求導法則86819PPT學習教案

1、會計學1 求導法則求導法則86819 x xfxxf xf x )()( lim)( 0 ( 構造性定義 ) 求導法則求導法則 其它基本初等其它基本初等 函數求導公式函數求導公式 0 xcos x 1 ) (C ) sin(x ) ln(x 證明中利用了 兩個重要極限 初等函數求導問題初等函數求導問題 本節(jié)內容 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第1頁/共27頁 定理定理1.具有導數都在及函數xxvvxuu)()( )()(xvxu及的和、 差、 積、 商 (除分母 為 0的點外) 都在點 x 可導, 且 )()( )()() 1 (xvxuxvxu )()()()( )()()2(xvxu

2、xvxuxvxu )( )()()()( )( )( )3( 2 xv xvxuxvxu xv xu 下面分三部分加以證明, 并同時給出相應的推論和 例題 . )0)(xv 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第2頁/共27頁 此法則可推廣到任意有限項的情形. 設, 則 vuvu )() 1 ( )()()(xvxuxf h xfhxf xf h )()( lim)( 0 h xvxuhxvhxu h )()( )()( lim 0 h xuhxu h )()( lim 0 h xvhxv h )()( lim 0 )()(xvxu故結論成立. wvuwvu)( ,例如 機動 目錄 上頁 下頁

3、 返回 結束 例如, 第3頁/共27頁 vuvuvu ) ( 證證: 設, )()()(xvxuxf 則有 h xfhxf xf h )()( lim)( 0 h xvxuhxvhxu h )()()()( lim 0 故結論成立.)()()()(xvxuxvxu h hxu h )( lim 0 )(xu )(hxv h xv)( )(xu )(hxv 推論推論: ) () 1uC ) ()2wvu u C wvuwvuwvu ) log()3x a a x ln ln axln 1 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 ( C為常數 ) 第4頁/共27頁 解解: xsin4 1( 2 1 )

4、1sin , )1sincos4( 3 xxxy. 1 x yy 及求 y )(x x )1sincos4( 2 1 3 xx x 2 3( xx) 1x y1cos4)1sin43( 1cos21sin 2 7 2 7 )1sincos4( 3 xx )1sincos4( 3 xx 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第5頁/共27頁 )()( lim 0 xvhxvh )()( )()()()( xvhxv hxvxuxvhxu h )()(xvxu 2 v vuvu v u 證證: 設)(xf則有 h xfhxf xf h )()( lim)( 0 h h lim 0 , )( )( x

5、v xu )( )( hxv hxu )( )( xv xu h hxu )( )(xu )(xv h hxv )( )(xu )(xv 故結論成立. )( )()()()( 2 xv xvxuxvxu 推論推論: 2 v vC v C 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 ( C為常數 ) 第6頁/共27頁 ) (csc x xsin 1 x 2 sin )(sinx x 2 sin ,sec)(tan 2 xx 證證: .cotcsc)(cscxxx x x x cos sin )(tan x 2 cos xx cos)(sin)(cossinxx x 2 cos x 2 cosx 2 si

6、n x 2 sec xcos xxcotcsc 類似可證:,csc)(cot 2 xx.tansec)(secxxx 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第7頁/共27頁 )( x f 定理定理2. y 的某鄰域內單調可導, 證證: 在 x 處給增量由反函數的單調性知 且由反函數的連續(xù)性知 因此 ,)()( 1 的反函數為設yfxxfy 在)( 1 yf 0 )( 1 yf且 d d x y 或 ,0 x )()(xfxxfy,0 x y y x ,00yx時必有 x y xf x 0 lim)( lim 0 y y x y x d d 1 )( 1 yf 1 1 )( 1 yf 1 1 機動

7、 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第8頁/共27頁 1 解解: 1) 設,arcsin xy 則,sin yx , ) 2 , 2 ( y )(arcsinx )(siny ycos 1 y 2 sin1 1 2 1 1 x 類似可求得 ?)(arccosx , 1 1 )(arctan 2 x x 2 1 1 )arccot( x x 2 1 1 x xxarcsin 2 arccos 利用 0cosy, 則 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第9頁/共27頁 , )1,0(aaay x 則),0(,logyyx a )( x a )(log 1 y a 1 ayln 1 aylnaa x

8、ln xx e)e( ) arcsin(x 2 1 1 x ) arccos(x 2 1 1 x ) arctan(x 2 1 1 x ) cotarc(x 2 1 1 x aaa xx ln)( xx e)e( 特別 當 ea時, 小結小結: 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第10頁/共27頁 在點 x 可導, lim 0 xx u x u uf )( x y x y x 0 lim d d 定理定理3.)(xgu )(ufy 在點)(xgu 可導復合函數 fy )(xg且 )()( d d xguf x y 在點 x 可導, 證證:)(ufy 在點 u 可導, 故)(lim 0 uf

9、u y u uuufy)( （當 時 )0u0 故有 )()(xguf u y )(uf )0()( x x u x u uf x y 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第11頁/共27頁 例如,)(, )(, )(xvvuufy x y d d )()()(xvuf y u v x u y d d v u d d x v d d 關鍵: 搞清復合函數結構, 由外向內逐層求導. 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第12頁/共27頁 . )(sh)3(;)()2(;)() 1 (xxx x 解解: (1)()( ln x ex x e ln )ln(x x x 1 x )()( ln xxx

10、 ex xx e ln )ln( xx x x)1ln(x(2) (3) 2 )(sh xx ee x 2 x e x e xch 說明說明: 類似可得 ;sh)(chxx axx ea ln )(thx)( x a x x x ch sh th 2 sh xx ee x ; ch 1 2 x .lnaa x 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第13頁/共27頁 ,)cos(ln x ey 求. d d x y 解解: x y d d )cos( 1 x e )sin( x e x e )tan( xx ee 思考思考: 若)(u f 存在 , 如何求)cos(ln x ef的導數? x f

11、 d d )cos(ln( x e f ) )cos(ln x e )cos(ln )(x eu uf 這兩個記號含義不同 練習練習: 設 ,)(xfffy .,)(yxf求可導其中 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第14頁/共27頁 , )1(ln 2 xxy . y 求 解解: y 1 1 2 xx 1 12 1 2 x x2 1 1 2 x 記, )1(lnarsh 2 xxx則 ) (arsh x 1 1 2 x (反雙曲正弦) 其它反雙曲函數的導數見 P94例例16. 2 sh xx ee x 的反函數 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第15頁/共27頁 1. 常數和基本初等

12、函數的導數 (P94) ) (C0 ) ( x 1 x ) (sin xxcos ) (cos xxsin ) (tan xx 2 sec ) (cot xx 2 csc ) (sec x xxtansec ) (csc xxxcotcsc ) ( x aaa x ln ) ( x e x e ) (log x a axln 1 ) (ln x x 1 ) (arcsin x 2 1 1 x ) (arccos x 2 1 1 x ) (arctan x 2 1 1 x ) cot(arcx 2 1 1 x 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第16頁/共27頁 )(vuvu ) ( uCu

13、C ) ( vuvuvu v u 2 v vuvu ( C為常數 ) )0( v 3. 復合函數求導法則 )(, )(xuufy x y d d )()(xuf 4. 初等函數在定義區(qū)間內可導初等函數在定義區(qū)間內可導, ) (C0 ) (sin xxcos ) (ln x x 1 由定義證 , 說明說明: 最基本的公式 u y d d x u d d 其它公式 用求導法則推出 . 且導數仍為初等函數且導數仍為初等函數 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第17頁/共27頁 求 解解: , 11 11 xx xx y . y 2 122 2 xx y1 2 xx 1 y 12 1 2 x )2(

14、 x 1 1 2 x x 例例8. 設),0( aaaxy xaa axa 解解: 1 a aa xayaa a x ln 1 a xa aa x a ln 求 . y aa x ln 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第18頁/共27頁 求 解解: ,1arctan 2sin 2 xey x . y 1arctan) ( 2 xy ) ( 2 sin x e 2 sin x e 2 cos xx2 2 1 x 12 1 2 x x2 x21arctan 2 x 2 sin x e 2 cosx 2 sin x e 1 1 2 xx 關鍵關鍵: 搞清復合函數結構 由外向內逐層求導 機動 目錄

15、 上頁 下頁 返回 結束 第19頁/共27頁 求, 11 11 ln 4 1 1arctan 2 1 2 2 2 x x xy. y 解解: y 22 )1(1 1 2 1 x 2 1x x ) 11ln() 11ln( 22 xx 11 1 4 1 2 x 2 1x x 11 1 2 x 2 1x x 2 1 2 1 x x 2 2 1 x 2 1 x 23 1)2( 1 xxx 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第20頁/共27頁 求導公式及求導法則 (見 P94) 注意注意: 1),)(vuuv v u v u 2) 搞清復合函數結構 , 由外向內逐層求導 . 4 1 1 4 3 x

16、1. xx 1 4 3 1 x 思考與練習思考與練習 對嗎? 2 11 4 3 4 1 xx 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第21頁/共27頁 , )()()(xaxxf其中)(x在ax 因 )()()()(xaxxxf 故)()(aaf ax afxf af ax )()( lim)( ax xax ax )()( lim )(limx ax )(a 閱讀 L.P 51 例1 正確解法: )(a f 時, 下列做法是否正確?在求 處連續(xù), 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第22頁/共27頁 解解: (1) 1 b x a by 2 x a 1 b b x ba (2) y )(x

17、.)2(,) 1 ( xb b a y x a y x b a b a ln x a b b a ln 或 x a b y a b a b x ln 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第23頁/共27頁 ),99()2)(1()(xxxxxf).0( f 求 解解: 方法方法1 利用導數定義. 0 )0()( lim)0( 0 x fxf f x )99()2)(1(lim 0 xxx x !99 方法方法2 利用求導公式. )(xf)(x x )99()2)(1( xxx )99()2)(1(xxx !99)0(f 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第24頁/共27頁 P 96 2(2) , (8) , (10) ; 3 (2) , (3) ; 4 ; 6 (6) ,(8) ; 7 (3) , (7) , (10) ; 8 (4) , (5) , (8