《概率論區(qū)間估計》ppt課件

1、 區(qū)間估計的思想?yún)^(qū)間估計的思想 點估計總是有誤差的，但沒有衡量偏向程度的量，點估計總是有誤差的，但沒有衡量偏向程度的量， 區(qū)間估計那么是按一定的可靠性程度對待估參數(shù)給出一個區(qū)間估計那么是按一定的可靠性程度對待估參數(shù)給出一個 區(qū)間范圍。區(qū)間范圍。 引例引例 設(shè)某廠消費的燈泡運用壽命設(shè)某廠消費的燈泡運用壽命XN，1002，現(xiàn)，現(xiàn) 隨機抽取隨機抽取5只，丈量其壽命如下：只，丈量其壽命如下：1455，1502，0， 1610，1430，那么該廠燈泡的平均運用壽命的點估計值為，那么該廠燈泡的平均運用壽命的點估計值為 1 1455 1502 1370 1610 14301473.4 5 x 可以以為該種燈

2、泡的運用壽命在可以以為該種燈泡的運用壽命在1473.4個單位時間左右，個單位時間左右， 但范圍有多大呢？又有多大的能夠性在這但范圍有多大呢？又有多大的能夠性在這“左右呢？左右呢？ 假設(shè)要求有假設(shè)要求有95%的把握判別的把握判別在在1473.4左右，那么由左右，那么由U統(tǒng)計統(tǒng)計 量可知量可知 0,1 X UN n 0.95 X P n 0.95 1.96 1.961.96XX nn 由由 查表得查表得 置信程度、置信區(qū)間置信程度、置信區(qū)間 設(shè)總體的分布中含有一個參數(shù)設(shè)總體的分布中含有一個參數(shù)，對給定的，對給定的，假設(shè)，假設(shè) 由樣本由樣本X1，X2，Xn確定兩個統(tǒng)計量確定兩個統(tǒng)計量 1 X1，X2

3、，Xn ， 2 X1，X2，Xn ， 使得使得P1 2=1- ，那么稱隨機區(qū)間，那么稱隨機區(qū)間 1 ， 2 為為 參數(shù)參數(shù)的置信度或置信程度為的置信度或置信程度為1- 的置信區(qū)間。的置信區(qū)間。 1置信下限置信下限 2置信上限置信上限 幾點闡明幾點闡明 1、參數(shù)、參數(shù)的置信程度為的置信程度為1-的置信區(qū)間的置信區(qū)間 1， 2 表示該區(qū)間有表示該區(qū)間有1001-%的能夠性包含總體參的能夠性包含總體參 數(shù)數(shù)的真值。的真值。 2、不同的置信程度，參數(shù)、不同的置信程度，參數(shù)的置信區(qū)間不同。的置信區(qū)間不同。 3、置信區(qū)間越小，估計越準(zhǔn)確，但置信程度會降低；、置信區(qū)間越小，估計越準(zhǔn)確，但置信程度會降低； 相

4、反，置信程度越大，估計越可靠，但準(zhǔn)確度會降相反，置信程度越大，估計越可靠，但準(zhǔn)確度會降 低，置信區(qū)間會較長。普通：對于固定的樣本容量，低，置信區(qū)間會較長。普通：對于固定的樣本容量， 不能同時做到準(zhǔn)確度高置信區(qū)間小，可靠程度也不能同時做到準(zhǔn)確度高置信區(qū)間小，可靠程度也 高高1- 大。假設(shè)不降低可靠性，而要減少估計范大。假設(shè)不降低可靠性，而要減少估計范 圍，那么必需增大樣本容量，添加抽樣本錢。圍，那么必需增大樣本容量，添加抽樣本錢。 正態(tài)總體方差知，對均值的區(qū)間估計正態(tài)總體方差知，對均值的區(qū)間估計 假設(shè)總體假設(shè)總體XN，2，其中，其中2知，知， 未知，未知， 那么取那么取U-統(tǒng)計量統(tǒng)計量 ，對，對

5、做區(qū)間估計。做區(qū)間估計。 X U n 對給定的置信程度對給定的置信程度1-，由，由 確定臨界值確定臨界值X的雙側(cè)的雙側(cè)分位數(shù)得分位數(shù)得的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為 2 1P Uu 22 ,XuXu nn 將觀測值將觀測值 代入，那么可得詳細(xì)的區(qū)間。代入，那么可得詳細(xì)的區(qū)間。 12 , n x xx 例例1 某車間消費滾珠，從長期實際中知道，滾珠直徑某車間消費滾珠，從長期實際中知道，滾珠直徑X 可以以為服從正態(tài)分布，從某天的產(chǎn)品中隨機抽取可以以為服從正態(tài)分布，從某天的產(chǎn)品中隨機抽取6個，個， 測得直徑為單位：測得直徑為單位：cm 14.6，15.1，14.9，14.8，15.2，15.1 1試求該天

6、產(chǎn)品的平均直徑試求該天產(chǎn)品的平均直徑EX的點估計；的點估計； 2假設(shè)知方差為假設(shè)知方差為0.06，試求該天平均直徑，試求該天平均直徑EX的置信的置信 區(qū)間：區(qū)間：=0.05；=0.01。 解解 1由矩法估計得由矩法估計得EX的點估計值為的點估計值為 1 14.6 15.1 14.9 14.8 15.2 15.114.95 6 EXx 續(xù)解續(xù)解 2由題設(shè)知由題設(shè)知XN，0.06 構(gòu)造構(gòu)造U-統(tǒng)計量，得統(tǒng)計量，得EX的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為 22 ,XuXu nn 當(dāng)當(dāng)=0.05時，時， 0.025 1.96u 而而 0.06 14.95,0.1 6 x n 所以，所以，EX的置信區(qū)間為的置信區(qū)間

7、為14.754，15.146 當(dāng)當(dāng)=0.01時，時， 0.005 2.58u 所以，所以，EX的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為14.692，15.208 置信程度提高，置信區(qū)間擴展，估計準(zhǔn)確度降低。置信程度提高，置信區(qū)間擴展，估計準(zhǔn)確度降低。 例例2 假定某地一旅游者的消費額假定某地一旅游者的消費額X服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布 N， 2，且規(guī)范差，且規(guī)范差 =12元，今要對該地旅游者的平元，今要對該地旅游者的平 均消費額均消費額EX加以估計，為了能以加以估計，為了能以95%的置信度置信這種的置信度置信這種 估計誤差小于估計誤差小于2元，問至少要調(diào)查多少人？元，問至少要調(diào)查多少人？ 解解 由題意知：消費額

8、由題意知：消費額XN，122，設(shè)要調(diào)查，設(shè)要調(diào)查n人。人。 由由 10.950.05 即即 2 1.96u 1.960.95 X P n 得得 查表得查表得 而而 2X1.962 n 解得解得 2 1.96 12 138.29 2 n 至少要調(diào)查人至少要調(diào)查人 正態(tài)總體方差未知，對均值的區(qū)間估計正態(tài)總體方差未知，對均值的區(qū)間估計 假設(shè)總體假設(shè)總體XN， 2，其中，其中， 均未知均未知 由由 (1) X t n Sn 構(gòu)造構(gòu)造T-統(tǒng)計量統(tǒng)計量 X T Sn 當(dāng)置信程度為當(dāng)置信程度為1-時，由時，由 2( 1)1P Ttn 查查t-分布表確定分布表確定 2( 1)tn 從而得從而得的置信程度為的置

9、信程度為1-的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為 22 (1),(1) SS XtnXtn nn 例例3 某廠消費的一種塑料口杯的分量某廠消費的一種塑料口杯的分量X被以為服從正態(tài)被以為服從正態(tài) 分布，今隨機抽取分布，今隨機抽取9個，測得其分量為單位：克：個，測得其分量為單位：克： 21.1，21.3，21.4，21.5，21.3，21.7，21.4，21.3， 21.6。試用。試用95%的置信度估計全部口杯的平均分量。的置信度估計全部口杯的平均分量。 解解 由題設(shè)可知：口杯的分量由題設(shè)可知：口杯的分量XN， 2 由抽取的由抽取的9個樣本，可得個樣本，可得 0.18 21.4 9Sxn 由由 10.950.

10、05 0.025(8) 2.306t得得 查表得查表得 2 0.18 (8)2.3060.13836 9 S t n 全部口杯的平均分量的置信區(qū)間為全部口杯的平均分量的置信區(qū)間為21.26，21.54 P127例例5與與P126例例3的比較：的比較： 12 80 25Sxn 解解 由題設(shè)可知：平均消費額由題設(shè)可知：平均消費額XN， 2 10.950.05 0.025(24) 2.064t 2 12 (24)2.0644.9536 25 S t n 平均消費額的置信區(qū)間為平均消費額的置信區(qū)間為75.0464，84.9536 由由 得得 查表得查表得 估計誤差為估計誤差為 2 4.95369.90

11、722 準(zhǔn)確度降低準(zhǔn)確度降低 緣由：樣本容量減少緣由：樣本容量減少 在實踐運用中，方差未知的均值的區(qū)間估計在實踐運用中，方差未知的均值的區(qū)間估計 較有運用價值。較有運用價值。 練習(xí)練習(xí) 假設(shè)某片居民每月對某種商品的需求量假設(shè)某片居民每月對某種商品的需求量X服從正態(tài)服從正態(tài) 分布，經(jīng)調(diào)查分布，經(jīng)調(diào)查100家住戶，得出每戶每月平均需求量為家住戶，得出每戶每月平均需求量為 10公斤，方差為公斤，方差為9，假設(shè)某商店供應(yīng)，假設(shè)某商店供應(yīng)10000戶，試就居民戶，試就居民 對該種商品的平均需求量進展區(qū)間估計對該種商品的平均需求量進展區(qū)間估計=0.01，并，并 依此思索最少要預(yù)備多少這種商品才干以依此思索

12、最少要預(yù)備多少這種商品才干以99%的概率滿的概率滿 足需求？足需求？ 2 9 10 100Sxn 解解 由題設(shè)可知：平均需求量由題設(shè)可知：平均需求量XN， 2 0.01 0.0050.005 (99)2.57tu 2 3 (99)2.570.771 100 S t n 平均消費額的置信區(qū)間為平均消費額的置信區(qū)間為9.229，10.771 由由 查表得查表得 續(xù)解續(xù)解 要以要以99%的概率滿足的概率滿足10000戶居民對該種商品的戶居民對該種商品的 需求，那么最少要預(yù)備的量為需求，那么最少要預(yù)備的量為 9.229 1000092290公斤公斤 最多預(yù)備最多預(yù)備 10.771 1000010771

13、0公斤公斤 正態(tài)總體均值知，對方差的區(qū)間估計正態(tài)總體均值知，對方差的區(qū)間估計 假設(shè)總體假設(shè)總體XN， 2，其中，其中知，知， 2未知未知 由由 (0,1) i X N 構(gòu)造構(gòu)造2-統(tǒng)計量統(tǒng)計量 2 2 22 1 2 1 ( ) n in ii i X X n 查查2- 分布表，確定雙側(cè)分位數(shù)分布表，確定雙側(cè)分位數(shù) 從而得從而得 2的置信程度為的置信程度為1-的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為 122 22 ( ),( )nn 212 22 11 22 , ( )( ) nn ii ii XX nn 例題知某種果樹產(chǎn)量服從例題知某種果樹產(chǎn)量服從218， 2，隨機，隨機 抽取抽取6棵計算其產(chǎn)量為單位：公斤棵

14、計算其產(chǎn)量為單位：公斤 221，191，202，205，256，236 試以試以95%的置信程度估計產(chǎn)量的方差。的置信程度估計產(chǎn)量的方差。 解解 計算計算 6 2 1 2931 i i x 查表查表 1 0.05 20.05 2 22 (6)1.24,(6)14.45 果樹方差的置信區(qū)間為果樹方差的置信區(qū)間為 2931 2931 ,202.84,2363.71 14.45 1.24 正態(tài)總體均值未知，對方差的區(qū)間估計正態(tài)總體均值未知，對方差的區(qū)間估計 假設(shè)總體假設(shè)總體XN， 2，其中，其中 2未知未知 由由 2 2 2 (1) (1) nS n 構(gòu)造構(gòu)造2-統(tǒng)計量統(tǒng)計量 2 2 2 (1)nS

15、 當(dāng)置信程度為當(dāng)置信程度為1-時，由時，由 122 2 22 2 (1) (1)(1)1 nS Pnn 查查2- 分布表，確定雙側(cè)分位數(shù)分布表，確定雙側(cè)分位數(shù) 從而得從而得 2的置信程度為的置信程度為1-的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為 122 22 (1),(1)nn 212 22 22 (1)(1) , (1)(1) nSnS nn 例例4 設(shè)某燈泡的壽命設(shè)某燈泡的壽命XN， 2， ， 2未知，現(xiàn)未知，現(xiàn) 從中任取從中任取5個燈泡進展壽命實驗，得數(shù)據(jù)個燈泡進展壽命實驗，得數(shù)據(jù)10.5，11.0， 11.2，12.5，12.8單位：千小時，求置信程度為單位：千小時，求置信程度為 90%的的 2的區(qū)間

16、估計。的區(qū)間估計。 解解 樣本方差及均值分別為樣本方差及均值分別為 2 0.99511.6Sx 10.90.1 22 0.051 0.05 (4)0.711(4)9.488 2 2 0.05 (1)4 0.995 5.5977 (4)0.711 nS 2的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為0.4195，5.5977 由由 得得 查表得查表得 2 2 0.95 (1) 0.4195 (4) nS 小小 結(jié)結(jié) 總體服從正態(tài)分布的均值或方差的區(qū)間估計總體服從正態(tài)分布的均值或方差的區(qū)間估計 1方差知，對均值的區(qū)間估計方差知，對均值的區(qū)間估計 假設(shè)置信程度為假設(shè)置信程度為1- 構(gòu)造構(gòu)造U-統(tǒng)計量，反查規(guī)范正態(tài)分布表

17、，統(tǒng)計量，反查規(guī)范正態(tài)分布表， 確定確定U的雙側(cè)分位數(shù)的雙側(cè)分位數(shù) 22 ,XuXu nn 2 u 得得EX的區(qū)間估計為的區(qū)間估計為 小小 結(jié)結(jié) 總體服從正態(tài)分布的均值或方差的區(qū)間估計總體服從正態(tài)分布的均值或方差的區(qū)間估計 2方差未知，對均值的區(qū)間估計方差未知，對均值的區(qū)間估計 假設(shè)置信程度為假設(shè)置信程度為1- 構(gòu)造構(gòu)造T-統(tǒng)計量，查統(tǒng)計量，查t-分布臨界值表，分布臨界值表， 確定確定T的雙側(cè)分位數(shù)的雙側(cè)分位數(shù) 22 (1),(1) SS XtnXtn nn 得得EX的區(qū)間估計為的區(qū)間估計為 2 (1)tn 小小 結(jié)結(jié) 總體服從正態(tài)分布的均值或方差的區(qū)間估計總體服從正態(tài)分布的均值或方差的區(qū)間估

18、計 3均值知，對方差的區(qū)間估計均值知，對方差的區(qū)間估計 假設(shè)置信程度為假設(shè)置信程度為1- 構(gòu)造構(gòu)造2-統(tǒng)計量，查統(tǒng)計量，查2-分布臨界值表，分布臨界值表， 確定確定2的雙側(cè)分位數(shù)的雙側(cè)分位數(shù) 得得 2的區(qū)間估計為的區(qū)間估計為 122 22 ( ),( )nn 212 22 11 22 , ( )( ) nn ii ii XX nn 小小 結(jié)結(jié) 總體服從正態(tài)分布的均值或方差的區(qū)間估計總體服從正態(tài)分布的均值或方差的區(qū)間估計 4均值未知，對方差的區(qū)間估計均值未知，對方差的區(qū)間估計 假設(shè)置信程度為假設(shè)置信程度為1- 構(gòu)造構(gòu)造2-統(tǒng)計量，查統(tǒng)計量，查2-分布臨界值表，分布臨界值表， 確定確定2的雙側(cè)分位數(shù)的雙側(cè)分位數(shù) 得得 2的區(qū)間估計為的區(qū)間估計為 122 22 (1),(1)nn 212 22 22 (1)(1) , (1)(1) nSnS nn 1方差知，對均值的區(qū)間估計，構(gòu)造方差知，對均值的區(qū)間估計，構(gòu)造U統(tǒng)計量統(tǒng)計量 22 ,XuXu nn 2方差未知，對均值的區(qū)間估計，構(gòu)造方差未知，對均值的區(qū)間估計，構(gòu)造T統(tǒng)計量統(tǒng)計量 22 (1),(1) S