自動控制理論根軌跡法剖析PPT學習教案

1、會計學1 自動控制理論根軌跡法剖析自動控制理論根軌跡法剖析 控制系統(tǒng)控制系統(tǒng) 4.1.2 閉環(huán)零、極點與開環(huán)零、極點之間的關(guān)系閉環(huán)零、極點與開環(huán)零、極點之間的關(guān)系 )()(1 )( )( sHsG sG s ) 12)(1( ) 12)(1( )( 22 22 21 21 22 21 sTsTsTs ssK sG v G 式中，式中， 為前向通道增益，為前向通道增益， 為前向通道根軌跡增益，為前向通道根軌跡增益， 它們之間相差一個比例常數(shù)它們之間相差一個比例常數(shù) G K G K 設控制系統(tǒng)如圖所設控制系統(tǒng)如圖所 示，閉環(huán)傳遞函數(shù)為示，閉環(huán)傳遞函數(shù)為 )( )( 1 1 i q i i f i

2、G ps zs K 第1頁/共45頁 2 21 2 21 TT KK GG 反饋通路傳遞反饋通路傳遞 函數(shù)可表示為函數(shù)可表示為 )( )( )( 1 1 j h j j l j H ps zs KsH 為反饋通道的根軌跡增益。于是，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞為反饋通道的根軌跡增益。于是，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞 函數(shù)可表示為函數(shù)可表示為 H K )()( )()( )()( 11 11 j h j i q i j l j i f i HG psps zszs KKsHsG 第2頁/共45頁 )()( )()( )()( 11 11 j h j i q i j l j i f i psps zszs KsHsG 為開

3、環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益。它與開環(huán)增益為開環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益。它與開環(huán)增益K之間的之間的 關(guān)系相差一個比例常數(shù)。關(guān)系相差一個比例常數(shù)。 K 對于有對于有m個開環(huán)零點個開環(huán)零點n個開環(huán)極點的系統(tǒng)，必有個開環(huán)極點的系統(tǒng)，必有 nhqmlf, 第3頁/共45頁 )()( )()( )( 1 * 1 11 k m k k n k j h j i f i G zsKps pszsK s 比較開、閉環(huán)得比較開、閉環(huán)得 (1) 閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益，等于開環(huán)系統(tǒng)前向通道根軌跡閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益，等于開環(huán)系統(tǒng)前向通道根軌跡 增益；對于單位反饋系統(tǒng)，閉環(huán)根軌跡增益就等于開環(huán)增益；對于單位反饋系統(tǒng)，閉環(huán)根軌跡增益就等于開環(huán)

4、系統(tǒng)根軌跡增益。系統(tǒng)根軌跡增益。 (2) 閉環(huán)零點由開環(huán)前向通路傳遞函數(shù)的零點和反饋通路閉環(huán)零點由開環(huán)前向通路傳遞函數(shù)的零點和反饋通路 傳遞函數(shù)的極點所組成；對于單位反饋系統(tǒng)，閉環(huán)零點傳遞函數(shù)的極點所組成；對于單位反饋系統(tǒng)，閉環(huán)零點 就是開環(huán)零點。就是開環(huán)零點。 (3) 閉環(huán)極點與開環(huán)零點、極點以及根軌跡增益閉環(huán)極點與開環(huán)零點、極點以及根軌跡增益 均有關(guān)均有關(guān) K 根軌跡法的基本任務在于：如何由已知的開環(huán)零、極根軌跡法的基本任務在于：如何由已知的開環(huán)零、極 點的分布及根軌跡增益，通過圖解的方法找出閉環(huán)極點點的分布及根軌跡增益，通過圖解的方法找出閉環(huán)極點 。一旦確定閉環(huán)極點后，閉環(huán)傳遞函數(shù)的形式

5、便不難確。一旦確定閉環(huán)極點后，閉環(huán)傳遞函數(shù)的形式便不難確 定。定。 )()()()( )()( )( 11 * 11 11 j l j i f i HGj h j i q i j h j i f i G zszsKKpsps pszsK s )()( )()( )()( 11 11 j h j i q i j l j i f i HG psps zszs KKsHsG 第4頁/共45頁 0)()(1sHsG 所以我們可得到根軌跡方程為所以我們可得到根軌跡方程為 1 )( )( 1 1 i n i i m i ps zs K 考慮到考慮到 )12( 11 kj e ), 2, 1, 0(k 因此

6、，根軌跡方程可用如下兩個方程描述因此，根軌跡方程可用如下兩個方程描述 ) 12()()( 11 kpszs n i i m i i ), 2, 1, 0(k i m i i n i zs ps K 1 1 閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為 三三.根軌跡方程根軌跡方程 第5頁/共45頁 此乃：相角方程和模值方程。相角方程是確定此乃：相角方程和模值方程。相角方程是確定s平面上根平面上根 軌跡的充要條件。軌跡的充要條件。 判斷根軌跡判斷根軌跡 直接應用相角方程可判斷。舉例說明。設直接應用相角方程可判斷。舉例說明。設 開環(huán)傳遞函數(shù)為開環(huán)傳遞函數(shù)為 )( )( )()( 32 1 pspss z

7、sK sHsG 為了判斷根軌跡，可以在為了判斷根軌跡，可以在s平面上任取平面上任取s1點，畫出從各開點，畫出從各開 環(huán)零、極點到環(huán)零、極點到s1點的向量，然后根據(jù)相角方程檢驗點的向量，然后根據(jù)相角方程檢驗s1點是點是 否屬于根軌跡上的點。即若下式成立否屬于根軌跡上的點。即若下式成立 ) 12()( 3211 k), 2, 1, 0(k 那么，那么，s1是根軌跡上的一點，其對應的根軌跡增益可按模是根軌跡上的一點，其對應的根軌跡增益可按模 值方程算出值方程算出. 第6頁/共45頁 E BCD K * 式中，式中，B.C.D代表各開環(huán)極點到代表各開環(huán)極點到s1點的點的向量模值向量模值，E代代 表表

8、向量向量 的模值。的模值。 11s z 第7頁/共45頁 第8頁/共45頁 模值方程與相模值方程與相 角方程的應用角方程的應用 - 1.5 - -1 - -20.5 =0.466=0.466 n n=2.34 =2.34 s s1 1=-0.825=-0.825 s s2,3 2,3= - = - 1.091.09j2.07j2.07 - -1.09+j2.07 2.2 6 66.27 o 78.8o 2.11 2.6 1 127.53o 92.49 o 2.072 K*= 2.262.112.61 2.07 2 = 6.0068 92.49o- 66.27o- 78.8o- 127.53o=

9、 180o 第9頁/共45頁 S1=1.5+j1.2553 L i k*=0.26 4 3.826 i 39.9 1.826 68.3 5.576 147.9 1.826 13.826 21.826 111.7 160.3 164.4 k*=0.266 180.3o 第10頁/共45頁 一一 根軌跡的分支數(shù)：等于開環(huán)特征方程的階數(shù)根軌跡的分支數(shù)：等于開環(huán)特征方程的階數(shù)n n，與開，與開 環(huán)極點個數(shù)相同。環(huán)極點個數(shù)相同。 證明：證明： 采用理論歸納論證采用理論歸納論證 根軌跡是根的軌跡，有多少閉環(huán)根就有多少軌跡，根軌跡是根的軌跡，有多少閉環(huán)根就有多少軌跡， 因此分支數(shù)與閉環(huán)根數(shù)目一致。根據(jù)根軌跡

10、方程，特征因此分支數(shù)與閉環(huán)根數(shù)目一致。根據(jù)根軌跡方程，特征 根個數(shù)就等于根個數(shù)就等于n n。 閉環(huán)特征方程中的系數(shù)是閉環(huán)特征方程中的系數(shù)是K K* * 的函數(shù)，因此的函數(shù)，因此K K* * 做連續(xù)做連續(xù) 變化時，這些系數(shù)也隨之改變，導致閉環(huán)根的變化是連變化時，這些系數(shù)也隨之改變，導致閉環(huán)根的變化是連 續(xù)的。續(xù)的。 4-2 4-2 繪制根軌跡的基本法則繪制根軌跡的基本法則 二二 根軌跡的連續(xù)性與對稱性：根軌跡是連續(xù)且對稱于實根軌跡的連續(xù)性與對稱性：根軌跡是連續(xù)且對稱于實 軸的曲線。軸的曲線。 第11頁/共45頁 三三 根軌跡的起點和終點：根軌跡起于開環(huán)極點，終于開根軌跡的起點和終點：根軌跡起于開

11、環(huán)極點，終于開 環(huán)零點。若開環(huán)零點數(shù)環(huán)零點。若開環(huán)零點數(shù)mm小于開環(huán)極點數(shù)小于開環(huán)極點數(shù)n n，則有，則有n-mn-m條條 根軌跡趨于無窮遠處。根軌跡趨于無窮遠處。 證明證明:根軌跡起點是指根軌跡增益根軌跡起點是指根軌跡增益K*=0的根軌跡的根軌跡,而終點則而終點則 是指是指 的根軌跡。設系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為（的根軌跡。設系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為（4-13），）， 則閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程式為則閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程式為 K 0)()( 11 i m i i n i zsKps 式中式中 可以從零變到無窮。當可以從零變到無窮。當K*=0時，有時，有 K i ps ), 2 , 1(ni 說明說明K*=0時，閉

12、環(huán)特征方程式的根就是開環(huán)傳遞函數(shù)的時，閉環(huán)特征方程式的根就是開環(huán)傳遞函數(shù)的 極點，所以根軌跡必起于開環(huán)極點。極點，所以根軌跡必起于開環(huán)極點。 將特征方程改寫成如下形式將特征方程改寫成如下形式 第12頁/共45頁 0)()( 1 11 i m i i n i zsps K 當當 時，可得時，可得 K i zs ), 2 , 1(mj 所以根軌跡必終于開環(huán)零點。所以根軌跡必終于開環(huán)零點。 實際系統(tǒng)中，實際系統(tǒng)中， ，因此有，因此有 條根軌跡的終點條根軌跡的終點 將在無窮遠處。當將在無窮遠處。當 時，時， nm mn s mn s i m i i n i s s zs ps Klimlim 1 1

13、具有有限值的零點為有限零點，處于無窮遠處的零點具有有限值的零點為有限零點，處于無窮遠處的零點 叫無限零點。叫無限零點。 第13頁/共45頁 j 0 1 p 2 p 3 p 4 p 1 z 2 z 3 z s 四四 實軸上的根軌跡實軸上的根軌跡 實軸上某一區(qū)域，其右方實軸上開實軸上某一區(qū)域，其右方實軸上開 環(huán)系統(tǒng)零點數(shù)和極點數(shù)的總和為奇數(shù)，則該區(qū)域必是根環(huán)系統(tǒng)零點數(shù)和極點數(shù)的總和為奇數(shù)，則該區(qū)域必是根 軌跡。軌跡。 證明：如右圖所示，成對出證明：如右圖所示，成對出 現(xiàn)的開環(huán)共軛復數(shù)零點或極現(xiàn)的開環(huán)共軛復數(shù)零點或極 點對實軸上任一試探點點對實軸上任一試探點s構(gòu)成構(gòu)成 的兩的兩 向量的相角之和在任何

14、情況向量的相角之和在任何情況 下都等于下都等于0，即，即 0)()( 43 psps s左方實軸上任一開環(huán)零點或極點對該點構(gòu)成的向量的相角為左方實軸上任一開環(huán)零點或極點對該點構(gòu)成的向量的相角為0 0)( 1 zs s右方實軸上任一開環(huán)零點或極點對該點構(gòu)成的向量的相角為右方實軸上任一開環(huán)零點或極點對該點構(gòu)成的向量的相角為180 180)( 1 ps 180滿足根軌跡方程的相角方程。故實軸上的點若在根軌跡上，其滿足根軌跡方程的相角方程。故實軸上的點若在根軌跡上，其 右方實軸上的開環(huán)零點和極點之和必為奇數(shù)。右方實軸上的開環(huán)零點和極點之和必為奇數(shù)。 第14頁/共45頁 例1 設系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù) 為 )

15、20)(5)(1( )5 . 0( )( 2 ssss sK sG 判斷實軸上的根軌跡區(qū)間。 解解 系統(tǒng)的開環(huán)零點為系統(tǒng)的開環(huán)零點為 ，開環(huán)極點為，開環(huán)極點為-1，-5，-20以以 及原點（兩重根）。如圖所示。及原點（兩重根）。如圖所示。 5 . 0 第15頁/共45頁 區(qū)間區(qū)間20，5右方的開環(huán)零點數(shù)和極點數(shù)總和為右方的開環(huán)零點數(shù)和極點數(shù)總和為5，區(qū)，區(qū) 間間1，0.5右方的開環(huán)零點數(shù)和極點數(shù)總和為右方的開環(huán)零點數(shù)和極點數(shù)總和為3。故實。故實 軸上根軌跡在上述區(qū)間內(nèi)。軸上根軌跡在上述區(qū)間內(nèi)。 第16頁/共45頁 mn k a ) 12( ) 1, 2 , 1 , 0(mnk mn zp n

16、i m i ii a 11 證明：漸近線就是證明：漸近線就是s s值很大時的根軌跡，因此漸近線也一值很大時的根軌跡，因此漸近線也一 定對稱于實軸。將開環(huán)傳遞函數(shù)寫成多項式比值形式，定對稱于實軸。將開環(huán)傳遞函數(shù)寫成多項式比值形式， 得得 五五 根軌跡的漸近線：當開環(huán)有限極點數(shù)根軌跡的漸近線：當開環(huán)有限極點數(shù)n大于有限零點大于有限零點 數(shù)數(shù)m時時, ,有有n- -m條根軌跡分支沿著與實軸交角為條根軌跡分支沿著與實軸交角為 ，交點，交點 為為 的一組漸近線趨向無窮遠處的一組漸近線趨向無窮遠處 a a 第17頁/共45頁 )( )( )()( 1 1 i n i i m i ps zs KsHsG n

17、n nn mm mm asasas bsbsbs K 1 1 1 1 1 1 式中式中 m i i zb 1 1 n i i pa 1 1 當當 時，上式可近似為時，上式可近似為s 1 11 )( )()( mnmn sbas K sHsG 令令 1)()(sHsG 得漸近線方程得漸近線方程 K s ba s mn )1 ( 11 第18頁/共45頁 mnmn K s ba s 11 11 )()1 ( 根據(jù)二項式定理根據(jù)二項式定理 2 1111 1 11 )(1 1 ( 1 ! 2 1 )( 1 1)1 ( s ba mnmns ba mns ba mn 當當 時，近似有時，近似有 s sm

18、n ba s ba mn )( 1)1 ( 11 1 11 mnmn K smn ba s s ba s 1 11 1 11 )( )( 1 )1 ( 第19頁/共45頁 ：代入上頁最后一個方程現(xiàn)在以js 1,.1 , 0 ) 12( sin ) 12( cos)( * 11 mnk mn k j mn k Kj mn ba mn ：令實部和虛部分別相等 mn k K mn k K mn ba mnmn ) 12( sin, ) 12( cos * 11 從最后兩個方程解出： aa a mn tgK )(, sin * mn k a ) 12( mn zp mn ba n i m i ii a

19、 1111 直線方 程 第20頁/共45頁 例例2.設控制系統(tǒng)如圖所示，其開環(huán)傳遞函數(shù)為設控制系統(tǒng)如圖所示，其開環(huán)傳遞函數(shù)為 )22)(4( ) 1( )( 2 ssss sK sG 畫出漸近線。畫出漸近線。 解：將開環(huán)零點、極點標注在解：將開環(huán)零點、極點標注在s平面的直角坐標系上，以平面的直角坐標系上，以“”表示表示 開環(huán)極點，以開環(huán)極點，以“”表示開環(huán)零點。在根軌跡繪制過程中，由于需表示開環(huán)零點。在根軌跡繪制過程中，由于需 要對相角和模值進行圖解測量，所以橫坐標與縱坐標必須采用相同要對相角和模值進行圖解測量，所以橫坐標與縱坐標必須采用相同 的比例尺。的比例尺。 由法則由法則3，根軌跡起于，

20、根軌跡起于 的極點的極點 ， 和和 ， 終于終于 的有限零點的有限零點 以及無窮遠處以及無窮遠處 。 由法則由法則1，根軌跡的分支數(shù)有，根軌跡的分支數(shù)有4條，它們是連續(xù)的且對稱于實軸。條，它們是連續(xù)的且對稱于實軸。 )(sG4, 0 21 ppjp 1 3 jp 1 4 )(sG1 1 z 由法則由法則5，有，有 條根軌跡漸近線，它們的交點為條根軌跡漸近線，它們的交點為3mn 第21頁/共45頁 67. 1 3 ) 1()1140( 3 )( 4 1 1 jj zp i i a 各漸近線與實軸的交角分別為各漸近線與實軸的交角分別為 60 ) 12( mn k a )0( k 180 ) 12(

21、 mn k a ) 1( k 300 ) 12( mn k a )2( k 第22頁/共45頁 六、根軌跡的起始角與終止角六、根軌跡的起始角與終止角: :根軌跡離開開環(huán)復數(shù)極點根軌跡離開開環(huán)復數(shù)極點 處的切線方向與處的切線方向與正正實軸方向的夾角實軸方向的夾角, ,稱為起始角稱為起始角, ,以以 表示，見圖表示，見圖4-10 4-10 ；根軌跡進入開環(huán)復數(shù)零點處的切；根軌跡進入開環(huán)復數(shù)零點處的切 線方向與線方向與正正實軸方向的夾角，稱為終止角，以實軸方向的夾角，稱為終止角，以 表示，表示， 見圖見圖4-104-10 i p 21, pp zi 2, 1zz 第23頁/共45頁 在右圖所示的根軌

22、跡上取一在右圖所示的根軌跡上取一 試驗點試驗點 ，使，使 無限地靠近無限地靠近 開環(huán)復數(shù)極點開環(huán)復數(shù)極點 , ,即認為即認為 , ,則這時則這時 ，依據(jù)，依據(jù) 相角方程有相角方程有 1 s 1 s 1 p 11 ps 1 )( 11p ps )()()()()()( 31211111 pspspszssHsG) 12(k = )()()() 12( 312111 1 ppppzpK p n ij j ji m j jip ppzpK i 11 )()() 12( 同理可同理可 得得 n j ji m ij j jiz pzzzK i 11 )()() 12( )()()()()( 312111

23、 1 ppppzpsHsG p ) 12(K = 第24頁/共45頁 * (2)(2) ( )( ) (12)(12) Ksj sj G s H s sjsj 設系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù) 試計算起始角和終止角。 解 板書 第25頁/共45頁 第26頁/共45頁 n i m j ji zdpd11 11 j z 式中： 為各開環(huán)零點的數(shù)值， 為各開環(huán)極點的數(shù)值。 i p 第27頁/共45頁 一般采用極值法極值法求分離點坐標求分離點坐標 )( )( )( )( )()( * 1 1 * sD sN K ps zs KsHsG i n i i m i 閉環(huán)系統(tǒng)特征方程為閉環(huán)系統(tǒng)特征方程為 0)()(0 )(

24、 )( 1 * sNKsD sD sN K 0)()( * sNKsD 設且 0)()( * sNKsD 第28頁/共45頁 0)()()()(sDsNsDsN 聯(lián)立二式，消去聯(lián)立二式，消去K* *，得，得： 從這個公式中解得的從這個公式中解得的s就是所求的分離點。就是所求的分離點。 0 )( )( 1 1 ds i m i i n i zs ps ds d 也可采用下式也可采用下式 第29頁/共45頁 本題的實軸根軌跡區(qū)間為本題的實軸根軌跡區(qū)間為 和和 ，因，因s2不在根軌不在根軌 跡區(qū)間，所以分離點必落在跡區(qū)間，所以分離點必落在 s1處。處。 例例4 4 設控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為設控制系

25、統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為： )2)(1( )()( * sss K sHsG 求根軌跡在實軸上的分離點求根軌跡在實軸上的分離點。 解：用極值法求解：用極值法求 本題中本題中1)(),2)(1()(sNssssD故故 0)(, 263)( 2 sNsssD 0)()()()(sDsNsDsN 代入代入有有 0263 2 ss 解之得解之得 2,(0, 1 577. 1,423. 0 21 ss 第30頁/共45頁 lk/) 12( 僅限實軸分離角僅限實軸分離角 第31頁/共45頁 九、根軌跡與虛軸的交點：根軌跡與虛軸相交，交點對根軌跡與虛軸相交，交點對 應的應的 值和值和 值可用勞斯判據(jù)確定，也可令閉

26、環(huán)特征方值可用勞斯判據(jù)確定，也可令閉環(huán)特征方 程中的程中的 然后分別令其實部和虛部為零而求得。然后分別令其實部和虛部為零而求得。 K js 證明：若根軌跡與虛軸相交，則表示閉環(huán)系統(tǒng)存在純虛證明：若根軌跡與虛軸相交，則表示閉環(huán)系統(tǒng)存在純虛 根，這意味著根，這意味著 的數(shù)值使閉環(huán)系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。的數(shù)值使閉環(huán)系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。 因此，令勞斯表第一列中包含因此，令勞斯表第一列中包含 的項為零，即可確定根的項為零，即可確定根 軌跡與虛軸交點上的軌跡與虛軸交點上的 值。值。 K K K 此外，因為一對純虛根是數(shù)值相同但符號相異的根，所此外，因為一對純虛根是數(shù)值相同但符號相異的根，所 以利用勞斯表

27、中以利用勞斯表中 行的系數(shù)構(gòu)成輔助方程，必可解出純行的系數(shù)構(gòu)成輔助方程，必可解出純 虛根的數(shù)值，這一數(shù)值就是根軌跡與虛軸相交的虛根的數(shù)值，這一數(shù)值就是根軌跡與虛軸相交的 值。值。 如果根軌跡與正虛軸（或負虛軸）有一個以上的交點，如果根軌跡與正虛軸（或負虛軸）有一個以上的交點， 應采用勞斯表中大于應采用勞斯表中大于2 2的的 偶次方行的系數(shù)構(gòu)造輔助方程偶次方行的系數(shù)構(gòu)造輔助方程 。 2 s s 第32頁/共45頁 確定根軌跡與虛軸交點處參數(shù)的另一種方法，是確定根軌跡與虛軸交點處參數(shù)的另一種方法，是將將 代入閉環(huán)特征方程代入閉環(huán)特征方程，得到得到 js 0)()(1jHjG 令上述方程的實部和虛部

28、分別為零，有令上述方程的實部和虛部分別為零，有 0)()(1RejHjG 和和 0)()(1ImjHjG 從而可求得從而可求得 值和值和 值值 。 K 第33頁/共45頁 解解 控制系統(tǒng)的特征方程是控制系統(tǒng)的特征方程是 例例5 5 求系統(tǒng)根軌跡與虛軸交點的坐標及臨界參數(shù)值求系統(tǒng)根軌跡與虛軸交點的坐標及臨界參數(shù)值K K* * 023 *23 Ksss 將將 代入上式，得代入上式，得 js 023 *23 Kjj 03 *2 K02 3 根軌跡與虛軸的交點坐標為根軌跡與虛軸的交點坐標為 )(2 1 s 將將 的值代入實部方程得的值代入實部方程得K*=6 當當K*6時，系統(tǒng)將不穩(wěn)定。時，系統(tǒng)將不穩(wěn)定。 )2)(1( )()( * sss K sHsG 第34頁/共45頁 例例6 6 負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) 試作試作K K( (由由0 0) )變化的系統(tǒng)閉環(huán)根軌跡。變化的系統(tǒng)閉環(huán)根軌跡。 ( )( ) (1)(0.51) K G s H s s ss 解：解：