理學(xué)高數(shù)上冊(cè)PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1 理學(xué)高數(shù)上冊(cè)理學(xué)高數(shù)上冊(cè) 在一般情況下：在一般情況下： 設(shè)設(shè) ),()(ufuF 則則.)()( CuFduuf 如果如果)(xu （可微）（可微） dxxxfxdF)()()( CxFdxxxf)()()( )( )( xu duuf 由此可得換元法定理由此可得換元法定理 第1頁(yè)/共36頁(yè) 設(shè)設(shè))(uf具具有有原原函函數(shù)數(shù)， dxxxf)()( )( )( xu duuf 第一類換元公式第一類換元公式（湊微分法湊微分法） 說(shuō)明說(shuō)明使用此公式的關(guān)鍵在于將使用此公式的關(guān)鍵在于將 dxxg)(化為化為.)()( dxxxf 觀察重點(diǎn)不同，所得結(jié)論不同觀察重點(diǎn)不同，所得結(jié)論不同. )(xu

2、 可可導(dǎo)導(dǎo)， 則有換元公式則有換元公式 定理定理1 1 第2頁(yè)/共36頁(yè) 例例1 1 求求.2sin xdx 解解（一）（一） xdx2sin )2(2sin 2 1 xxd ;2cos 2 1 Cx 解解（二）（二） xdx2sin xdxxcossin2 )(sinsin2xxd ;sin 2 Cx 解解（三）（三） xdx2sin xdxxcossin2 )(coscos2xxd .cos 2 Cx 第3頁(yè)/共36頁(yè) 例例2 2 求求. 23 1 dx x 解解,)23( 23 1 2 1 23 1 x xx dx x 23 1 dxx x )23( 23 1 2 1 du u 1 2

3、1 Cu ln 2 1 .)23ln( 2 1 Cx dxbaxf)( baxu duuf a )( 1 一般地一般地 第4頁(yè)/共36頁(yè) 例例3 3 求求. )ln21( 1 dx xx 解解dx xx )ln21( 1 )(ln ln21 1 xd x )ln21( ln21 1 2 1 xd x xuln21 du u 1 2 1 Cu ln 2 1 .)ln21ln( 2 1 Cx 第5頁(yè)/共36頁(yè) 例例4 4 求求. )1( 3dx x x 解解dx x x 3 )1( dx x x 3 )1( 11 )1( )1( 1 )1( 1 32 xd xx 221 )1(2 1 1 1 C

4、x C x . )1(2 1 1 1 2 C xx 第6頁(yè)/共36頁(yè) 例例5 5 求求. 1 22 dx xa 解解dx xa 22 1 dx a xa 2 2 2 1 11 a x d a x a 2 1 11 .arctan 1 C a x a 第7頁(yè)/共36頁(yè) 例例6 6 求求. 258 1 2 dx xx 解解 dx xx 258 1 2 dx x 9)4( 1 2 dx x 1 3 4 1 3 1 22 3 4 1 3 4 1 3 1 2 x d x . 3 4 arctan 3 1 C x 第8頁(yè)/共36頁(yè) 例例7 7 求求. 1 1 dx e x 解解dx e x 1 1 dx

5、e ee x xx 1 1 dx e e x x 1 1dx e e dx x x 1 )1( 1 1 x x ed e dx .)1ln(Cex x 第9頁(yè)/共36頁(yè) 例例8 8 求求.) 1 1( 1 2 dxe x x x 解解, 1 1 1 2 xx x dxe x x x 1 2 ) 1 1( ) 1 ( 1 x xde x x . 1 Ce x x 第10頁(yè)/共36頁(yè) 例例9 9 求求. 1232 1 dx xx 原式原式 dx xxxx xx 12321232 1232 dxxdxx 12 4 1 32 4 1 )12(12 8 1 )32(32 8 1 xdxxdx .12 1

6、2 1 32 12 133 Cxx 第11頁(yè)/共36頁(yè) 例例1010 求求 解解 . cos1 1 dx x dx xcos1 1 dx xx x cos1cos1 cos1 dx x x 2 cos1 cos1 dx x x 2 sin cos1 )(sin sin 1 sin 1 22 xd x dx x . sin 1 cotC x x 第12頁(yè)/共36頁(yè) 例例1111 求求 解解 .cossin 52 xdxx xdxx 52 cossin )(sincossin 42 xxdx )(sin)sin1(sin 222 xdxx )(sin)sinsin2(sin 642 xdxxx .

7、sin 7 1 sin 5 2 sin 3 1 753 Cxxx 說(shuō)明說(shuō)明 當(dāng)被積函數(shù)是三角函數(shù)相乘時(shí)，拆開奇當(dāng)被積函數(shù)是三角函數(shù)相乘時(shí)，拆開奇 次項(xiàng)去湊微分次項(xiàng)去湊微分. 第13頁(yè)/共36頁(yè) 例例1212 求求 解解 .2cos3cos xdxx ),cos()cos( 2 1 coscosBABABA ),5cos(cos 2 1 2cos3cosxxxx dxxxxdxx)5cos(cos 2 1 2cos3cos .5sin 10 1 sin 2 1 Cxx 第14頁(yè)/共36頁(yè) 例例1313 求求 解解（一）（一） dx xsin 1 .csc xdx xdxcsc dx xx 2 c

8、os 2 sin2 1 2 2 cos 2 tan 1 2 x d xx 2 tan 2 tan 1x d x C x 2 tanln.)cotln(cscCxx （使用了三角函數(shù)恒等變形）（使用了三角函數(shù)恒等變形） 第15頁(yè)/共36頁(yè) 解解（二）（二） dx xsin 1 xdxcsc dx x x 2 sin sin )(cos cos1 1 2 xd x xucos du u21 1 du uu1 1 1 1 2 1 C u u 1 1 ln 2 1 . cos1 cos1 ln 2 1 C x x 類似地可推類似地可推 出出 .)tanln(secsec Cxxxdx 第16頁(yè)/共36

9、頁(yè) 解解 例例1414 設(shè)設(shè) 求求 .,cos)(sin 22 xxf )(xf 令令xu 2 sin ,1cos 2 ux ,1)(uuf duuuf 1)(, 2 1 2 Cuu . 2 1 )( 2 Cxxxf 第17頁(yè)/共36頁(yè) 例例1515 求求 解解 . 2 arcsin4 1 2 dx x x dx x x 2 arcsin4 1 22 2 arcsin 2 1 1 2 x d xx ) 2 (arcsin 2 arcsin 1x d x . 2 arcsinlnC x 第18頁(yè)/共36頁(yè) 問題問題?1 25 dxxx 解決方法解決方法改變中間變量的設(shè)置方法改變中間變量的設(shè)置方法

10、. 過(guò)程過(guò)程令令txsin ,costdtdx dxxx 25 1tdtttcossin1)(sin 25 tdtt 25 cossin （應(yīng)用（應(yīng)用“湊微分湊微分”即可求出結(jié)果）即可求出結(jié)果） 第19頁(yè)/共36頁(yè) 其其中中)(x 是是)(tx 的的反反函函數(shù)數(shù). . 證證設(shè)設(shè) 為為 的原函數(shù)的原函數(shù),)(t )()(ttf 令令)()(xxF 則則 dx dt dt d xF )()()(ttf , )( 1 t 設(shè)設(shè))(tx 是單調(diào)的、可導(dǎo)的函數(shù)，是單調(diào)的、可導(dǎo)的函數(shù)， )( )()()( xt dtttfdxxf 則有換元公式則有換元公式 并且并且0)( t ，又設(shè) 又設(shè))()(ttf

11、具有原函數(shù)，具有原函數(shù)， 定理定理2 2 第20頁(yè)/共36頁(yè) 第二類積分換元公式第二類積分換元公式 CxFdxxf)()(,)(Cx )( )()()( xt dtttfdxxf )(tf ).(xf 說(shuō)明說(shuō)明)(xF為為)(xf的原函數(shù)的原函數(shù), 第21頁(yè)/共36頁(yè) 例例1616 求求 解解 ).0( 1 22 adx ax 令令taxtan tdtadx 2 sec dx ax 22 1 tdta ta 2 sec sec 1 tdtsecCtt )tanln(sec t a x 22 ax .ln 22 C a ax a x 2 , 2 t 第22頁(yè)/共36頁(yè) 例例1717 求求 解解

12、.4 23 dxxx 令令txsin2 tdtdxcos2 2 , 2 t dxxx 23 4 tdtttcos2sin44sin2 2 3 tdtt 23 cossin32 tdttt 22 cos)cos1(sin32 tdttcos)cos(cos32 42 Ctt )cos 5 1 cos 3 1 (32 53 t 2 x 2 4x .4 5 1 4 3 4 5 2 3 2 Cxx 第23頁(yè)/共36頁(yè) 例例1818 求求 解解 ).0( 1 22 adx ax 令令taxsec 2 , 0ttdttadxtansec dx ax 22 1 dt ta tta tan tansec td

13、tsecCtt )tanln(sec t a x 22 ax .ln 22 C a ax a x 第24頁(yè)/共36頁(yè) 說(shuō)明說(shuō)明(1)(1) 以上幾例所使用的均為以上幾例所使用的均為三角代換三角代換. 三角代換的三角代換的目的目的是化掉根式是化掉根式. 一般規(guī)律如下：當(dāng)被積函數(shù)中含有一般規(guī)律如下：當(dāng)被積函數(shù)中含有 22 )1(xa 可令可令;sintax 22 )2(xa 可令可令;tantax 22 )3(ax 可令可令.sectax 第25頁(yè)/共36頁(yè) 積分中為了化掉根式是否一定采用積分中為了化掉根式是否一定采用 三角代換并不是絕對(duì)的，需根據(jù)被積函數(shù)三角代換并不是絕對(duì)的，需根據(jù)被積函數(shù) 的情

14、況來(lái)定的情況來(lái)定. 說(shuō)明說(shuō)明(2)(2) 例例1919 求求 dx x x 2 5 1 （三角代換很繁瑣）（三角代換很繁瑣） 2 1xt 令令, 1 22 tx,tdtxdx dx x x 2 5 1 tdt t t 2 2 1 dttt 12 24 Cttt 35 3 2 5 1 .1)348( 15 1 242 Cxxx 解解 第26頁(yè)/共36頁(yè) 例例2020 求求 解解 . 1 1 dx e x x et 1 令令, 1 2 te x , 1 2 2 dt t t dx dx e x 1 1 dt t 1 2 2 dt tt 1 1 1 1 C t t 1 1 ln .11ln2Cxe

15、x ,1ln 2 tx 第27頁(yè)/共36頁(yè) 說(shuō)明說(shuō)明(3)(3) 當(dāng)分母的階較高時(shí)當(dāng)分母的階較高時(shí), 可采用可采用倒代換倒代換. 1 t x 例例2121 求求 dx xx )2( 1 7 令令 t x 1 , 1 2 dt t dx dx xx )2( 1 7 dt t t t 27 1 2 1 dt t t 7 6 21 Ct |21|ln 14 1 7 .|ln 2 1 |2|ln 14 1 7 Cxx 解解 第28頁(yè)/共36頁(yè) 例例2222 求求 解解 . 1 1 24 dx xx dx xx 1 1 24 令令 t x 1 , 1 2 dt t dx dt t tt 2 24 1 1

16、 11 1 （分母的階較高）（分母的階較高） dt t t 2 3 1 2 2 2 12 1 dt t t 2 tu 第29頁(yè)/共36頁(yè) du u u 12 1 du u u 1 11 2 1 )1(1 1 1 2 1 udu u Cuu 11 3 13 . 11 3 1 2 3 2 C x x x x 第30頁(yè)/共36頁(yè) 說(shuō)明說(shuō)明(4)(4) 當(dāng)被積函數(shù)含有兩種或兩種以上的當(dāng)被積函數(shù)含有兩種或兩種以上的 根式根式 時(shí)，可采用令時(shí)，可采用令 （其中（其中 為各根指數(shù)的為各根指數(shù)的最小公倍數(shù)最小公倍數(shù)） lk xx, n tx n 例例2323 求求 . )1( 1 3 dx xx 解解令令 6 tx ,6 5dt tdx dx xx )1( 1 3 dt tt t )1( 6 23 5 dt t t 2 2 1 6 第31頁(yè)/共36頁(yè) dt t t 2 2 1 11 6 dt t 2 1 1 16 Ctt arctan 6 .arctan 6 66 Cxx 第32頁(yè)/共36頁(yè) 基基 本本 積積 分分 表表 ;coslntan)14( Cxxdx ;sinlncot)15( Cxxdx ;)tanln(secsec)16( Cxxxdx ;)cotln(csccsc)17( Cxxxdx ;