《現(xiàn)代金融經(jīng)濟(jì)學(xué)》第10章期權(quán)定價(jià)模型

1、第第1010章章 期權(quán)定價(jià)模型期權(quán)定價(jià)模型 復(fù)合證券和衍生證券的定價(jià)原則復(fù)合證券和衍生證券的定價(jià)原則 布萊克布萊克舒爾斯舒爾斯(Black-Scholes)期權(quán)定價(jià)公式期權(quán)定價(jià)公式 期權(quán)定價(jià)公式的應(yīng)用期權(quán)定價(jià)公式的應(yīng)用 前提假設(shè)：前提假設(shè)： 經(jīng)濟(jì)行為主體及其效用函數(shù)的假設(shè)經(jīng)濟(jì)行為主體及其效用函數(shù)的假設(shè) 證券市場(chǎng)組成的假設(shè)證券市場(chǎng)組成的假設(shè) 證券市場(chǎng)的均衡消費(fèi)配置是帕累托最優(yōu)的證券市場(chǎng)的均衡消費(fèi)配置是帕累托最優(yōu)的 在以上假設(shè)下，我們可以構(gòu)建一個(gè)具有嚴(yán)格凹的增效用函數(shù)在以上假設(shè)下，我們可以構(gòu)建一個(gè)具有嚴(yán)格凹的增效用函數(shù) u0 和和u1 的代表性經(jīng)濟(jì)行為主體。并由此推導(dǎo)出的代表性經(jīng)濟(jì)行為主體。并由此

2、推導(dǎo)出證券的風(fēng)險(xiǎn)證券的風(fēng)險(xiǎn) 補(bǔ)償均衡關(guān)系：補(bǔ)償均衡關(guān)系： 也即風(fēng)險(xiǎn)證券也即風(fēng)險(xiǎn)證券j的風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償為正值的充分必要條件是其時(shí)期的風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償為正值的充分必要條件是其時(shí)期1 的隨機(jī)收益與時(shí)期的隨機(jī)收益與時(shí)期1的總財(cái)富正相關(guān)。的總財(cái)富正相關(guān)。 )( / ) ( ,()1 ( 001 CuCurCovrrrE jffj )( /) ( ,()1( 001 CuMurCovrrrE jffj 利用效用函 數(shù)的特點(diǎn) + (10.9) 即在證券市場(chǎng)均衡即在證券市場(chǎng)均衡時(shí)，證券時(shí)，證券j 的風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償和市場(chǎng)組合的風(fēng)險(xiǎn)的風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償和市場(chǎng)組合的風(fēng)險(xiǎn) 補(bǔ)償成比例。其比例系數(shù)等于補(bǔ)償成比例。其比例系數(shù)等于rj和和 的協(xié)方差與的

3、協(xié)方差與rm和和 的協(xié)方差之比的協(xié)方差之比 )( / ) ( ,()1 ( 001 CuMurCovrrrE mffm ) ( ,( ) ( ,( 1 1 fm m j fj rrE MurCov MurCov rrE ) ( 1 Mu ) ( 1 Mu 效用函數(shù)為冪函數(shù)時(shí)的定價(jià)關(guān)系效用函數(shù)為冪函數(shù)時(shí)的定價(jià)關(guān)系 假設(shè)經(jīng)濟(jì)行為主體在時(shí)期假設(shè)經(jīng)濟(jì)行為主體在時(shí)期1的效用函數(shù)為冪函數(shù)的效用函數(shù)為冪函數(shù) 當(dāng)當(dāng)B = -1時(shí)，經(jīng)濟(jì)行為主體的效用函數(shù)為二次效時(shí)，經(jīng)濟(jì)行為主體的效用函數(shù)為二次效 用函數(shù)，上式變?yōu)槲覀兯煜さ挠煤瘮?shù)，上式變?yōu)槲覀兯煜さ腃APM關(guān)系式。關(guān)系式。 當(dāng)當(dāng)B = -1/2時(shí)，代表性的經(jīng)

4、濟(jì)行為主體時(shí)期時(shí)，代表性的經(jīng)濟(jì)行為主體時(shí)期1的消的消 費(fèi)的效用函數(shù)為三次函數(shù)費(fèi)的效用函數(shù)為三次函數(shù) B ii BzA B zu /11 )( 1 1 )( 3 1 ) 2 1 ( 3 2 )(zAzu 由期權(quán)的性質(zhì)我們可以判斷期權(quán)的現(xiàn)時(shí)價(jià)格由期權(quán)的性質(zhì)我們可以判斷期權(quán)的現(xiàn)時(shí)價(jià)格 并不依賴于經(jīng)濟(jì)行為主體的效用函數(shù)和標(biāo)的證券的未來(lái)收并不依賴于經(jīng)濟(jì)行為主體的效用函數(shù)和標(biāo)的證券的未來(lái)收 益分布。益分布。 以上嚴(yán)格不等式背后隱含的直觀經(jīng)濟(jì)含義如下：以上嚴(yán)格不等式背后隱含的直觀經(jīng)濟(jì)含義如下： 一個(gè)必須執(zhí)行的，以執(zhí)行價(jià)格一個(gè)必須執(zhí)行的，以執(zhí)行價(jià)格k在時(shí)期在時(shí)期1購(gòu)買購(gòu)買1個(gè)單位的標(biāo)個(gè)單位的標(biāo) 的證券的證券j

5、的義務(wù)，其現(xiàn)值為的義務(wù)，其現(xiàn)值為pj k /(1+rf)。 當(dāng)存在一個(gè)嚴(yán)格正值的概率使得當(dāng)存在一個(gè)嚴(yán)格正值的概率使得 嚴(yán)格小于嚴(yán)格小于k時(shí)，不用時(shí)，不用 執(zhí)行購(gòu)買的選擇權(quán)就具有嚴(yán)格正的價(jià)值。執(zhí)行購(gòu)買的選擇權(quán)就具有嚴(yán)格正的價(jià)值。 0, 1 max),( f jjj r k pkpv j x 從純粹市場(chǎng)套利的觀點(diǎn)來(lái)討論的期權(quán)從純粹市場(chǎng)套利的觀點(diǎn)來(lái)討論的期權(quán) 價(jià)格的一些性質(zhì)價(jià)格的一些性質(zhì) 一支期權(quán)的價(jià)格是其執(zhí)行價(jià)格的凸函數(shù)?？梢宰C明，這個(gè)一支期權(quán)的價(jià)格是其執(zhí)行價(jià)格的凸函數(shù)。可以證明，這個(gè) 性質(zhì)在更加一般的條件下也成立，也即性質(zhì)在更加一般的條件下也成立，也即 一一支標(biāo)的資產(chǎn)為正值權(quán)重的證券組合，執(zhí)行價(jià)

6、格為支標(biāo)的資產(chǎn)為正值權(quán)重的證券組合，執(zhí)行價(jià)格為k的期的期 權(quán)，其價(jià)值要小于以組合中的證券為標(biāo)的資產(chǎn)，執(zhí)行價(jià)格權(quán)，其價(jià)值要小于以組合中的證券為標(biāo)的資產(chǎn)，執(zhí)行價(jià)格 同樣為同樣為k 的相同權(quán)重的期權(quán)組合的價(jià)值。的相同權(quán)重的期權(quán)組合的價(jià)值。 ),() ,()1 (),(kpvkpvkpv jjjjjj J j jjj kpvkpv 1 * ),(, 從純粹市場(chǎng)套利的觀點(diǎn)來(lái)討論的期權(quán)從純粹市場(chǎng)套利的觀點(diǎn)來(lái)討論的期權(quán) 價(jià)格的一些性質(zhì)價(jià)格的一些性質(zhì) 這里我們將首先證明，在標(biāo)的證券或標(biāo)的資產(chǎn)的未來(lái)收這里我們將首先證明，在標(biāo)的證券或標(biāo)的資產(chǎn)的未來(lái)收 益率分布業(yè)已固定的情況下，一個(gè)買入期權(quán)的價(jià)格是其益率分布業(yè)已固

7、定的情況下，一個(gè)買入期權(quán)的價(jià)格是其 標(biāo)的證券或標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格的增函數(shù)和凸函數(shù)。標(biāo)的證券或標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格的增函數(shù)和凸函數(shù)。 第一個(gè)證明是：看漲期權(quán)的價(jià)格第一個(gè)證明是：看漲期權(quán)的價(jià)格vj (pj, k)是是pj的增函數(shù)，的增函數(shù)， 并且如果并且如果 k的概率嚴(yán)格為正，則的概率嚴(yán)格為正，則vj (pj, k)是是pj的嚴(yán)格的嚴(yán)格 增函數(shù)。增函數(shù)。 第二個(gè)證明是：第二個(gè)證明是：vj (pj, k)是是pj的凸函數(shù)。的凸函數(shù)。 j x 前提假設(shè)前提假設(shè) 兩期的證券市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)兩期的證券市場(chǎng)經(jīng)濟(jì) 經(jīng)濟(jì)行為主體的效用函數(shù)如關(guān)系式經(jīng)濟(jì)行為主體的效用函數(shù)如關(guān)系式(10.12)所定義所定義 在時(shí)期，我們賦予經(jīng)濟(jì)行為主

8、體消費(fèi)物品和市場(chǎng)交在時(shí)期，我們賦予經(jīng)濟(jì)行為主體消費(fèi)物品和市場(chǎng)交 易證券易證券 選擇一個(gè)代表性的經(jīng)濟(jì)行為主體，使其效用函數(shù)為冪選擇一個(gè)代表性的經(jīng)濟(jì)行為主體，使其效用函數(shù)為冪 函數(shù)函數(shù) 進(jìn)一步假設(shè)進(jìn)一步假設(shè) 和和 服從二維對(duì)數(shù)正態(tài)分布。服從二維對(duì)數(shù)正態(tài)分布。 0 1 I i i A BB z B z B zuzu 1 1 1 00000 1 1 1 1 布萊克布萊克- -舒爾斯舒爾斯(Black-Scholes)(Black-Scholes)期權(quán)定價(jià)公式期權(quán)定價(jià)公式 的推導(dǎo)的推導(dǎo) j x C 求得布萊克求得布萊克-舒爾斯舒爾斯(Black-Scholes)期權(quán)定價(jià)公式期權(quán)定價(jià)公式 如下：如下： )

9、()1 ()(),( 1 kfjkjjj ZkNrZNpkpv j j fj k rkp Z 2 1 )1ln()/ln( 幾點(diǎn)幾點(diǎn)說(shuō)明：說(shuō)明： 期權(quán)定價(jià)期權(quán)定價(jià)公式是在一種特定假設(shè)的經(jīng)濟(jì)中推導(dǎo)的，在這種經(jīng)濟(jì)公式是在一種特定假設(shè)的經(jīng)濟(jì)中推導(dǎo)的，在這種經(jīng)濟(jì) 中，經(jīng)濟(jì)行為主體的效用函數(shù)是具有相同謹(jǐn)慎度中，經(jīng)濟(jì)行為主體的效用函數(shù)是具有相同謹(jǐn)慎度B的線性風(fēng)險(xiǎn)容的線性風(fēng)險(xiǎn)容 忍效用函數(shù)，并且假定經(jīng)濟(jì)行為主體的初始收入只是交易證券。忍效用函數(shù)，并且假定經(jīng)濟(jì)行為主體的初始收入只是交易證券。 在市場(chǎng)均衡時(shí)，每個(gè)經(jīng)濟(jì)行為主體都持有一支無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券和市在市場(chǎng)均衡時(shí)，每個(gè)經(jīng)濟(jì)行為主體都持有一支無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券和市 場(chǎng)組合構(gòu)

10、成的線性組合，并且實(shí)現(xiàn)了帕累托最優(yōu)。這樣，如果場(chǎng)組合構(gòu)成的線性組合，并且實(shí)現(xiàn)了帕累托最優(yōu)。這樣，如果 一個(gè)以某支證券為標(biāo)的的買入期權(quán)被引入經(jīng)濟(jì)中，在市場(chǎng)均衡一個(gè)以某支證券為標(biāo)的的買入期權(quán)被引入經(jīng)濟(jì)中，在市場(chǎng)均衡 時(shí)就沒(méi)有人需要這支期權(quán)。時(shí)就沒(méi)有人需要這支期權(quán)。 這就是說(shuō)，只要期權(quán)是按照關(guān)系式這就是說(shuō)，只要期權(quán)是按照關(guān)系式(10.32)和和(10.35)式定價(jià)的，那式定價(jià)的，那 么，在經(jīng)濟(jì)處于均衡時(shí)，引入一個(gè)買入期權(quán)，初始的均衡就不么，在經(jīng)濟(jì)處于均衡時(shí)，引入一個(gè)買入期權(quán)，初始的均衡就不 會(huì)遭到破壞。會(huì)遭到破壞。 期權(quán)的定價(jià)使得在均衡時(shí)的經(jīng)濟(jì)中沒(méi)有一個(gè)行為主體對(duì)其有所期權(quán)的定價(jià)使得在均衡時(shí)的經(jīng)濟(jì)中

11、沒(méi)有一個(gè)行為主體對(duì)其有所 需求。在這樣的背景下，期權(quán)在經(jīng)濟(jì)均衡時(shí)就沒(méi)有配置資源的需求。在這樣的背景下，期權(quán)在經(jīng)濟(jì)均衡時(shí)就沒(méi)有配置資源的 作用，因而有時(shí)就被稱為多余證券或資產(chǎn)。作用，因而有時(shí)就被稱為多余證券或資產(chǎn)。 證券定價(jià)的兩個(gè)基本方法：證券定價(jià)的兩個(gè)基本方法： 均衡方法和無(wú)套利方法均衡方法和無(wú)套利方法 均衡均衡是從相互作用的經(jīng)濟(jì)行為主體的活動(dòng)中產(chǎn)生，所以需要對(duì)是從相互作用的經(jīng)濟(jì)行為主體的活動(dòng)中產(chǎn)生，所以需要對(duì) 經(jīng)濟(jì)主體效用函數(shù)作出假設(shè)。經(jīng)濟(jì)行為主體的效用函數(shù)被假定經(jīng)濟(jì)主體效用函數(shù)作出假設(shè)。經(jīng)濟(jì)行為主體的效用函數(shù)被假定 為是具有相同謹(jǐn)慎度為是具有相同謹(jǐn)慎度B的線性風(fēng)險(xiǎn)容忍效用函數(shù)，并且假定經(jīng)濟(jì)

12、的線性風(fēng)險(xiǎn)容忍效用函數(shù)，并且假定經(jīng)濟(jì) 行為主體的初始收入只是交易證券。行為主體的初始收入只是交易證券。 無(wú)套利方法無(wú)套利方法是基于無(wú)套利原理是基于無(wú)套利原理在沒(méi)有套利機(jī)會(huì)的金融市場(chǎng)中，在沒(méi)有套利機(jī)會(huì)的金融市場(chǎng)中， 兩個(gè)期末收益相同的證券在任一時(shí)刻的交易價(jià)格應(yīng)該相等。它兩個(gè)期末收益相同的證券在任一時(shí)刻的交易價(jià)格應(yīng)該相等。它 只對(duì)價(jià)格進(jìn)行比較，所以與行為主體效用函數(shù)無(wú)關(guān)。不管什么只對(duì)價(jià)格進(jìn)行比較，所以與行為主體效用函數(shù)無(wú)關(guān)。不管什么 樣的效用主體，只要市場(chǎng)是完全和有效的，則其價(jià)格關(guān)系必須樣的效用主體，只要市場(chǎng)是完全和有效的，則其價(jià)格關(guān)系必須 滿足無(wú)套利原理。滿足無(wú)套利原理。 無(wú)套利原理的核心思想是

13、我們能用交易的證券完全復(fù)制一個(gè)證無(wú)套利原理的核心思想是我們能用交易的證券完全復(fù)制一個(gè)證 券，并因此給該證券定價(jià)。但無(wú)套利方法并不總是可以使用，券，并因此給該證券定價(jià)。但無(wú)套利方法并不總是可以使用， 有時(shí)我們無(wú)法使用無(wú)套利方法。但卻可以使用均衡方法。有時(shí)我們無(wú)法使用無(wú)套利方法。但卻可以使用均衡方法。 均衡方法為分析市場(chǎng)和證券定價(jià)提供了更一般的框架，也是一均衡方法為分析市場(chǎng)和證券定價(jià)提供了更一般的框架，也是一 以貫之地在本書中得到體現(xiàn)和強(qiáng)調(diào)的思想邏輯主線。該方法把以貫之地在本書中得到體現(xiàn)和強(qiáng)調(diào)的思想邏輯主線。該方法把 證券的價(jià)格更多地與基本經(jīng)濟(jì)概念聯(lián)系起來(lái)，即使是最簡(jiǎn)單的證券的價(jià)格更多地與基本經(jīng)濟(jì)

14、概念聯(lián)系起來(lái)，即使是最簡(jiǎn)單的 確定性模型，也可導(dǎo)出資產(chǎn)價(jià)格關(guān)于經(jīng)濟(jì)參數(shù)的表達(dá)式。正是確定性模型，也可導(dǎo)出資產(chǎn)價(jià)格關(guān)于經(jīng)濟(jì)參數(shù)的表達(dá)式。正是 在這種意義上，均衡方法比無(wú)套利方法更基本，因?yàn)楹笳呒俣ㄔ谶@種意義上，均衡方法比無(wú)套利方法更基本，因?yàn)楹笳呒俣?價(jià)格是給定的，而均衡方法則可以說(shuō)明價(jià)格的起因。價(jià)格是給定的，而均衡方法則可以說(shuō)明價(jià)格的起因。 期權(quán)定價(jià)公式的一個(gè)比較典型的應(yīng)用是對(duì)于有風(fēng)險(xiǎn)期權(quán)定價(jià)公式的一個(gè)比較典型的應(yīng)用是對(duì)于有風(fēng)險(xiǎn) 的公司債券的定價(jià)研究。的公司債券的定價(jià)研究。 前提假設(shè)前提假設(shè) 假設(shè)公司假設(shè)公司j 有個(gè)單位的普通股股票和一支面值為有個(gè)單位的普通股股票和一支面值為k 的貼現(xiàn)的貼現(xiàn)

15、債券在外流通。債券在外流通。 股票和債券的價(jià)格分別為股票和債券的價(jià)格分別為Sj和和Dj，貼現(xiàn)公債在，貼現(xiàn)公債在時(shí)期到期。時(shí)期到期。 公司公司j 在時(shí)期的總收入為在時(shí)期的總收入為 ，我們假設(shè)，我們假設(shè) 與時(shí)期的總與時(shí)期的總 消費(fèi)消費(fèi) 構(gòu)成聯(lián)合對(duì)數(shù)正態(tài)分布，并且這個(gè)分部的參數(shù)和我構(gòu)成聯(lián)合對(duì)數(shù)正態(tài)分布，并且這個(gè)分部的參數(shù)和我 們上一節(jié)的討論相同。們上一節(jié)的討論相同。 的現(xiàn)值是該公司在時(shí)期的價(jià)值，我們用的現(xiàn)值是該公司在時(shí)期的價(jià)值，我們用Vj來(lái)表示，因此，來(lái)表示，因此， Vj = Sj+Dj。 j x j x C j x 運(yùn)用關(guān)系式（）計(jì)算運(yùn)用關(guān)系式（）計(jì)算Dj 可得：可得： 同時(shí)，我們也可以用布萊克同

16、時(shí)，我們也可以用布萊克-舒爾斯期權(quán)定價(jià)公式舒爾斯期權(quán)定價(jià)公式 以一種更直接和直觀的方式來(lái)計(jì)算以一種更直接和直觀的方式來(lái)計(jì)算Dj B j C C kxED 0 , min )()1 ()(1 ( 1 kfjkjjjj ZkNrZNVSVD 我們對(duì)有風(fēng)險(xiǎn)的公司債券可以作出兩種解我們對(duì)有風(fēng)險(xiǎn)的公司債券可以作出兩種解 釋釋 第一種第一種 第二種第二種 (10.44) 0 , max , minkxxkx jjj )45.10(0 , max, min jj xkkkx 在推導(dǎo)布萊克在推導(dǎo)布萊克-舒爾斯期權(quán)定價(jià)公式的條件下，我們總可舒爾斯期權(quán)定價(jià)公式的條件下，我們總可 以利用關(guān)系式以利用關(guān)系式(10.3

17、2)和（）對(duì)以總消費(fèi)量或總財(cái)富為標(biāo)和（）對(duì)以總消費(fèi)量或總財(cái)富為標(biāo) 的的歐式買入期權(quán)進(jìn)行定價(jià)。依據(jù)第章的討論我們知的的歐式買入期權(quán)進(jìn)行定價(jià)。依據(jù)第章的討論我們知 道，可以利用這些期權(quán)價(jià)格對(duì)任何復(fù)合證券進(jìn)行定價(jià)。道，可以利用這些期權(quán)價(jià)格對(duì)任何復(fù)合證券進(jìn)行定價(jià)。 qc(k)的的一個(gè)比較靜態(tài)分析一個(gè)比較靜態(tài)分析 從從qc(k)在不同的在不同的k 之下的結(jié)構(gòu)提取一些信息之下的結(jié)構(gòu)提取一些信息 以上分析表明，用布萊克以上分析表明，用布萊克-舒爾斯期權(quán)定價(jià)公式對(duì)以總消舒爾斯期權(quán)定價(jià)公式對(duì)以總消 費(fèi)量為標(biāo)的的歐式看漲期權(quán)進(jìn)行正確定價(jià)的充分條件是，費(fèi)量為標(biāo)的的歐式看漲期權(quán)進(jìn)行正確定價(jià)的充分條件是， 時(shí)期的總消費(fèi)量服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，并且代表性經(jīng)濟(jì)時(shí)期的總消費(fèi)量服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，并且代表性經(jīng)濟(jì) 行為主體的相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡是固定的。行為主體的相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡是固定的。 我們知道，一個(gè)以對(duì)總消費(fèi)量的狀況權(quán)證的定價(jià)概率密我們知道，一個(gè)以對(duì)總消費(fèi)量的狀況權(quán)證的定價(jià)概率密 度被該總消費(fèi)水平發(fā)生的概率密度除的結(jié)果就是，以就度被該總消費(fèi)水平發(fā)生的概率密度除的結(jié)