大學(xué)高數(shù)公式終極整理

1、導(dǎo)數(shù)公式:高等數(shù)學(xué)公式(tgx); sec2 x(ctgx)二-csc2 x (secx) = secx tgx (cscx) = -cscx ctgx (ax) = ax In aZl 、1(log ax)xln a,、1(arcsin x) 1 -x21(arccos x)=, - 1 - x21(arctgx) -21 x1(arcctgx) =21 x基本積分表：三角函數(shù)的有理式積分:tgxdx = -ln cosx +Cjctgxdx =ln sin x +Csecxdx =ln secx+tgx + Cdx.2-cos xdx.2 sin x2=sec xdx = tgx C2=

2、csc xdx = -ctgx Csecx tgxdx = secx Ccscxdx =ln cscx - ctgx +Cdx.-2 a xq2 x -adx.2 a -xdx,a21, x仆二一 arctg Ccscx ctgxdx - -cscx C1. x -a 八In C2aln2ax aa xCa -xxaxdx =-a- Cln ashxdx = chx Cchxdx = shx C.x _=arcsin- C adx 2/(xx2.a2) C,x - aIn712=sinn xdx0712cos0,x2 a2dxI ,，x2 -a2dxn2旦22 aln(x, x2a2) Cln

3、 x 7x2 -a2 +C, a2 -x2dxx 22a x 222 axarcsin C2a以 2usinx -一2,1 u1 -U2 cosx = .，x 2duu tg,dx-2y21 u2專業(yè)整理2013高等數(shù)學(xué)公式一些初等函數(shù):兩個重要極限:13 / 12x_x雙曲正弦：shx=e2sin x lim 一 x w x二1x雙曲余弦：chx =-21 xlim (1 -)=e =2.718281828459045j x雙曲正切：thx =淞=ex e chx e earshx =ln( x/x2 1)archx = ln( x，= x2 -1)arthx1 , 1 x= -ln2 1

4、-x三角函數(shù)公式: ,誘導(dǎo)公式：如數(shù) 角Asincostgctg-a-sin acos a-tg a-ctg a90 - acos asin actg atg a90 + acos a-sin a-ctg a-tg a180 - asin a-cos a-tg a-ctg a180+a-sin a-cos atg actg a270 - a-cos a-sin actg atg a270 + a-cos asin a-ctg a-tg a360 - a-sin acos a-tg a-ctg a360 + asin acos atg actg a和差角公式:和差化積公式sing 二 P) =s

5、in : cos 匚二 cos： sin :cos(二：)=cos- cos : -sin 二 sin :R a + P a -Psin-： sin = 2sincos22tg(- - -)=tg二 tg :1 二 tg： tg ：R 0f + 0sin - - sin - 2cos2a - Psin2ctg(二 )=ctg : ctg : - 1ctg1 二 ctg ;Q a十Pcoss cos- - 2cos2a - cos2R 0( + P a - Pcos二-cos : = 2sinsin22倍角公式:sin2： = 2sin 二 cos：3sin3： = 3sin二 一4sin，22

6、2. 2cos2： =2cos 二-1 =1 2sin =cos 二一sin 二ctg2：,2ctg 1-12ctg.)tg2：2tg：1 -tg 2a3cos3：= 4cos 二 一3cos23,c 3tg -tg 工tg3： =-1-3tg2：半角公式:asin 2_1 -cos：二一 2,:1 -cos：1 -cos：tg2. 1 cos 二 sin ;sin。：1 cos：1 cos： cos=22,：1 cos：1 cos：tg2,1cos 二sin：sin。：1 - cos：正弦定理：_a_ =_ =_c_ =2Rsin A sin B sin C余弦定理：c2 = a2 b2 -

7、 2abcosC反三角函數(shù)性質(zhì):一 冗.arcsin x =arccosx2JTarctgx =arcctgx2高階導(dǎo)數(shù)公式萊布尼茲( Leibniz )公式:n(n)- 八 k (n -k) (k)(uv)八 Cnu vk=S(n)(n 4.) - n(n ,(n . . . . n(n )(n k d) (n_k) (k) .(n)=u v nu v u v u v uv2!k!中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用:拉格朗日中值定理：f(b) -f (a) -f ( )(b-a)柯西中值定理:f(b)-f(a) f ()F(b)-F(a) F() 當(dāng)F(x)=x時，柯西中值定理就是 拉格朗日中值定理曲率:弧

8、微分公式：ds =,1 + y%x,其中y = tgs化量；As： MM弧長。平均曲率：K =也從M點到M點，切線斜率的傾角變sM點的曲率：對|絲| = |空|=以.s0ls| Idsl (1y2)3直線：K =0;，一 一一 1半徑為a的圓：K .a定積分的近似計算:b矩形法：f(x)ab梯形法：f (x)abb a ,、(y。 yiyn)nb -a1 /一(y。 yn) yi，- ymn 2拋物線法：f (x)ab -a(y。yn) 2(y2 V4yn/) 4(yi V3yn)3n定積分應(yīng)用相關(guān)公式：功：W = F s水壓力：F = p八引力：F=kmm2,k為引力系數(shù)r1 b函數(shù)的平均值

9、：y =f b -a a(x)dx均方根：,b：aa2dt空間解析幾何和向量代數(shù):空間2點的距離:d = M iM 2I = J(x2 xi)2 +(y2 yi)2 +(Z2 zi)2向量在軸上的投影：PrjuAB=AB cosQ中是AB與u軸的夾角Pr ju(ai a2)=Pr jai Pr ja2a b = a b cos =axbx +ayby +azbz,是一個數(shù)量兩向量之間的夾角:cos1_axbxaybyazbz222222axayazbxbybzic = a 父 b = ax bxj k一ay az, c = a bsinH.例：線速度:by bzax向量的混合積：abc = (

10、a父b) c = bxcxay azby bz = a x b -c cos F為銳角時,cy cz代表平行六面體的體積平面的方程：1、點法式:A(xx0) B(y y0) C(z-z0)=0,其中 n = A,B,C, M。d，y。4)2、一般方程： Ax By Cz D =03、截距世方程：- =1 a b c平面外任意一點到該平 面的距離：d = lAX0+By0+CzilD.、A2 B2 C2x = x0 + mt空間直線的方程：x0 = -一y0 = z0 =t,其中s =m,n, p;參數(shù)方程： y = y0 + nt m n pz= z0 + pt二次曲面： 2221、橢球面：/

11、當(dāng)4 =1a2 b2 c2222、拋物面： L =z,(p,q同號)2p 2q3、雙曲面：222單葉雙曲面：勺=1a b c222雙葉雙曲面：W+J=k馬鞍面)a b c多元函數(shù)微分法及應(yīng)用全微分：dz = dx dy:x；yL,L,u uu .du =dx dy dz .x；y.z全微分的近似計算：z dz = fx(x, y) x - fy(x, y) y多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法：z = fu(t),v(t)z = fu(x, y),v(x,y)dz：z：uFz v-rr F dt：:uFtNFt.r,L,L,z二z二 u二 z=F十.x：:u：:xvFv.x當(dāng)u=u(x,y), v=v(x,

12、 y)時,u u du dx dy 二 x二 y隱函數(shù)的求導(dǎo)公式:v v , dv = dx dy隱函數(shù)F(x,y) =0,dy 一區(qū), dxFyd2y dx2隱函數(shù) F(x,y,z) =0,:zF-x F-:z:yFx. , -： ( Fx、dy 一(丁)+ 一(丁) x Fy :yFy dxFz隱函數(shù)方程組：/(x,y,u,v) =0G(x,y,u,v) =0cFJ 4F,G)布E(u,v)更cu:v.:GFvGv:v:u1?(F,G)=-*:xJ；(x,v).:u1f(F,G)=-,:yJ：:(y,v).v 1 ?(F,G)=-:xJF(u,x).:v1f(F,G)=-，-yJf (u,

13、 y)微分法在幾何上的應(yīng)用:x =空間曲線y3(t)在點M (x0,y0, z0)處的切線方程: Jz - (t)x - xoy -yo _ z-zo(to) 一(to)在點 M處的法平面方程：(to)(x xo)+中(to)(y yo) +8(to)(z zo) =o若空間曲線方程為：F(x,y,z)=o則切向量T=FyFz,Fz Fx,Fx FyG(x,y,z)=oGy Gz Gz Gx Gx Gy曲面 F(x, y,z)=o上一點 M(xo,yo,zo),則：1、過此點的法向量:n =Fx(x0, yo, zo), Fy(x0,yo,zo), Fz(x0, yo,z。)2、過此點的切平面

14、方程：Fx(xo,yo,zo)(x-xo) +Fy(xo,yo,zo)(y-yo) + Fz(xo,yo,zo)(z-zo)3、過此點的法線方程:x -xo_ y - yo _ z-zoFx(xo,yo,zo) Fy(xo, yo,zo)Fz(xo,yo,z)方向?qū)?shù)與梯度：函數(shù)z = f (x, y)在一點p(x, y)沿任一方向l的方向?qū)?shù)為：=f cos中十*f sin中 fl ：:x Fy其中華為珞由到方向l的轉(zhuǎn)角。開函數(shù) z = f (x, y)在一點 p(x, y)的梯度：gradf(x,y)= i + jF xy它與方向?qū)?shù)的關(guān)系是：=grad f (x, y) e,其中e =

15、cos中i +sin中 j,為l方向上的Fl單位向量。二f是gradf (x,y)在l上的投影。.:l多元函數(shù)的極值及其求法：設(shè) fx(xo,yo) = fy (xo, yo) =0,令：fxx(xo,yo) = A,fxy (xo, yo) = B, f yy (xo , yo) = C_ 2r rAC B A0時,則：AC -B2 0時,A 0)的引力：F = Fx,Fy,Fz,其中:|x = r cos 柱面坐標(biāo)：4 y =r sin 9,z = z設(shè)f (x,y)在L上連續(xù)，L的參數(shù)方程為：,x=9(t)Q E八則hi f (x, y,z)dxdydz = F (r,二，z)rdrd

16、二dz, 6Q其中： F (r,1,z) = f (r cosi, r sin i, z)|x 二 r sin 丁 cos 二球面坐標(biāo)： y =r sin 中sin, dv = rd 中 rsin 中 d 日 dr = r2 sin 中 drd 中d z = r cos 中 J 2 二 二 r(111 f (x, y, z)dxdydz = F (r, :, 1)r2sin drd d 二- d? d : F(r, ,i)r2sin dr:：000111.重心： x =一 x：dv, yydv, z z： dv,其中 M =x=: dv- M - M - -轉(zhuǎn)動慣量：Ix=(y2 z2) ;?

17、dv,Iy= (x2 z2) ;?dv,Iz =(x2y2):?dvQQQ曲線積分：第一類曲線積分(對弧長的曲線積分)：x =tJ小t)Pf(x,y)ds=f中(t)W，92。)”2dt ( P)特殊情況：)第二類曲線積分(對坐標(biāo)的曲線積分)：設(shè)L的參數(shù)方程為二中，則：y =(t)PP(x,y)dx Q(x,y)dy = j P ： (t),二(t) t) Q ：(t),二(t)二(t) dtL：兩類曲線積分之間的關(guān)系：jPdx +Qdy = j(P cos o( +Q cos P)ds,其中 ot和P分別為LLL上積分起止點處切向量的方向角。格林公式:(-Q- - P-)dxdy =cPdx

18、 +Qdy 格林公式: d: x:ylD(f 4)dxdy=- Pdx QdyL當(dāng)p=_y,Q=x,即：且_至_=2時，得到D的面積:,二 x二 y平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件：1、G是一個單連通區(qū)域；A = dxdyd-ydx2、P(x,y), Q( x, y )在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)減去對此奇點的積分，注意方向相反！，且EQ =不。注意奇點，如 (0,0),應(yīng)；:x；:y二元函數(shù)的全微分求積在Q-= 更_時，Pdx十Qdy才是二元函數(shù)u(x,y)的全微分，其中:：:xjy(x,y)u (x, y ) = jP(x,y)dx + Q(x,y)dy,通常設(shè) x0 = y0 =0。(X。，y

19、)曲面積分：對面積的曲面積分：f(x,y, z)ds= f x, y,z(x, y) , 1 zj(x, y) z2 (x, y)dxdy、Dxy對坐標(biāo)的曲面積分：P(x, y, z)dydz Q(x, y, z)dzdx - R(x, y,z)dxdy,其中：EJjRlx, y, z)dxdy = Rx, y,z(x, y)dxdy,取曲面的上側(cè)時取正號；.二.D xy口P(x, y, z)dydz = JjPx(y,z), y,zdydz,取曲面的前側(cè)時取正號；、DyzQ(x, y, z)dzdx = JfQx, y(z,x), zdzdx,取曲面的右側(cè)時取正號。、Dzx兩類曲面積分之間的

20、關(guān)系：/Pdydz+Qdzdx + Rdxdy = JJ(P cosa+Q cos P + Rcos?)dszz高斯公式：:P :OFR111 ()dv = : Pdydz Qdzdx Rdxdy = ： (Pcos-，, Q cos - Rcos )ds【x二 y二 z、高斯公式的物理意義通量與散度：散度：div，=2+絲+史，即：單位體積內(nèi)所產(chǎn)生的流體質(zhì)量，若div50,則為消失.一 .一x : y：z通量：A nds = JJAnds = 口(Pcos +QcosP +Rcos，)ds,z z z _因此，高斯公式又可寫 成：用divAdv = 9/Ands斯托克斯公式一一曲線積分與曲面

21、積分的關(guān)系:()dydz+( 一二更)dzdx +(2p 一. _.)dxdy =qPdx +Qdy +Rdz 為 江cz.exexyrdydz dzdx dxdycosot cos P cos 手上式左端又可寫成：（LiCGC=HLi,一,一CGGtxcyczzexcyczPQRPQR空間曲線積分與路徑無關(guān)的條件：理=翌，cP _ cRcQ _ cP一 ， 一y友czxexcyikrotA =ex到改PQR旋度:向量場A沿有向閉曲線的環(huán)流量：寸Pdx十Qdy+Rdz = ,A tdsrr常數(shù)項級數(shù):n等比數(shù)列：1-q-q2- qn1 二 q i -q等差數(shù)列：1 2 -3+-、-+n = （

22、n-1）n-2調(diào)和級數(shù)：1 1 1 1是發(fā)散的 23 n級數(shù)審斂法：1、正項級數(shù)的審斂法設(shè)：P =lim n/U7，則 nn2、比值審斂法：設(shè)：p=iim Un+,則 n U n根植審斂法（柯西判jp1時，級數(shù)收斂D .1時，級數(shù)發(fā)散7 =1時，不確定P1時，級數(shù)收斂7 .1時，級數(shù)發(fā)散P =1時,不確定別法）：3、定義法: sn =u1 +u2 + un; limsn存在，則收斂；否則發(fā) 散。交錯級數(shù)U1 -U2 +u3 -U4+（或-U1 +u2-U3 +，Un A 0）的審斂法萊布尼茲定理：如果交錯級數(shù)滿足（UnUn；，那么級數(shù)收斂且其和SWU1,其余項rn的絕對值WUn書。lim un

23、 =0nT： n絕對收斂與條件收斂：u1 +u2 +un+,其中un為任意實數(shù); U1 +U2I +3|+un +如果(2)收斂，則(1)肯定收斂，且稱為絕對收斂級數(shù);如果(2)發(fā)散，而(1)收斂，則稱(1)為條件收斂級數(shù)。調(diào)和級數(shù)：工1發(fā)散，而 工(1)n收斂； nn.一一 1 一級數(shù)：、-2收斂； np級數(shù):Ep _1時發(fā)散p .1時收斂2哥級數(shù):x 2 3X x nx/|X 4 時,收斂于 j1+x+x +x + x +(1 -x|x21時，發(fā)散對于級數(shù)(3)a0 +a1x +a2x2 +anxn +，如果它不是僅在原點收斂，也不是在全,|xR時發(fā)散，其中R稱為收斂半徑x=R時不定求收斂

24、半徑的方法：設(shè)lim 亙 = P,其中 an, T anan書是(3)的系數(shù)，則一， 1P=0時，R =一 PP = 0時，R=FP = 一時，R = 0函數(shù)展開成哥級數(shù)：函數(shù)展開成泰勒級數(shù)：f (x)= f (x0)(x-x0) f (x0) (x -x0)2 - -(x0) (x - x0)n 2!n!f (n 1)( )余項：Rn =( +；/(x x0)n*, f (x)可以展開成泰勒級數(shù)的充要條件是：limRn =0x0 =0時即為麥克勞林公式：f (x) = f (0)十f (0)x +-f(-0)x2+-一(-0)xn十2!n!一些函數(shù)展開成哥級數(shù)：m .m(m -1) 2 .

25、m(m -1) (m - n 1) n(1 x) 1 mx x -x(-1 ： x ：1)2!n!352 n 4x xnxsin x = x. ( -1)(_ ： - ； x ； , ： )3!5!(2n -1)!ix-ixe ecos x 二2ix-ixe _ esin x 二歐拉公式：eix =cos x i sin x三角級數(shù)：專業(yè)整理2013高等數(shù)學(xué)公式17 / 12qQf (t)=AoC An sin( n，t n)二n A其中，a0 = aAo,a 八 (an cos nx bn sin nx)2 nlan = An sin Pn, bn = An cos Pn, (ot=x。正交

26、性：1,sin x,cos x,sin 2x,cos2xsin nx,cosnx 任意兩個不同項的乘積 上的積分=0。傅立葉級數(shù)：在-二，二f (x)=ran其中bna0.、 (an cos nx bn sin2 nJ1 二，、,二一 f (x) cos nxdx兀41 二=1 f(x)sin nxdx1 -2- -2- .352JInx),周期=2二(n =0,1,2)(n =1,2,3)1 . 12242162-正弦級數(shù):二0,余弦級數(shù):bn2412212211-2T34, 1 13242十_ 2二二一(相力口)6_ 27r (相減)12周期為212 二bn = f ( x) sin nx

27、dx 二。2 二an = f (x) cos nxdx 二 0的周期函數(shù)的傅立葉級數(shù):f(x)琮n 二x(an cos -n 土l,lbn.n 二 x sin 一),周期n =1,2,3-n =0,1,2f (x) = bn sina 0 _ . f(x)二萬八nx是奇函數(shù)an cos nx是偶函數(shù)an其中bn1n-：x.二一 f (x) cosdxl,l1 ln，=-f (x) sindxl,l(n =0,1,2 )(n =1,2,3 )微分方程的相關(guān)概念：一階微分方程：y = f (x, y)P(x, y)dx Q(x, y)dy可分離變量的微分方程g(y)dy = f (x)dx:一階微分方程可以化為g(y)dy = f