高數輔導之專題五：間斷點

1、專題五基礎知識如果f（X）在點X。處有下列三種情況之一，則點X。是f（X）的一個間斷點:（1 ）在點X。處，f（x）沒有定義（2）lim f（x）不存在X0（3）雖然 lim f （x）存在，但 lim f（x） = f（x0）JX。JX。簡單地說，不連續(xù)的點即為間斷點。間斷點的分類：（1）左右極限都存在的間斷點為第一類間斷點，第一類間斷點又可分為跳躍間斷點（左右極限不等）和可去間斷點（左右極限相等）。（2）左右極限至少有一個不存在的間斷點為第二類間斷點。例題1間斷點。1. x =0是函數 y=arctan的x1解：y = arcta n在x = 0處沒有定義,x從而X = 0是函數y1 li

2、m arctan X ：。-X12. x = 0是函數y12X -1 解：y 彳 在2X 12X -1 lim X）。-12X 11X = 0是y =arctan的間斷點，且 x兀1lim arctan-2x）。x二arcta n的跳躍間斷點。x1-12 1間斷點。12X 1 、x=0處沒有定義，故 x=0是y 1 的間斷點，且2； 10 -10 12X _1 1-2 x 1-0 , lim1lim 11x 01x 0_!1 02x 11 2 x2x -1從而X = 0是函數y T的跳躍間斷點。2X 13.函數何=匚1的可去間斷點為x(x 1)e2x _1解：f (x)在x = 0和1處沒有定

3、義，故x(x 1)0和1是f(x) = I的間斷點，且x(x1)是僅有的兩個間斷點(因為f (x)是一個初等函數,f (x)在它的定義域內都是連續(xù)的)面分別0和1的間斷點類型:2xe -1 lim x 0 x(x -1)2xx(x -1)2x ex(x -1)limx 1 x -1-(e2 -1)-從而x = 0是函數f (x)二e2x -1x(x -1)的可去間斷點,x =1是第二類間斷點。4.函數f(x)二x|1 x|In |x|的可去間斷點為解:f (x)=x|1 _X|In |x |在 x =0和1處沒有定義,0 和 1 是 f (x)二x|1-x|斷點，且是僅有的兩個間斷點。下面分別

4、0和1的間斷點類型:XlimIn | x|= lim xln | x|x)|1 - x|x 50lim吐兇x01In1 -x|12x二 lim (-x) x_0=0In xIn x =limx1 - x1二 lim x 1 - _ilimxIn | x 1= lim In xx 1 11X |x1 x1In x =limX 1 x-1丄二 lim -Xj 1=1從而x = 0是函數f(x1-x|In |x|的可去間斷點,x = 1是跳躍間斷點。5.討論函數(x)的定義域、連續(xù)性，若有間斷點，指出其分類。解：f(x) Jim -x(x2n -1)2n x=limn :x(x2n 1)-2x2n1

5、Vm：x（一尋)x 1=x (1 - lim 2 n+(x一 x (1 - lim(x2)n1)n :分三種情形說明：（1 ）當 0 乞 x2 ：1 時,)n +1f (x) = x (1-x(2)當 xf （x） = lim arctanQ - xn）的定義域、連續(xù)性，若有間斷點，指出其分類。 =1 時，f(x)召0(3)當 x21 時,f （x） = X （1 一 2 ） = x亠1亦即X,X -10,x = -1f （x） -X,-1 ：: x : 10,x =1x,x 1故定義域為（_：:,：:） , x = 1為僅有的兩個（跳躍）間斷點，在其它點處連續(xù)。習題1.討論函數f (x)二x3 -xx(x 1)(x-2)2的定義域、連續(xù)性，若有間斷點，指出其分類。2.討論函數3.二 lim 亠n 匚1 X2初等函數處處有極限的函數設 f(x)A.C .，則在