiǎng)賞發(fā)明者，問(wèn)他有什么要求，他答道： “在棋盤(pán)第一個(gè)格放在棋盤(pán)第一個(gè)格放1 1顆麥粒，在第二個(gè)格放顆麥粒，在第二個(gè)格放2 2顆麥粒，顆麥粒， 在第三個(gè)格放在第三個(gè)格放4 4顆麥粒，在第四個(gè)格放顆麥粒，在第四個(gè)格放8 8顆麥粒。以此類(lèi)顆麥粒。以此類(lèi) 推，每個(gè)格子放的麥粒數(shù)是前一個(gè)格子的推，每個(gè)格子放的麥粒數(shù)是前一個(gè)格子的2 2倍，直到倍，直到6464個(gè)個(gè) 格子。國(guó)王覺(jué)得這太容易了，就欣然答應(yīng)了他的要求格子。國(guó)王覺(jué)得這太容易了，就欣然答應(yīng)了他的要求. .

2、新課導(dǎo)入新課導(dǎo)入 1 2 0 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 7 2 8 2 9 2 63 2 62 2 你認(rèn)為國(guó)王能滿足他的要求嗎？你認(rèn)為國(guó)王能滿足他的要求嗎？ 0123463 2 +2 +2 +2 +2 +2 =？ 4， 5， 6， 7， 8， 9， 10 從下往上鋼管的數(shù)目有什么規(guī)律？從下往上鋼管的數(shù)目有什么規(guī)律？ 鋼管的總數(shù)是多少？如果增加鋼管的層數(shù)，鋼管的總數(shù)是多少？如果增加鋼管的層數(shù)， 有沒(méi)有更快捷的方法求出總數(shù)？有沒(méi)有更快捷的方法求出總數(shù)？ 1- 2- 3- 4- 5- 6- 7- 4+5+6+7+8+9+10+= ？ 在本章我們將學(xué)在本章我們將學(xué) 習(xí)數(shù)列的知識(shí)，學(xué)完

3、習(xí)數(shù)列的知識(shí)，學(xué)完 后解決這類(lèi)問(wèn)題那是后解決這類(lèi)問(wèn)題那是 小菜一碟小菜一碟 在自然界和日常生活中，我們經(jīng)常 遇到按照一定次序排成的一列數(shù)。各個(gè) 數(shù)間有什么內(nèi)在規(guī)律？這些規(guī)律在實(shí)際 生活中有哪些應(yīng)用？本章就來(lái)討論這些 問(wèn)題。 數(shù)列是初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)的一個(gè)數(shù)列是初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)的一個(gè) 銜接點(diǎn)歷來(lái)是高考考察的重點(diǎn)，突出考銜接點(diǎn)歷來(lái)是高考考察的重點(diǎn)，突出考 察考生的思維能力、邏輯推理能力及解察考生的思維能力、邏輯推理能力及解 決問(wèn)題的能力決問(wèn)題的能力. .有關(guān)數(shù)列的試題經(jīng)常在有關(guān)數(shù)列的試題經(jīng)常在數(shù)數(shù) 列知識(shí)、函數(shù)知識(shí)和不等式等知識(shí)網(wǎng)絡(luò)列知識(shí)、函數(shù)知識(shí)和不等式等知識(shí)網(wǎng)絡(luò) 的交匯點(diǎn)命題的交匯點(diǎn)命題。學(xué)

4、習(xí)中應(yīng)注意應(yīng)用。學(xué)習(xí)中應(yīng)注意應(yīng)用“聯(lián)聯(lián) 系系”的思想、從特殊到一般的思想方法的思想、從特殊到一般的思想方法， 也要掌握常用方法也要掌握常用方法 2.1 數(shù)列的概念與表示方法數(shù)列的概念與表示方法 實(shí)例1：下圖中的三角形點(diǎn)陣分別代表哪些數(shù)？ 實(shí)例2：下圖中的正方形點(diǎn)陣分別代表哪些數(shù)？ 你能夠發(fā)現(xiàn)這些數(shù)各有什么規(guī)律嗎？每個(gè)數(shù)與它所表示的三 角形，正方形的序號(hào)是什么關(guān)系？ 第第n個(gè)個(gè)“三角形數(shù)三角形數(shù)”“”“正方形數(shù)正方形數(shù)”與其序號(hào)與其序號(hào)n的關(guān)系是一一對(duì)應(yīng)的的關(guān)系是一一對(duì)應(yīng)的 實(shí)例3：觀察下列的“符號(hào)數(shù)”。 -1,1，-1,1，-1,1. 以上三個(gè)例子的共同特點(diǎn)是什么？ 均是一列數(shù)，并按照一定順序

5、排列。均是一列數(shù)，并按照一定順序排列。 請(qǐng)觀察請(qǐng)觀察: : (2) 4, 5, 6,7,8,9, . (4) 0, 10, 20, 30, , 1000 (6) -1, 1, -1, 1, -1, (5) . , 2 1 , 3 2 , 4 3 , 5 4 (7) 66, 56, 34, 21, 11 (1) 1，2， 22 ，23，24，,263 (3)15, 5, 16, 16, 28,32 又像這些例子中，都是又像這些例子中，都是 1.數(shù)列的定義數(shù)列的定義： 按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列數(shù)列，數(shù)列中的每 一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)項(xiàng)，各項(xiàng)依次叫做這個(gè)數(shù) 列的第1項(xiàng)（或首項(xiàng)首項(xiàng)），第2項(xiàng)，第

6、n項(xiàng)， 2.2.數(shù)列的表示：數(shù)列的表示： 數(shù)列的第一個(gè)數(shù)（第1項(xiàng)）用 a1表示，第二個(gè)數(shù)用 a2表示，第n個(gè)數(shù)用an表示，因此數(shù)列可表示 為：a1,a2,a3,an,.簡(jiǎn)記作an。 用an表示的數(shù)列與集合a1,a2,a3,an, 有什么區(qū)別？ 1.集合中的元素是互異的，而數(shù)列中的項(xiàng)可以是相同的。 2.集合中的元素是無(wú)序的，而數(shù)列中的項(xiàng)必須按一定的順序排列。 注意: an與an是兩個(gè) 不同的概念。 練習(xí)練習(xí)1.下列實(shí)例是否構(gòu)成數(shù)列？ 、我們班全體同學(xué)的身高？ 、我們班全體同學(xué)的姓名按學(xué)號(hào)的次序排成一列？ 、我們班全體同學(xué)的出生年份按學(xué)號(hào)的次序排成的一 列數(shù)？ 2.給出下列四個(gè)命題，其中正確的序號(hào)

7、是： 、數(shù)列1,2,3,5與數(shù)列5,3,2,1是相同的數(shù)列。 、數(shù)列1,3,5,7,9，可簡(jiǎn)記為2n-1. 、數(shù)列0,2,4,6,8，可簡(jiǎn)記為2n. 、數(shù)列 11 1. n k nk 的第 項(xiàng)為 1.根據(jù)數(shù)列項(xiàng)數(shù)的多少進(jìn)行分類(lèi)： 有窮數(shù)列有窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列。如：1,2,3,4,5,6. 數(shù)列分類(lèi)數(shù)列分類(lèi) 無(wú)窮數(shù)列無(wú)窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)無(wú)限的數(shù)列。如：1,2,3,4,5,6，,n, 2.根據(jù)數(shù)列相鄰兩項(xiàng)的大小進(jìn)行分類(lèi)： 遞增數(shù)列遞增數(shù)列：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列。 遞減數(shù)列遞減數(shù)列：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列。 常數(shù)數(shù)列常數(shù)數(shù)列：各項(xiàng)相等的數(shù)列。 擺動(dòng)數(shù)列擺動(dòng)數(shù)列：從

8、第2項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小 于它的前一項(xiàng)的數(shù)列。 練習(xí)練習(xí) 下述的數(shù)列，哪些是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)數(shù)列、擺 動(dòng)數(shù)列？ 全體自然數(shù)構(gòu)成數(shù)列. 0,1,2,3,4， 無(wú)窮多個(gè)5構(gòu)成數(shù)列. 5,5,5,5,5， 20072012年我校招收的高一學(xué)生人數(shù)構(gòu)成數(shù)列. 980,1100,1176,1460,1620,1710 目前通用的人民幣面額按從大到小的順序構(gòu)成的數(shù)列. （單位：元） 100,50,20,10,5,2,1,0.5,0.2,0.1,0.05,0.02,0.01 (-1)n 構(gòu)成數(shù)列. * ()nN -1,1,-1,1,-1,1, 數(shù)列：4,5,6,7,8,9,10中的項(xiàng)

9、與它的序號(hào)是怎樣的 對(duì)應(yīng)關(guān)系？這一對(duì)應(yīng)關(guān)系可否用一個(gè)式子來(lái)表示？ 序號(hào)n: 1 2 3 4 5 6 7 項(xiàng) an: 4 5 6 7 8 9 10 這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)與序號(hào)的對(duì)應(yīng)關(guān)系可用式子：a an n=n+3 =n+3 來(lái)表示 能否用列表和圖像來(lái)表示上述數(shù)列？ n1 2 3 4 5 6 7 an4 5 6 7 8 9 10 此例能看出什么？ 如圖如圖 通項(xiàng)公式定義通項(xiàng)公式定義 如果數(shù)列 的第n項(xiàng)a an n與n n之間的關(guān)系可以用一個(gè)式 子來(lái)表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式通項(xiàng)公式。 n a 數(shù)列可以看成以正整數(shù)集 為定義域的函數(shù) ， 當(dāng)自變量從小到大取值時(shí)對(duì)應(yīng) 的一列函數(shù)值。 ( )

10、n af n 數(shù)列的通項(xiàng)公式 反映了一個(gè)數(shù)列的項(xiàng)an與項(xiàng) 數(shù)n的函數(shù)關(guān)系，它具有雙重身份：既表示數(shù)列的第n 項(xiàng)，又是這個(gè)數(shù)列中所有各項(xiàng)的一般表達(dá)式。 ( ) n af n 注意注意 并不是所有的數(shù)列都并不是所有的數(shù)列都 有通項(xiàng)公式有通項(xiàng)公式 如 函數(shù)y=7x+9與y=3x，當(dāng)x依次取1,2,3，時(shí)，其函 數(shù)值構(gòu)成的數(shù)列各有什么特點(diǎn)？寫(xiě)出它們的通項(xiàng)公式，并且 分析相鄰兩項(xiàng)之間的數(shù)量關(guān)系？ 79,3n nn anb 1 1 7,3 n nn n b aa b 練習(xí)練習(xí)1、已知an滿足an=3(3+4n)，寫(xiě)出它的前5項(xiàng)。 2、已知an滿足a1=1,an=an-12-1(n1),寫(xiě)出它的 前5項(xiàng)。

11、3、寫(xiě)出上述三角形數(shù)列與正方形數(shù)列的通項(xiàng)公式。 4、寫(xiě)出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，使它的前4項(xiàng)分別是下 列各數(shù)。 (2) 2 、 0 、 2 、0 凡是數(shù)列中出現(xiàn)有凡是數(shù)列中出現(xiàn)有+ +，- -相間的相間的 項(xiàng)，在通項(xiàng)中一定有項(xiàng)，在通項(xiàng)中一定有 nn+1 -1-1或 n+1 1( 1) 2 an = 1, 0, 1, 0,1, 0, 1, 0,變式變式: 根據(jù)數(shù)列的前若干項(xiàng)寫(xiě)出的通項(xiàng)公式的形式唯一嗎？根據(jù)數(shù)列的前若干項(xiàng)寫(xiě)出的通項(xiàng)公式的形式唯一嗎？ 不唯一 例：例：觀察下面數(shù)列的特點(diǎn)，用適當(dāng)?shù)臄?shù)填觀察下面數(shù)列的特點(diǎn)，用適當(dāng)?shù)臄?shù)填 空，并寫(xiě)出空，并寫(xiě)出 每個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：每個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式

12、： （1） （ ）, , 4 3 , 3 2 , 12 7 , 12 5 . 3 1 （2）1，2，4，8，（，（ ），），32 分析分析(1)(1)根據(jù)觀察：分母的最小公倍數(shù)為根據(jù)觀察：分母的最小公倍數(shù)為1212，把，把 各項(xiàng)都改成以各項(xiàng)都改成以1212為分母的分?jǐn)?shù)為分母的分?jǐn)?shù). . 10 12 n n a 1 2 1 2n n a 16 （2 2）一看都是）一看都是2 2的倍數(shù)，則要分析是的倍數(shù)，則要分析是 2 2的幾次冪的幾次冪. . 練習(xí)練習(xí) 例例: (1) 3，8，15，24， (2)6，66，666，6666， 寫(xiě)出下面數(shù)列的通項(xiàng)公式，是它們寫(xiě)出下面數(shù)列的通項(xiàng)公式，是它們 的前四項(xiàng)

13、分別是下列各數(shù)：的前四項(xiàng)分別是下列各數(shù)： 方法一：方法一： (1) 注意觀察各項(xiàng)與對(duì)應(yīng)序號(hào)的關(guān)系，注意觀察各項(xiàng)與對(duì)應(yīng)序號(hào)的關(guān)系， 可以發(fā)現(xiàn)：可以發(fā)現(xiàn)： 3=13， 8=24， 15=35， 24=46 所以所以 方法二：方法二： 本小題也可以與數(shù)列本小題也可以與數(shù)列4，9，16， 25，(n+1)2比較，得出：比較，得出： (1) 3，8，15，24， 分析分析 2 n an21n(n2) n an(n2) 變式：變式：11,4,9,16 25, 2 2,5,10,17,26 ）， ）， (2) 將題設(shè)數(shù)列與數(shù)列將題設(shè)數(shù)列與數(shù)列 相比較，可得相比較，可得 n n a101 n n 2 a(10

14、1) 3 分析：分析：9,99,999,9999,99999 ， 10,100,1000,10000,100000 ， 12345 10 ,10 ,10 ,10 ,10 ， 2 6,66,666,6666,66666 ， 總結(jié)評(píng)述總結(jié)評(píng)述 變式：變式： 1 3,33,333,3333 2 5,55 555,6666 3 111,111,1111 4 7,77,777,7777 ）， ）， ） ， ）， （1）-1，1，-1，1，-1，1，an= (-1)n （2）1，2，3，4，5， ，an= n （3) 2 ，4，6，8，10 ，an= 2n （4）1 ，3，5，7，9 ，an= 2n-1

15、（5）1，4，9，16，25 ，an= n2 (6) 9，99，999，9999 ，an= 10n-1 1 3 927 13 927 * 1 3() nn aa nN 它包含兩它包含兩 個(gè)部分，一是遞推關(guān)系，一是初始條件，二個(gè)部分，一是遞推關(guān)系，一是初始條件，二 者缺一不可者缺一不可 如：a1=1,an=2an-1+1(n1) a1=1,a2=2,an=an-1+an-2(n2) （2004上海）上海）根據(jù)下列五個(gè)圖形及相應(yīng)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的根據(jù)下列五個(gè)圖形及相應(yīng)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的 變化規(guī)律，試猜想第變化規(guī)律，試猜想第n個(gè)圖形中有個(gè)圖形中有_個(gè)點(diǎn)。個(gè)點(diǎn)。 思考題思考題： (1) 1 n an n 練習(xí)練習(xí)

16、 1、已知數(shù)列an的首項(xiàng)a1=1，且滿足 ， 則此數(shù)列的第3項(xiàng)是多少？ 1 11 22 nn aa n 3、已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式 1 1 1 2, 3 n n n n a a a 則等于多少？ 4、已知數(shù)列an滿足 ，求 通項(xiàng)公式an? 1 1 1, 1 n n an a an 5、已知數(shù)列an滿足 ，則 an= ？ 11 1 1, (1) nn aaa n n 2、設(shè)數(shù)列 滿足 ，寫(xiě)出這個(gè)數(shù)列的前5項(xiàng)。 n a 1 1 1, 1 1(1). n n a an a 6、已知數(shù)列an中，a1=1,a2=2,an=an-1+an-2(n2), 寫(xiě)出這個(gè)數(shù)列的前5項(xiàng)； 利用上面的數(shù)列an ，通過(guò)公式 構(gòu)造一個(gè)新數(shù) bn試寫(xiě)出bn的前5項(xiàng)。 1n n n a b a 1 1、數(shù)列的概念、數(shù)列的概念 數(shù)列是按照一定次序構(gòu)成的一列數(shù)，其中數(shù)數(shù)列是按照一定次序構(gòu)成的一列數(shù)，其中數(shù) 列中數(shù)的有序性是數(shù)列的靈魂列中數(shù)的有序性是數(shù)列的靈魂. 2 2、數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列的通項(xiàng)公式 并非每一個(gè)數(shù)列都可以寫(xiě)出通項(xiàng)公式；有些并非每一個(gè)數(shù)列都可以寫(xiě)出通項(xiàng)公式；有些 數(shù)列的通項(xiàng)公式也并非是唯一的數(shù)列的通