直線與方程(經(jīng)典例題)[共9頁]

1、直線與方程知識點溫習：一、直線與方程（1）直線的傾斜角定義： x軸正向 與直線向上方向 之間所成的角叫直線的傾斜角。特別地,當直線與 x軸平行或重合時, 我們規(guī)定它的傾斜角為0 度。因此,傾斜角的取值范圍是 0 180（2）直線的斜率定義：傾斜角不是 90的直線,它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率。直線的斜率常用 k 表示。即 k tan 。斜率反映直線與軸的傾斜程度。當 0 ,90時, k 0； 當 90 ,180時, k 0； 當 90時, k 不存在。y y2 1 x x 過兩點的直線的斜率公式： ( )k1 2x x2 1注意下面四點： (1) 當 x1 x2時,公式右邊無意義,直線的

2、斜率不存在,傾斜角為90；(2) k 與 P1、P2 的順序無關； (3) 以后求斜率可不通過傾斜角而由直線上兩點的坐標直接求得；(4) 求直線的傾斜角可由直線上兩點的坐標先求斜率得到。（3）直線方程點斜式： ( )y y1 k x x 直線斜率 k,且過點 x1, y11注意： 當直線的斜率為0時, k=0,直線的方程是 y=y1。當直線的斜率為90時,直線的斜率不存在,它的方程不能用點斜式表示但因 l上每一點的橫坐標都等于 x1,所以它的方程是 x=x1。斜截式： y kx b ,直線斜率為k,直線在 y軸上的截距為by y x x兩點式： 1 1y y x x2 1 2 1（x1 x2

3、, y1 y2 ）直線兩點 x1, y1 , x2, y2x y截矩式： 1a b其中直線l 與 x軸交于點 ( a,0) , 與 y軸交于點 (0, b) , 即 l 與 x軸、 y軸的 截距 分別為a,b 。一般式： Ax By C 0 （A,B不全為0）注意： 1 各式的適用范圍2 特殊的方程如：平行于 x軸的直線： y b（ b為常數(shù)）； 平行于 y軸的直線： x a（a為常數(shù)）；（5）直線系方程：即具有某一配合性質(zhì)的直線（一）平行直線系平行于已知直線0A0 x B y C （0 0A0 , B 是不全為0 的常數(shù)）的直線系：0A0 x B y C 0 （C為常數(shù)）0（二）過定點的直線

4、系（）斜率為k 的直線系：y y0 k x x ,直線過定點0x0, y ；0l1 A x B y C ,l2 : A2 x B2 y C2 0 的交點的直線系方程 （）過兩條直線: 01 1 1 A （為參數(shù)）,其中直線l2 不在直線系中。為 01x B y C A x B y C1 1 2 2 2（6）兩直線平行與垂直當l1 : y k x b , l2 : y k2 x b2時,1 1l1 / l k k ,b b ； l1 l2 k1k2 12 1 2 1 2共 6頁第 1 頁注意：利用斜率判斷直線的平行與垂直時,要注意斜率的存在與否。（7）兩條直線的交點l1 : A x B y C

5、0 l2 : A2 x B2 y C2 0相交1 1 1交點坐標即方程組A x1B1yC10的一組解。A x2B y2C20方程組無解 l1 / l 2 ； 方程組有無數(shù)解 l1 與 l2 重合（8）兩點間距離公式： 設A( x ,y ),（B x , y ）是平面直角坐標系中的兩個點,1 1 2 2則2 2| AB | (x x ) ( y y )2 1 2 1（9）點到直線距離公式： 一點 P x0 , y0 到直線 l1 : Ax By C 0的距離（10）兩平行直線距離公式dAx02ABy02BC在任一直線上任取一點,再轉化為點到直線的距離進行求解。典型例題例 1. 已知直線過點 P（

6、-5 ,-4 ）,且與兩坐標軸圍成三角形面積為 5,求直線 l 的方程。解：設直線的截距式方程為：xayb1則有5 41a b125ab a 5,b 2 或a ,b524直線方程為 8x 5y 20 0或2x 5y 10 0例 2 已知兩點 A(-3 ,4) ,B(3 ,2) ,過點 P(2 ,1) 的直線 l 與線段 AB有大眾點（1）求直線 l 的斜率的取值范圍 （2）求直線 l 的傾斜角的取值范圍分析： 如圖 1,為使直線 l 與線段 AB有大眾點,則直線 l 的傾斜角應介于直線 PB的傾斜角與直線 P A的傾斜角之間,所以,當 l 的傾斜角小于 90 時,有 k kPB ；當 l 的傾

7、斜角大于90 時,則有k kPAAy解： 如圖 1,有分析知B 4 ( 1) 2 ( 1)k 3 2PA 1, kPB 3 23OxP （1） k 1 或 k 3圖 13（2）arctan3 4說明： 容易錯誤地寫成 1 k 3,原因是或誤以為正切函數(shù)在 0, 上單調(diào)遞增共 6 頁 第 2 頁1例 3 若三點 A ( 2, 3) , B (3, 2) ,C ( , m) 共線,求 m 的值2分析： 若三點共線,則由任兩點所確定的直線斜率相等或都不存在解答： 由 A、 B 、C 三點共線,則kAB k AC2 3 m13 2232,解得1m 2說明： 由三點共線求其中參數(shù) m的方法很多,如兩點間

8、的距離公式,定比分點坐標公式,面積公式等,但用斜率公式求 m的方法最簡便例 4. 在直線 3x y 1 0上求一點 P,使點P到兩點（ 1, 1）,（ 2,0）的距離相等。分析：（1）設 P（x,y）,則有 y3x1,故點 P 的坐標為（ x,3x1）,由距離公式得x 的方程,解得 x0。（2）設 P（x,y）,求出兩點（ 1,-1 ）,（2,0）的中垂線方程為 xy10,再解方程組得 P（0,1）。解法 1：設 P（x,y）,則有 y3x1故點 P的坐標為（ x,3x1）2 2 2 2由距離公式得： x 1 3x 2 x 2 3x 1解之得： x0所求的點為 P（0,1）解法 2：設 P（x

9、,y）,兩點（ 1,-1 ）,（2,0）所連線段的中垂線方程為：x y 1 0 1 又3x y 1 0 2解由、組成的方程組得： P（0,1）練習:1. 直線 ax by 1 (ab 0) 與兩坐標軸圍成的三角形的面積是（ ）A.12abB.12abC.12ab D.12ab2. 過點 A（4,1）且在兩坐標軸上的截距相等的直線的方程是（ ）A. x y 5 B. x y 5C. x y 5或 x 4y 0 D. x y 5或 x 4y 0共 6 頁 第 3 頁3. 已知直線 Ax By C 0的橫截距大于縱截距,則 A、B、C應滿足的條件是（ ）A. A B B. A B C.CACB0D.

10、CACB04. 直線 l1：ax y b 0,l 2：bx y a 0 (ab 0) 的圖象只可能是下圖中的（ ）5. 直線 2x y 7 0在 x 軸上的截距為 a,在 y 軸上的截距為 b,則 a、b 的值是 （ ）A. a 7,b 7 B.a 7,b72C.7a b,27D.7a b,271arctan6. 若直線 l 的傾斜角為 2 且過點（ 1,0）,則直線 l 的方程為 _。7. 由已知條件求下列直線的斜截式方程。（1）直線經(jīng)過點 P P1 2,1 、 2 0, 3；（2）直線在 x 軸上的截距為 2,在 y 軸上的截距為 3。共 6 頁 第 4 頁8. 設直線 l 的方程為2 2

11、 3 2 2 1 6 2 0m m x m m y m,根據(jù)下列條件分別確定實數(shù) m的值。（1） l 在 x 軸上的截距是 3；（2）斜率是 1。9. 過點 P（2,1）作直線 l 交 x 軸、y 軸的正半軸于 A、B 兩點,當 PA PB 取最小值時,求直線 l 的方程。10. 已知直線與坐標軸圍成的三角形面積為 3,且在 x 軸和 y 軸上的截距之和為 5,求這樣的直線的條數(shù)。11. 已知點 P（-1 ,1）、Q（2,2）,直線 l：y kx 1與線段 PQ相交,求實數(shù) k 的范圍。12已知 ABC 中,A(1, 3) ,AB、AC 邊上的中線所在直線方程分別為 x 2y 1 0 和y 1

12、 0 ,求 ABC 各邊所在直線方程共 6 頁 第 5 頁參考解題格式 ：9. 解： 設直線 l 的方程為 y k x 2 1(k 0)分別令 x 0,y 0得：1B 0 1 2k A 2 0, , ,kPA PB1k22 2 22 2 0 1 2 2k412kk28 4k0,當且僅當 k 1 時, PA PB 取得最小值 4故所求直線的方程為 x y 3 011. 解： 直線 l 的縱截距為 1 直線過點 M（0,-1 ） l 與線段 PQ相交 k k k kMQ 或 PMkMQ2 12 032kPM1 11 023k k或2212 分析： B 點應滿足的兩個條件是： B 在直線 y 1 0 上； BA 的中點 D 在直線x 上。由可設 ,12y B ,進而由確定1 0 xBx 值.B解：設 B ,1 則 AB的中點xBD