數(shù)學(xué)建模（論文）潔具流水時(shí)間設(shè)計(jì)

1、蘭州交通大學(xué)2010年大學(xué)生數(shù)學(xué)建摸競(jìng)賽論文題目： 潔具流水時(shí)間設(shè)計(jì) 參賽人1： 姓名 學(xué)院 自動(dòng)化學(xué)院 班級(jí) 自動(dòng)控制081 參賽人2： 姓名 學(xué)院 自動(dòng)化學(xué)院 班級(jí) 自動(dòng)控制082 參賽人3： 姓名 學(xué)院 班級(jí) 學(xué)校統(tǒng)一編號(hào)，個(gè)人不得填寫論文編號(hào)： 摘要針對(duì)原有潔具不節(jié)水問題，一般電子控制水龍頭的開關(guān)采用繼電器，計(jì)時(shí)系統(tǒng)的耗電可以忽略，只考慮繼電器的耗電，因此耗電量與沖水次數(shù)和流水時(shí)間有關(guān)符合實(shí)際情況的假設(shè)和簡(jiǎn)化的前提下，建立了分段分析-集合處理的數(shù)學(xué)模型。在前一使用者與后一使用者使用潔具是相互獨(dú)立的情況下建立如下模型：模型一：直接從給出的數(shù)據(jù)出發(fā)，建立分段函數(shù)，利用其解決。模型二：采用了

2、用時(shí)間直方圖及正態(tài)分布數(shù)學(xué)模型。對(duì)得到的離散數(shù)據(jù)利用matlab處理得到了較準(zhǔn)確的結(jié)果。設(shè)上一使用者離開和下一使用者開始使用潔具的時(shí)間間隔比較小，潔具沖水時(shí)間受到影響。由于潔具可以根據(jù)用戶要求，設(shè)定不同的程序。模型三：為了節(jié)約用水，一般潔具具有重新計(jì)時(shí)功能?？紤]到時(shí)間間隔，我們對(duì)方案一和方案二的時(shí)間計(jì)算公式進(jìn)行修正?；谝陨夏Ｐ偷玫搅耍喝绻粡墓?jié)約能源的角度來考慮的話，模型一：t=21 秒，是最佳的選擇；模型二：t=6秒，是最佳選擇。模型三：t=6秒，是最佳選擇。如果還考慮清潔度和潔具的壽命的話，模型一二：t=22 秒，模型三為11秒最佳的選擇從節(jié)能的角度。由于模型一只是離散的處理了數(shù)據(jù)，很大

3、的偏離了實(shí)際，而模型二對(duì)此作了很好的處理，減少了誤差。 模型三適合使用量比較大的地方。對(duì)感應(yīng)式小便器目前主要采用的兩種出流方案進(jìn)行了分析比較，建立了兩個(gè)模型，用matlab 求出了各方案出流時(shí)間設(shè)計(jì)參數(shù)t 的最優(yōu)值，并在此基礎(chǔ)上，對(duì)感應(yīng)式小便器的出流時(shí)間進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)，給出了一套既節(jié)水又衛(wèi)生的流水方案。中心部分1、問題提出本體是基于一些潔具的使用流水時(shí)間數(shù)據(jù)對(duì)其優(yōu)化，使其更節(jié)能。2、問題分析在前一使用者與后一使用者使用潔具是相互獨(dú)立的情況下，對(duì)于流水時(shí)間做函數(shù)化的處理，得到模型一；利用概率的思想，在基于matlab處理數(shù)據(jù)，得到模型二。設(shè)上一使用者離開和下一使用者開始使用潔具的時(shí)間間隔比較小，

4、潔具沖水時(shí)間受到影響。由于潔具可以根據(jù)用戶要求，設(shè)定不同的程序。3、模型假設(shè)和符號(hào)說明(1) 符號(hào)說明:t：潔具中設(shè)計(jì)的放水時(shí)間參數(shù)（單位秒）;t：使用者使用的時(shí)間;f：每個(gè)人使用后沖水的時(shí)間；v：放水過程單位時(shí)間內(nèi)流出的水量；r：所有使用者使用的沖水時(shí)間的累加；r：每位使用者平均使用的沖水時(shí)間；c：每個(gè)使用者使用潔具時(shí)，平均沖水的次數(shù)；(2) 模型假設(shè):1、廠家 隨機(jī)100 人次得出的男性使用潔具時(shí)間可以反映出現(xiàn)現(xiàn)實(shí)情況。2、一般電子控制水龍頭的開關(guān)采用繼電器，計(jì)時(shí)系統(tǒng)的耗電可以忽略，只考慮繼電器的耗電，因此耗電量與沖水次數(shù)和流水時(shí)間有關(guān)。3、潔具的壽命與沖水次數(shù)和沖水時(shí)間有關(guān)。4、用水量與

5、用水時(shí)間成正比。5、使用者每次使用時(shí)間屬于正態(tài)分布。6、前一使用者與后一使用者使用潔具是相互獨(dú)立。4、模型建立計(jì)算方法設(shè)計(jì)和計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)4.1 模型一在具體解決問題的過程中，我們對(duì)一些必要的未知行了假設(shè)，從而進(jìn)行求解。并排除了幾個(gè)與本題無關(guān)的量，如確定水為時(shí)刻均勻，排除電的其他損耗等。方案一：若0t-512 即5t17 則為100（t+10）秒（t總）無線接近于1500秒；若12t-513 即17t18 那么1個(gè)人放水一次為t秒，其余99人為（10+t）秒， t=17時(shí)，t總=2690秒；若13t-514 即18t19 那么6個(gè)人放水一次為t秒，其余94人為（10+t）秒， t=18時(shí)，t總=2

6、740秒；若14t-515 即19t20 那么18個(gè)人放水一次為t秒，其余82人為（10+t）秒， t=19時(shí)，t總=2415秒；若15t-516 即20t21 那么78個(gè)人放水一次為t秒，其余22人為（10+t）秒， t=20時(shí)，t總=2220秒；若16t-517 即21t22 那么91個(gè)人放水一次為t秒，其余9人為（10+t）秒， t=21時(shí)，t總=2190秒；若17t-518 即22t23 那么97個(gè)人放水一次為t秒，其余3人為（10+t）秒， t=22時(shí)，t總=2230秒；若18t-5 即23t 那么100個(gè)人放水一次為t秒，t=23時(shí)，t總=2300秒；方案二：考慮壽命的問題，則確定

7、每位使用者使用時(shí)的沖水此時(shí)不超過2次182t-5 t11.5若0t-512 則 5t17 t11.5 11.5t17此時(shí)，100人均超過（t-5）秒，故t總=2300秒；若 12t-513,則t+992t,故t總=3383秒; 若 13t-514,則6t+942t,故t總=3492秒;若 14t-515,則18t+822t,故t總=3458秒;若 15t-516,則78t+222t,故t總=2440秒;若 16t-517,則91t+92t,故t總=2289秒;若 17t-518,則97t+32t,故t總=2266秒;若 18 t-5 則100t,故t總=2300秒;根據(jù)兩個(gè)方案的數(shù)據(jù)可知,方案

8、一的t的最佳值為21;方案二的t的最佳值22.對(duì)于節(jié)約,方案一更適合;對(duì)于清潔,方案二更適合. 在這道題目中，我們運(yùn)用的建立數(shù)學(xué)模型的方法，將復(fù)雜繁瑣的問題明朗化、簡(jiǎn)便化，節(jié)約了計(jì)算所用的時(shí)間，并使答案的正確率大大提高。雖然在實(shí)際實(shí)施的過程中，必然會(huì)有一些誤差的出現(xiàn)，例如計(jì)算機(jī)和人自身計(jì)算中存在的錯(cuò)誤，但我們可以從這個(gè)題目中可以演化出一個(gè)可以簡(jiǎn)單運(yùn)用的計(jì)算機(jī)程序（見附件），從而簡(jiǎn)便地求解類似的一系列問題。4.2 模型二設(shè)上一個(gè)使用者離開和下一個(gè)使用者開始使用潔具時(shí)間間隔充分大，可以保證潔具不受下一個(gè)使用者的影響。則方案一時(shí)間的計(jì)算如下：當(dāng)使用時(shí)間不超過t-5 秒時(shí)，放水一次，時(shí)間為t秒。否則放

9、水時(shí)間為t+10 秒。數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：其中f 代表沖水時(shí)間。則用水量為f方案二時(shí)間的計(jì)算如下：當(dāng)使用時(shí)間不超過t-5 秒時(shí)，放水一次，時(shí)間為t秒。否則，到2t 時(shí)刻再開始第二次放水，總的放水時(shí)間為2t。依次類推，使用時(shí)間超過nt-5 時(shí)，到第2nt 的時(shí)刻再開始第n+1 次放水，時(shí)間為(n+1)t。數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：f 代表沖水時(shí)間。則用水量為f 從而，我們可以得到如下規(guī)劃：圖一圖2 1000 人沖水時(shí)間的累加圖3 1000 人沖水次數(shù)的累加首先用matlab 軟件中的hist 函數(shù)對(duì)所給的數(shù)據(jù)進(jìn)行繪圖，從圖可以看出使用者每次使用時(shí)間屬于正態(tài)分布。然后用normplot 畫出其概率圖。以下使用者

10、使用時(shí)間的直方圖及正態(tài)分布概率圖，見圖1。由normpfit 函數(shù)算出其均值為15.0900, 方差為1.0259。用ttest 函數(shù)經(jīng)檢驗(yàn)其均值結(jié)果如下：h=0，p=1，ci=14.8864 15.2936。h=0，p=1 代表不拒絕零假設(shè)。ci=14.8864-15.2936， 說明期望在14.8864-15.2936 之間概率為95%，15.09 完全在其中。我們用normrnd函數(shù)產(chǎn)生服從正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)，可以對(duì) 1000 人進(jìn)行統(tǒng)計(jì)他們總的使用時(shí)間和沖水次數(shù)。由于不知道上一個(gè)使用者和下一個(gè)使用者上廁所的時(shí)間間隔，我們對(duì)三種情況進(jìn)行了不同的討論。下面是在不同t 的情況下的所有人用的時(shí)間

11、，而且可以得出在不同t 的情況下所有人使用潔具的次數(shù)。我們比較兩種方案，得出方案一更好些。由圖2 與圖3 可知：在t=22 秒以前，方案一沖水時(shí)間要明顯小于方案二的沖水時(shí)間。在t=22 秒以后，方案一沖水時(shí)間與方案二的沖水時(shí)間一樣的。在t=11 秒以前，方案一沖水次數(shù)要明顯小于方案二的沖水次數(shù)。在t=11 秒以后，方案一沖水次數(shù)和方案二的沖水次數(shù)無區(qū)別。綜上所述，從節(jié)約能源的角度和潔具壽命的角度上來看，方案一比方案二好。如果只從節(jié)約能源的角度來考慮的話，t=6 秒，是最佳的選擇。如果還考慮清潔度和潔具的壽命的話，t=22 秒，最佳的選擇。4.3 模型二設(shè)上一使用者離開和下一使用者開始使用潔具的

12、時(shí)間間隔比較小，潔具沖水時(shí)間受到影響。由于潔具可以根據(jù)用戶要求，設(shè)定不同的程序。為了節(jié)約用水，一般潔具具有重新計(jì)時(shí)功能?？紤]到時(shí)間間隔，我們對(duì)方案一和方案二的時(shí)間計(jì)算公式進(jìn)行修正。設(shè)g 為時(shí)間間隔，則方案一時(shí)間計(jì)算公式如下：f=t+g tt-5 t+g tt ttt+g tt-5 t+g t+10t+10 tt-5 t+gt+10方案二時(shí)間計(jì)算公式如下：f=t t t-5nt nt-5t (n+1)t-5 t+g 2ntt+g-nt nt-5t (n+1)t-5 t+g (2n+1)t 2ntt+g(n+1)t nt-5t (n+1)t-5 (2n+1)t t=12:18t = 12 13 14 15 16 17 18 x=1 5 12 60 13 6 3x = 1 5 12 60 13 6 3 bar(t,x)normplot(t)muhat