小學(xué)五年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)奧數(shù)知識(shí)點(diǎn)講解第3課《巧求表面積》試題附答案

1、笫三講巧求表面積我們己經(jīng)學(xué)習(xí)了長(zhǎng)方體和正方體，知道長(zhǎng)方體或正方體六個(gè)面面積的總和 叫做長(zhǎng)方體或正方體的表面積如果長(zhǎng)方體的長(zhǎng)用3表示、寬用b表示、高用h表 示，那么，長(zhǎng)方體的表面積二（eb + ah+bh） X 2如杲正方體的棱長(zhǎng)用ai表示， 則正方體的表面積二6界對(duì)于由幾個(gè)長(zhǎng)方體或正方體組合而成的幾何形體，或者 是一個(gè)長(zhǎng)方體或正方體組合而面的幾何形體，它們的表面積又如何求呢？涉及 立體圖形的問(wèn)題，往往可考查同學(xué)們的看圖能力和空間想象能力小學(xué)階段遇 到的立體圖形主要是長(zhǎng)方體和正方體，這些圖形的特點(diǎn)都是可以從六個(gè)方向去 看，特別是求表面積時(shí)，就是上下、左右和前后六個(gè)方向（有時(shí)只考慮上. 左、前三個(gè)

2、方向）的平面圖形的面積的總和有了這個(gè)原則，在解決類似問(wèn)題 時(shí)就十分方便了。例1在一個(gè)棱長(zhǎng)為5分米的正方體上放一個(gè)棱長(zhǎng)為4分米的小正方體（右圖）， 求這個(gè)立體圖形的表面積。例2下圖是一個(gè)棱長(zhǎng)為2厘氷的正方體，在正方體上表面的正中，向下挖一個(gè) 棱長(zhǎng)為1厘米的正方體小洞，接著在小洞的底面正中向下挖一個(gè)棱 長(zhǎng)為扌厘米的正方體小洞，第三個(gè)正方體小洞的挖法與前兩個(gè)相同，棱長(zhǎng)為 扌厘米，那么最后得到的立體圖形的表面積是多少平方厘米？例3把19個(gè)棱長(zhǎng)為1厘米的正方體重疊在一起，按右圖中的方式拼成一個(gè)立體例4 一個(gè)正方體形狀的木塊，棱長(zhǎng)為1米，沿著水平方向?qū)⑺彸?片，每片又 按任意尺寸鋸成4條，每條又按任意尺

3、寸鋸成5小塊，共得到大大小小的長(zhǎng)方體 60塊，如下圖問(wèn)這60塊長(zhǎng)方體表面積的和是多少立方米？/例5有一些棱長(zhǎng)是1厘米的正方體，共1993個(gè)，要拼成一個(gè)大長(zhǎng)方體，問(wèn)表面 積最小是多少？ 例6用12個(gè)長(zhǎng)5厘米.寬4厘貳 高3厘米的長(zhǎng)方體碼放成一個(gè)表面積最小的長(zhǎng) 方體碼放后得到的這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積是多少？答案笫三講巧求表面積我們己經(jīng)學(xué)習(xí)了長(zhǎng)方體和正方體,知道長(zhǎng)方體或正方體六個(gè)面面積的總和 叫做長(zhǎng)方體或正方體的表面積如果長(zhǎng)方體的長(zhǎng)用且表示F寬用b表示、髙用h表 示，那么，長(zhǎng)方體的表面積二（曲+ ah + bh） X2.如果正方體的棱長(zhǎng)用遼表示， 則正方體的表面積對(duì)于由幾個(gè)長(zhǎng)方體或正方體組合而成的幾何形

4、體，或者 是一個(gè)長(zhǎng)方體或正方體組合而面的幾何形體，它們的表面積又如何求呢？涉及 立體圖形的問(wèn)題，往往可考查同學(xué)們的看圖能力和空間想象能九小學(xué)階段遇 到的立體圖形主要是長(zhǎng)方體和正方體，這些圏形的特點(diǎn)都是可臥從六個(gè)方向去 看，特別是求表面積時(shí)，就是上下.左右和前后六個(gè)方向（有時(shí)只考慮上、 左、前三個(gè)方問(wèn)）的平面圖形的面積的總和有了這個(gè)原則，在解決類似問(wèn)題 時(shí)就十分方便了。例1在一個(gè)棱長(zhǎng)為5分米的正方體上放一個(gè)棱長(zhǎng)為4分米的小正方體（右圖）， 求這個(gè)立體圖形的表面積。4/分祈 我們把上面的小正方體想象成是可以向下壓縮的，壓縮想后我們 發(fā)現(xiàn)；小正方體的上面與大正方體上面中的陰影部分合在一起，正好是大正

5、方 體的上面這樣這個(gè)立體圖形的表面積就可以分成這樣兩部分；上下方向:大正方體的兩個(gè)底面，口、正方體的四個(gè)側(cè)面，鍥I面.大正方體的四個(gè)側(cè)面。k解：上下方向 5X5X2-50 （平方分氷）;側(cè)面 5X5X4=100 （平方分米）f4X4X4=64 （平方分米）o這個(gè)立體圖形的表面積為：50+100+64=214 （平方分米）。答：這個(gè)立體圖形的表面積為214平方分米。例2下圖是一個(gè)棱長(zhǎng)為2厘米的正方體，在正方體上表面的正中，向下挖一個(gè) 棱長(zhǎng)為1厘米的正方體小洞，接著在小洞的底面正中向下挖一個(gè)棱 長(zhǎng)為厘米的正方體小洞，第三個(gè)正方體小洞的挖法與前兩個(gè)相同，棱長(zhǎng)為 ；厘米，那么最后得到的立體圖形的表面積

6、是多少平方厘米？4分析這道題的難點(diǎn)是洞里的表面積不易求.在小河里，平行于上下表面的所有 面的面積和等于邊長(zhǎng)為1厘米的正方形的面積，這個(gè)邊長(zhǎng)為1厘米的正方形再與 圖中陰影部分的面積合在一起正好是邊長(zhǎng)為2厘米的正方體的上表面的面積.這 個(gè)立體圖形的表面積分成兩部分：上下方向：2個(gè)邊長(zhǎng)為2厘米的正方形的面積，邊長(zhǎng)為2厘米的4個(gè)正方形的面積和， 邊長(zhǎng)為1厘米的4個(gè)正方形的面積和， 側(cè)面：邊長(zhǎng)為壬厘米的4個(gè)正方形的面積和,邊長(zhǎng)為：厘米的4個(gè)正方形的面積和。4解：平行于上下表面的各面面積之和:2X2X2 = 8 （平方厘米）；側(cè)面：2X2X4=16 （平方厘米），IX 1X4 = 4 （平方厘米），xx4

7、=1 （平方厘米），yxyx4 =（平方厘米）o444這個(gè)立體圖形的表面積為：84-16 + 4 + 1 + 1 = 29-（平方厘氷）。答：這個(gè)立體圖形的表面積為吋平方厘熱例3把19個(gè)棱長(zhǎng)為1厘米的正方體重疊在一起，按右圖中的方式拼成一個(gè)立體 圖形求這個(gè)立體圖形的表面積。分析從上下、左右、前后看時(shí)的平面圖形分別由下面三圖表示。左右面前后面因此，這個(gè)立體圖形的表面積為:上下面2個(gè)上面+2個(gè)左面+2個(gè)前面。解：上面的面積為：9平方厘米，左面的面積為：8平方厘米，前面的面積為：10平方厘米。因此，這個(gè)立體圖形的表面積為：（9 + 8+10）X2=54 （平方厘米）。答：這個(gè)立體圖形的袤面積為54平

8、方厘米。例4 一個(gè)正方體形狀的木塊，棱長(zhǎng)為1米，沿著水平方向?qū)⑺彸?片，每片又 按任意尺寸鋸成4條，每條又按任意尺寸鋸成5小塊，共得到大大小小的長(zhǎng)方體 60塊，如下圖.問(wèn)這60塊長(zhǎng)方體表面積的和是多少平方米？分析原來(lái)的正方體有六個(gè)外表面，每個(gè)面的面積是1X1 = 1 （平方氷），無(wú)論 后來(lái)鋸成多少塊，這六個(gè)外表面的6平方米總是被計(jì)入后來(lái)的小木塊的表面積 的.再考慮每鋸一刀，就會(huì)得到兩個(gè)1平方米的表面，現(xiàn)在一共鋸了： 2+3+4 = 9 （刀）,一共得到18平方米的美面因此，總的裏面積為：6+（2+3 + 4）X2 =24 （平方米）o解：每鋸一刀，就會(huì)得到兩個(gè)1平方米的表面,1 X 2=2

9、（平方米）一共鋸了： 2+3+4 = 9 （刀），得到：2X9=18 （平方米）的表面。因此，這大大小小的60塊長(zhǎng)方體的表面積的和為：6 + 18 = 24 （平方米）。答：這60塊長(zhǎng)方體表面積的和為24平方米.例5有一些棱長(zhǎng)是1厘米的正方體，共1993個(gè)，要拼成一個(gè)大長(zhǎng)方體，問(wèn)表面 積最小是多少？解：因?yàn)?993是一個(gè)質(zhì)數(shù)，所以這1993個(gè)正方體只能擺成長(zhǎng)1993厘米、寬 1厘米、高1厘米的長(zhǎng)方體，因此這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積為：1993X1X4 + 1X1X2 = 7974 （平方厘米）。答：擺成的大長(zhǎng)方體表面積最小是7974平方厘米。例6用12個(gè)長(zhǎng)5厘米、寬4厘米、高3厘米的長(zhǎng)方體碼放成一個(gè)表

10、面積最小的長(zhǎng) 方體.碼放后得到的這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積是多少？分析用這12個(gè)長(zhǎng)方體可以碼放岀許多種不同龍長(zhǎng)方體，當(dāng)然得到的表面積就 不會(huì)相同.我們可以把所有不同情況下的長(zhǎng)方體的表面積都計(jì)算岀來(lái)，再選岀 最小值，但這樣做，會(huì)浪費(fèi)很多時(shí)間，情況還不一定考慮得周全，因此，要考 慮有沒(méi)有巧妙的方法.先重申一下基本原理：在體積固定的所有長(zhǎng)方體中，只有各棱長(zhǎng)相等的立方體，其各棱長(zhǎng)之和為 最小，箕裹面積也最小。因?yàn)樗o長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高都己確定，而且己知是12個(gè)長(zhǎng)方體，所則 成的這個(gè)大長(zhǎng)方體的體積就已固定（3X4X5X12 = 720立方厘米）因?yàn)檫@個(gè) 大長(zhǎng)方體的體積不是一個(gè)立方數(shù)，因而不可能使各棱長(zhǎng)都相等，但

11、我們可以使 長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高這三個(gè)數(shù)盡可能地接近，這樣使其各棱長(zhǎng)之和為最小，這 個(gè)夭也方體的表面#只也最小。解：一方面12二2；X3,另一方面，長(zhǎng)、寬、高應(yīng)盡量接近，觀察到720 （立 方厘米）=8 （厘米）X9 （厘米）X10 （厘米），并且有5X2=10 （厘米），4 X2=8 （厘米），3X3 = 9 （厘:米）拼成的大長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為10厘米、8厘米、9厘米，這時(shí)長(zhǎng)方體 的表面積為：（10X9 + 10X8 + 9X8）X2=484 （平方厘米）。答:碼放后得到的這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積為484平方厘氷。習(xí)題三1如右圖所示，由三個(gè)正方體木塊粘合而成的嘆型，它們的棱長(zhǎng)分別為1 米、冰

12、、4米，要在表面涂刷油漆，如果大正方體的下面不涂油漆，則模型涂 刷油漆的面積是多少平方氷？/2.將高都是1氷，底面半徑分別是1.5氷、1氷和0.5氷的三個(gè)圓柱體如右圖 所示俎成一個(gè)物體，求這個(gè)物體的表面積（諏為3.14）。3小明小制作時(shí)把6個(gè)棱長(zhǎng)分別為1、2、3、4、5、6 （單位：分米）的正 方體浚由大到小的順序碼放成一個(gè)寶塔，并且把重合部分用膠固定粘牢，再把 所有外露的部分涂上油漆，交給老師.所有涂上油漆部分的面積是多少平方分 米？4. 有30個(gè)棱長(zhǎng)為1米的正方體，在地面上擺成如右圖的形式，求這個(gè)立體 圖形旳表面積是多少平方氷？5. 下面（Q中的一些積木是由16塊棱長(zhǎng)為2厘米的正方體堆成的

13、，它的表 面積是多少平方厘米？6個(gè)正方體的棱長(zhǎng)為4厘米，在它的前、后、左、右、上、下各面中心 各挖去一個(gè)棱長(zhǎng)為1厘米的正方體做成一種玩具，求這個(gè)玩具的表面積如果把 本題旳條件“4厘米”改換為“3厘米”，那么這個(gè)玩具的表面積是多少？（圖7.下圖 3 中是一個(gè)表面被涂上紅色的棱長(zhǎng)為10厘米的正方體木塊，如 果把它沿著虛線切威8個(gè)正方體，這些小正方體中沒(méi)有被涂上紅色的所有表面 的面積和是多少平方厘氷？=71(b)(E有一個(gè)棱長(zhǎng)為5厘氷的正方體木塊，從它的每一個(gè)面看都有一個(gè)穿透 十字形的孔（如左圖陰影部分），如果將其全部浸入黃漆后取出，曬干 后.再切成棱長(zhǎng)為1厘氷的小正方體，這些小正方體未被染上黃漆的

14、面積總和 是多少？五年級(jí)奧數(shù)下冊(cè)：第三講巧求表面積習(xí)題解答習(xí)題三解答L 解:4X4+ 1X1 十 2X2 十 4X4）X4=100 （平方米）o答；模型涂吊I抽漆的面積是100平方氷。2解；xL5;X2+2jtX（0. 5+1+1. 5）=32. 97 （平方米）o答：這個(gè)物體的表面積為陀刖平方米。3解* 6孩2+ 0+2；+歹X4=436 （平方分米）答徐上油漆部分的面積是436平方分米。4解：乂2+ （1:+1X2+1X3+1X4）X4=72 （平方米）。答：這個(gè)立體圖形的表面積為72平方米。5. 解：上下方向：22 X 9 X 2=72 （平方厘米）,前后方向：2；XX2 = 56 （平

15、方厘米），左右方向：2；X9X2 = 72 （平方厘米），（計(jì)算左右方向面積時(shí)，請(qǐng)注意底層前部凹進(jìn)去的二個(gè)側(cè)面）表面積為：72 + 56 + 72 = 200 （平方厘氷）。答：立體圖形的表面積為200平方厘米。6. 解：由于本題所給岀的正方體棱長(zhǎng)為4厘米，從六個(gè)面的中心位置各挖 去一個(gè)棱長(zhǎng)為1厘米的正方體，這樣得到的玩具中心部分是實(shí)體。原正方體的表面積為：4 X 6=96 （平方厘米）.在它的六個(gè)面各挖去一個(gè)棱 長(zhǎng)為:厘來(lái)的正方體后增加的面積為：12X4X6=24 （平方厘米），這個(gè)玩具的表面積為：96+24 = 120 （平方厘米）。答：這個(gè)玩具的表面積為120平方厘米。如果把本題的條件“

16、4厘米”改換成“3厘米那么解法就要發(fā)生變化， 因?yàn)橥谌チ鶄€(gè)小正方體后，大正方體的中心部分即與其主體脫離，這時(shí)得到的 新玩具是鏤空的把這個(gè)玩具分成20部分，8個(gè)角”和12條梁”，如右圖。每個(gè)“角”為棱長(zhǎng)1厘米的小正方體，它夕卜露部分的面積為：1収3二3 （平 方厘米）,則8個(gè)“角”外露部分的面積為：3X8=24 （平方厘米）。每條梁為棱長(zhǎng)1厘米的小正方體，它外露部分的面積為：PX4 = 4（平 方厘米），則12條梁”外露部分的面積為：4X12=48 （平方厘米）o這個(gè)玩具的表面積為：24 + 48=72 （平方厘米）。答：這個(gè)玩具的表面積為72平方厘米。7. 解：10*（3X2）=600 （平方厘米）答：這些小正方體中沒(méi)有被涂上紅色的所有表面的面積和為600平方厘 米。8. 解：先求切成棱長(zhǎng)為1厘米的小正方體后，所有這些小正方體的表面 積：扌巴這個(gè)幾何體分成20部分，2個(gè)“角”和12條“梁”每個(gè)“角”有0個(gè)小 正方體，則8個(gè)“角”共有8X8=64個(gè)小正方體.每條梁”有1個(gè)小正方