和差化積、積化和差、萬(wàn)能公式

1、正、余弦和差化積公式指高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)部分的一組恒等式sina +si nB =2s in(a + B )/2 cos( a -B )/2sina -sinB =2cos(a + B )/2 sin ( a-B )/2cosa +cosB =2cos(a + B )/2 cos ( a-B )/2cosa -cosB =-2si n(a +B )/2 si n(a - B )/2【注意右式前的負(fù)號(hào)】以上四組公式可以由積化和差公式推導(dǎo)得到 證明過(guò)程sina +sin B =2sin( a +B )/2 cos( a- B )/2的證明過(guò)程因?yàn)閟in(a + B )=sina cosB +cosa

2、 sinB，sin(a - B )=sina cosB - cosa sinB，將以上兩式的左右兩邊分別相加，得sin( a +B )+sin( a - B )=2sina cos B,設(shè) a + B = 0 , a - B = 那么a =( 0 + )/2, B = (0- )/2把a(bǔ),B的值代入，即得sin 0+sin =2sin ( 0 + )/2 cos( 0 - ) /2 正切的和差化積tan a tan B =sin( aB )/(cos a cos B )(附證明) cot a cot B =sin( Ba )/(sin a sin B )tan a +cot B =cos( a

3、 - B )/(cos a sin B )tan a - cot B = - cos( a + B )/(cos a sin B ) 證明：左邊=tan a tan B =sin a /cos a sin B /cos Ba cos B )=(sin a cos B cos a sin B )/(cos =sin( aB )/(cos a cos B )=右邊等式成立 注意事項(xiàng)在應(yīng)用和差化積時(shí)，必須是一次同名三角函數(shù)方可實(shí)行。若是異名，必 須用誘導(dǎo)公式化為同名；若是高次函數(shù)，必須用降幕公式降為一次口訣正加正，正在前，余加余，余并肩正減正，余在前，余減余，負(fù)正弦反之亦然生動(dòng)的口訣：(和差化積)帥

4、+帥=帥哥帥-帥二哥帥咕+咕=咕咕哥-哥=負(fù)嫂嫂反之亦然記憶方法和差化積公式的形式比較復(fù)雜，記憶中以下幾個(gè)方面是難點(diǎn)，下面指出 了各自的簡(jiǎn)單記憶方法。結(jié)果乘以2這一點(diǎn)最簡(jiǎn)單的記憶方法是通過(guò)三角函數(shù)的值域判斷。sin和cos的值域都是-1,1，其積的值域也應(yīng)該是-1,1，而和差的值域卻是-2,2，因 此乘以2是必須的。也可以通過(guò)其證明來(lái)記憶，因?yàn)檎归_兩角和差公式后，未抵消的兩項(xiàng)相 同而造成有系數(shù)2，如：cos( a - B) - cos( a + B )=(cos a cos B +sin a sin B) - (cos a cos B - sin a sin B ) =2sin a sin B

5、 故最后需要乘以2。只有同名三角函數(shù)能和差化積無(wú)論是正弦函數(shù)還是余弦函數(shù)，都只有同名三角函數(shù)的和差能夠化為乘積。這一點(diǎn)主要是根據(jù)證明記憶，因?yàn)槿绻皇峭呛瘮?shù)，兩角和差公 式展開后乘積項(xiàng)的形式都不同，就不會(huì)出現(xiàn)相抵消和相同的項(xiàng)，也就無(wú)法化 簡(jiǎn)下去了。乘積項(xiàng)中的角要除以2在和差化積公式的證明中，必須先把a(bǔ)和B表示成兩角和差的形式，才能夠展開。熟知要使兩個(gè)角的和、差分別等于a和B,這兩個(gè)角應(yīng)該是(a + B )/2和(a - B )/2，也就是乘積項(xiàng)中角的形式。注意和差化積和積化和差的公式中都有一個(gè)“除以2”，但位置不同；而只有和差化積公式中有“乘以2”。使用哪兩種三角函數(shù)的積這一點(diǎn)較好的記憶

6、方法是拆分成兩點(diǎn)，一是是否同名乘積，二是“半差 角”(a - B )/2的三角函數(shù)名。是否同名乘積，仍然要根據(jù)證明記憶。注意兩角和差公式中，余弦的展 開中含有兩對(duì)同名三角函數(shù)的乘積，正弦的展開則是兩對(duì)異名三角函數(shù)的乘積。所以，余弦的和差化作同名三角函數(shù)的乘積；正弦的和差化作異名三角 函數(shù)的乘積。(a - B )/2的三角函數(shù)名規(guī)律為：和化為積時(shí)，以COS( a - B )/2的形式出現(xiàn)；反之，以sin ( a - B )/2的形式出現(xiàn)。由函數(shù)的奇偶性記憶這一點(diǎn)是最便捷的。如果要使和化為積，那么a和B調(diào)換位置對(duì)結(jié)果沒(méi)有影響，也就是若把(a - B )/2替換為(B - a )/2， 結(jié)果應(yīng)當(dāng)是一

7、樣的，從而(a - B )/2的形式是COS( a - B )/2 ；另一種情況可 以類似說(shuō)明。余弦-余弦差公式中的順序相反/負(fù)號(hào)這是一個(gè)特殊情況，完全可以死記下來(lái)。當(dāng)然，也有其他方法可以幫助這種情況的判定，如(0, n 內(nèi)余弦函數(shù)的單調(diào)性。因?yàn)檫@個(gè)區(qū)間內(nèi)余弦函數(shù)是單調(diào)減的，所以當(dāng)a大于B時(shí)，COS a小于COS B。但是這時(shí)對(duì)應(yīng)的(a +B )/2 和(a - B )/2 在(0, n )的范圍內(nèi)， 其正弦的乘積應(yīng)大于0，所以要么反過(guò)來(lái)把 COS B放到COS a前面，要么就在式子的最前面加上負(fù)號(hào)。積化和差公式sin a sin B =cos( a - B) - cos( a + B )/2

8、(注意：此時(shí) 差的余弦 在和的余弦前面)或?qū)懽鳎簊in a sin B= - cos( a +B)-cos( a - B )/2 (注意：此時(shí)公式 前有負(fù)號(hào))COS aCOSB=cos(a- B )+COS(a +B )/2sin acosB=sin(a+ B )+sin( a- B )/2cos asinB=sin(a+ B) - sin(a - B )/2證明積化和差恒等式可以通過(guò)展開角的和差恒等式的右手端來(lái)證明。即只需要把等式右邊用兩角和差公式拆開就能證明：sin a sin B= -1/2- 2sin a sin B =-1/2(cos a cos B - sin a sin B) -

9、 (cos a cos B +sin a sin B )=-1/2COS( a + B) - COS( a - B )其他的3個(gè)式子也是相同的證明方法。(參見(jiàn)和差化積)作用積化和差公式可以將兩個(gè)三角函數(shù)值的積化為另兩個(gè)三角函數(shù)值的和 乘以常數(shù)的形式，所以使用積化和差公式可以達(dá)到降次的效果。在歷史上，對(duì)數(shù)出現(xiàn)之前，積化和差公式被用來(lái)將乘除運(yùn)算化為加減運(yùn) 算，運(yùn)算需要利用三角函數(shù)表。運(yùn)算過(guò)程：將兩個(gè)數(shù)通過(guò)乘、除10的方幕化為0到1之間的數(shù)，通過(guò)查表求出對(duì)應(yīng)的反三角函數(shù)值，即將原式化為10Ak*sin a sin B的形式，套用積化和差后再次查表求三角函數(shù)的值，并最后利用加減算出結(jié)果。對(duì)數(shù)出現(xiàn)后，積

10、化和差公式的這個(gè)作用由更加便捷的對(duì)數(shù)取代。記憶方法積化和差公式的形式比較復(fù)雜，記憶中以下幾個(gè)方面是難點(diǎn)，下面指出 了各自的簡(jiǎn)單記憶方法。結(jié)果除以2這一點(diǎn)最簡(jiǎn)單的記憶方法是通過(guò)三角函數(shù)的值域判斷。sin和cos的值域都是-1,1，其和差的值域應(yīng)該是-2,2，而積的值域確是-1,1，因此 除以2是必須的。也可以通過(guò)其證明來(lái)記憶，因?yàn)檎归_兩角和差公式后，未抵消的兩項(xiàng)相 同而造成有系數(shù)2，如：COS( a - B) - COS( a + B )=(cos a cos B +sin a sin B) - (cos a cos B - sin a sin B ) =2sin a sin B故最后需要除以2

11、。使用同名三角函數(shù)的和差無(wú)論乘積項(xiàng)中的三角函數(shù)是否同名，化為和差形式時(shí)，都應(yīng)是同名三角 函數(shù)的和差。這一點(diǎn)主要是根據(jù)證明記憶，因?yàn)槿绻皇峭呛瘮?shù)，兩 角和差公式展開后乘積項(xiàng)的形式都不同，就不會(huì)出現(xiàn)相抵消和相同的項(xiàng)，也 就無(wú)法化簡(jiǎn)下去了。使用哪種三角函數(shù)的和差仍然要根據(jù)證明記憶。注意兩角和差公式中，余弦的展開中含有兩對(duì)同 名三角函數(shù)的乘積，正弦的展開則是兩對(duì)異名三角函數(shù)的乘積。所以反過(guò)來(lái)，同名三角函數(shù)的乘積，化作余弦的和差；異名三角函數(shù)的乘積，化作正弦的 和差。是和還是差？這是積化和差公式的使用中最容易出錯(cuò)的一項(xiàng)。規(guī)律為：“小角” B以cos B的形式出現(xiàn)時(shí)，乘積化為 和；反之，則乘積化為

12、 差。由函數(shù)的奇偶性記憶這一點(diǎn)是最便捷的。如果B的形式是cosB，那么若把B替換為-B，結(jié)果應(yīng)當(dāng)是一樣的，也就是含a +B和a - B的兩項(xiàng)調(diào)換位置對(duì)結(jié)果沒(méi)有影響，從而結(jié)果的形式應(yīng)當(dāng)是和；另一種情況可以類似 說(shuō)明。正弦-正弦積公式中的順序相反 /負(fù)號(hào)這是一個(gè)特殊情況，完全可以死記下來(lái)。當(dāng)然，也有其他方法可以幫助這種情況的判定，如 數(shù)的單調(diào)性。因?yàn)檫@個(gè)區(qū)間內(nèi)余弦函數(shù)是單調(diào)減的，所以 于cos( a - B )。但是這時(shí)對(duì)應(yīng)的 積應(yīng)大于等于 0,所以要么反過(guò)來(lái)把 么就在式子的最前面加上負(fù)號(hào)。0, n 內(nèi)余弦函 cos( a + B )不大 a和B在0, n 的范圍內(nèi)，其正弦的乘 cos( a - B )放到 cos( a +B )前面，要萬(wàn)能公式【詞語(yǔ)】：萬(wàn)能公式【釋義】：應(yīng)用公式sin a =2tan( a /2)/1+tan(a /2)人2cos a =1-tan( a /2)A2/1+tan(a /2)人2tan a =2tan( a /21- tan( a /2)人2a cos a、tan a 代換成 tan(a /2的式子，這種代換稱為萬(wàn)能置換?！就茖?dǎo)】：(字符版)sin a=2s in(/2)cos( a /2)=2sin(a /2)cos( a /2)/sin( a /2)A2+cos( a /2)A2=2tan(a /2)/1+(tar