[2018年最新整理]彈性力學 第六章 平面問題的直角坐標解

1、-作者xxxx-日期xxxx2018年最新整理彈性力學 第六章 平面問題的直角坐標解【精品文檔】第六章 平面問題的直角坐標解知識點平面應變問題應力表示的變形協(xié)調方程應力函數(shù)應力函數(shù)與雙調和方程 平面問題應力解法逆解法簡支梁問題矩形梁的級數(shù)解法平面應力問題平面應力問題的近似性應力分量與應力函數(shù)應力函數(shù)與面力邊界條件應力函數(shù)性質懸臂梁問題楔形體問題一、內容介紹對于實際工程結構的某些特殊形式，經過適當?shù)暮喕土W模型的抽象處理，就可以歸結為彈性力學的平面問題，例如水壩，受拉薄板等。這些問題的特點是某些基本未知量被限制在平面內發(fā)生的，使得數(shù)學上成為二維問題，從而簡化了這些問題的求解困難。本章的任務就是

2、討論彈性力學平面問題：平面應力和平面應變問題。彈性力學平面問題主要使用應力函數(shù)解法，因此本章的工作從推導平面問題的基本方程入手，引入應力函數(shù)并且通過例題求解，熟悉和掌握求解平面問題的基本方法和步驟。本章學習的困難是應力函數(shù)的確定。雖然課程討論了應力函數(shù)的相關性質，但是應力函數(shù)的確定仍然沒有普遍的意義。這就是說，應力函數(shù)的確定過程往往是根據(jù)問題的邊界條件和受力等特定條件得到的。二、重點1、平面應變問題；2、平面應力問題；3、應力函數(shù)表達的平面問題基本方程；4、應力函數(shù)的性質；5、典型平面問題的求解。6.1 平面應變問題學習思路:對于彈性力學問題，如果能夠通過簡化力學模型，使三維問題轉化為二維問題

3、，則可以大幅度降低求解難度。平面應變問題是指具有很長的縱向軸的柱形物體，橫截面大小和形狀沿軸線長度不變；作用外力與縱向軸垂直，并且沿長度不變；柱體的兩端受固定約束的彈性體。這種彈性體的位移將發(fā)生在橫截面內，可以簡化為二維問題。根據(jù)平面應變問題定義，可以確定問題的基本未知量和基本方程。對于應力解法，基本方程簡化為平衡微分方程和變形協(xié)調方程。學習要點：1、平面應變問題；2、基本物理量；3、基本方程；4、應力表示的變形協(xié)調方程1、平面應變問題部分工程構件，例如壓力管道、水壩等，其結構及其承載形式力學模型可以簡化為平面應變問題，典型實例就是水壩，如圖所示這類彈性體是具有很長的縱向軸的柱形物體，橫截面大

4、小和形狀沿軸線長度不變；作用外力與縱向軸垂直，并且沿長度不變；柱體的兩端受固定約束。這類工程問題，我們可以認為柱體是無限長的。如果從中任取一個橫截面，則柱形物體的形狀和所受載荷將對此橫截面是對稱的。因此物體變形時，橫截面上的各點只能在其自身平面內移動。設縱向軸為z軸，則沿z方向的位移恒等于零，位移只能發(fā)生在Oxy面內。而且任一個橫截面都是對稱面，因此只要具有相同的x、y坐標，則有相同的位移。所以物體的位移為 2、基本物理量根據(jù)幾何方程平面應變問題的應變分量 ex，ey，gxy 均為坐標x,y的函數(shù)，而其余應變分量ez = gxz= gyz = 0。 由于這類問題的位移和應變都是發(fā)生在Oxy平面

5、內的，所以稱為平面應變問題。根據(jù)物理方程可得所以回代可得平面應變問題的物理方程其中因此，平面應變問題只有應力sx，sy，sz = (sx+sy)和txy不等于零，而且這些應力均為x，y的函數(shù)，與坐標z無關。3、基本方程據(jù)上述的分析，可以將彈性力學的基本方程在平面應變問題中大為簡化。平衡微分方程將簡化為兩個幾何方程簡化為三個變形協(xié)調方程由六個簡化為一個面力邊界條件也簡化為兩個4、應力表示的變形協(xié)調方程應用上述平衡、物理、幾何方程和變形協(xié)調方程，再配以一定的邊界條件，例如面力邊界條件，則可求解平面應變問題。彈性力學平面問題一般采用應力解法，基本方程為平衡微分方程和變形協(xié)調方程。變形協(xié)調方程是應變分

6、量表達的，對于應力解法，需要用基本未知量應力分量來描述變形協(xié)調方程。將物理方程代入變形協(xié)調方程，可得在體力為常數(shù)的條件下，可以利用平衡微分方程簡化上式，既對平衡微分方程的兩個公式分別對x，y求偏導數(shù)后相加，可得回代到變形協(xié)調方程，并作整理可得以上方程是平面應變問題中的由應力表示的變形協(xié)調方程，它表達了物體內的變形協(xié)調關系，稱為萊維（Lvy，M.）方程。6.2 平面應力問題學習思路:平面應力問題討論的彈性體為薄板，厚度為h遠遠小于結構另外兩個方向的尺度。薄板的中面為平面，其所受外力，包括體力均平行于中面Oxy面內，并沿厚度方向Oz不變。而且薄板的兩個表面不受外力作用。因此應力沿厚度方向不變。平面

7、應力問題與平面應變問題在應力解法條件下，有類似的基本方程。學習要點：1、平面應力問題；2、基本物理量與本構方程；3、基本方程與邊界條件1、平面應力問題平面應力問題和平面應變問題的力學模型是完全不同的。平面應力問題討論的彈性體為薄板，如圖所示薄壁厚度為h遠遠小于結構另外兩個方向的尺度。薄板的中面為平面，其所受外力，包括體力均平行于中面Oxy面內，并沿厚度方向Oz不變。而且薄板的兩個表面不受外力作用。根據(jù)薄板的表面面力邊界條件，即表面不受外力作用，則由于板很薄，外力沿厚度均勻分布，因此應力分量也沿厚度均勻分布，所以應力分量不隨z改變。根據(jù)邊界條件可得而其余應力分量為坐標x, y的函數(shù)，即由于應力分

8、量均發(fā)生在薄板的中面，所以稱為平面應力問題。2、基本物理量與本構方程根據(jù)物理方程的第三式可得與平面應變問題相比較，這里ez0，這表明薄板變形時，兩底面將發(fā)生畸變。但是由于平板很薄，這種畸變也是很小的。因此平面應力問題的物理方程為因此在平面應力問題中，只有應變 存在，而且這些應變均為坐標x，y的函數(shù)，與z無關。3、基本方程與邊界條件根據(jù)與平面應變問題相同的分析，平面應力問題的基本方程也可以作相應的簡化。平衡、幾何、變形協(xié)調方程以及面力邊界條件均簡化為與平面應變問題相同的形式，其簡化形式分別為平衡微分方程幾何方程變形協(xié)調方程邊界條件6.3 平面問題的應力函數(shù)解法學習思路:本節(jié)討論平面問題的應力函數(shù)

9、解法。考察平面問題的彈性力學基本方程平衡微分方程和應力表示的變形協(xié)調方程，在常體力條件下，可以通過應力函數(shù)表達應力分量。這樣問題的基本未知量由三個應力分量簡化為一個應力函數(shù)。將應力函數(shù)代入基本方程，可以得到由應力函數(shù)表達的基本方程雙調和方程。因此彈性力學平面問題的求解轉化為確定應力函數(shù)雙調和函數(shù)。學習要點：1、平面問題的基本方程；2、應力分量與應力函數(shù)；3、應力函數(shù)與雙調和方程1、平面問題的基本方程如果采用應力作為基本未知量求解彈性力學平面問題，在常體力的條件下基本方程歸結為在給定的邊界條件下求解平衡微分方程和應力表示的變形協(xié)調方程 。對于平衡微分方程的解，可以分解為其齊次方程的通解與任一特解

10、之和。齊次方程就是體力為零的平衡微分方程顯然，平衡微分方程的特解是容易尋找的，下列應力分量均為齊次方程的特解，或者2、應力分量與應力函數(shù)根據(jù)微分方程理論，必有函數(shù) f（x，y），令則齊次方程的第一式恒滿足。同理必有函數(shù)g（x，y），如果則齊次方程的第二式恒滿足，所以引入任意函數(shù) (x，y)，使得將上式分別回代，可得應力分量表達式上述應力分量即為齊次平衡微分方程的通解。對于體力為零的彈性力學平面問題，只要函數(shù)是四階連續(xù)可導的，總是滿足齊次微分方程的。3、應力函數(shù)與雙調和方程將平衡微分方程特解代入應力表達式，則自然滿足平衡微分方程。應力分量不僅需要滿足平衡微分方程，而且還需要滿足變形協(xié)調方程，將上

11、述應力分量代入變形協(xié)調方程，可得上式說明函數(shù) (x，y）應滿足雙調和方程。根據(jù)應力函數(shù)計算的應力分量滿足平衡微分方程，而雙調和函數(shù)表達的應力函數(shù)自然滿足變形協(xié)調方程。因此雙調和方程就成為平面問題應力解法的基本方程。綜上所述，彈性力學平面問題的應力解法，包括平面應力和平面應變問題，歸結為在給定的邊界條件下求解雙調和方程。這里，函數(shù) (x，y)稱為艾里（Airy）應力函數(shù)，一般簡稱為應力函數(shù)。6.4 平面應力問題的近似性學習思路:對于平面應力和平面應變問題，如果討論的物體截面形狀及側面受力相同，則它們所需滿足的基本方程和邊界條件相同，因此解和應力函數(shù)均相同。但是問題的z方向應力和位移不同。應該注意

12、的問題是雖然二者方程相同，但是平面應變問題是完全滿足變形協(xié)調方程的，而平面應力問題卻是部分滿足的。問題的求解又不能要求平面應力問題同時滿足所有變形協(xié)調方程，因此討論其近似性。對于薄板，雖然平面應力問題沒有完全滿足協(xié)調方程，但是誤差是比較小的。學習要點：1、平面應變與平面應力問題；2、平面應力問題與基本方程；3、平面應力問題的誤差1、平面應變與平面應力問題對于平面應力和平面應變問題，若討論的物體截面形狀及側面受力相同，則它們所需滿足的基本方程和邊界條件也相同，所得到的解和應力函數(shù)均相同。因此，它們的應力分量s x，s y和t xy也相同，應力分量t xz和t yz均等于零， 所不同的是 z 向應

13、力分量 s z，應變e z和位移分量w。下表列出了兩種平面問題的主要差別平面應變問題平面應力問題z向應力分量s z =n (s x + s y )s z0z向位移分量w0w0正應變分量上述分析表明，平面應力和平面應變問題的主要不同在于z向應變，位移和正應力的計算公式。2、平面應力問題與基本方程雖然平面應力和平面應變問題的主要不同在于z向應變，位移和正應力的計算公式。但是應該注意的問題是平面應力問題解的近似性。由于討論平面應力問題時，僅用了一個變形協(xié)調方程，其余五個方程未做檢驗。這五個方程對于平面應變問題來講是完全滿足的，而對于平面應力問題，變形協(xié)調方程除了第四，五兩式自動滿足外，第二，三，六式

14、還要求這要求ez 為x，y的線性函數(shù)，因此ez = ax+by+c，但平面應力問題又要求，這要求sx+ sy滿足線性分布。這只有均勻應力分布，例如單向、雙向拉伸，純彎曲和純剪切等可以滿足。這將使求解受到極大的限制，通過雙調和方程和邊界條件得到的彈性力學解，一般是不可能滿足此條件的3、平面應力問題的誤差由于平面應力問題ez0，這使得問題的求解困難相對。為了簡化分析，對于薄板問題，ez很小，可以認為ez近似為零。這樣平面應力問題也可以像平面應變問題一樣求解。對于這樣的假設，將不可避免產生誤差，下面將討論其誤差。假如重新假定應力分量sx，sy，txy是x，y，z的函數(shù)，應力分量sz，txz 和tyz

15、 仍然等于零，則可以選取新的應力函數(shù)求解平面應力問題。如果上式中函數(shù) (x，y）為雙調和函數(shù)，則應力函數(shù)Y(x，y，z)完全滿足平衡微分方程和六個變形協(xié)調方程。顯然，新的應力函數(shù)Y(x，y，z)與平面應力問題近似解應力函數(shù)的主要差別在于補充項 的影響。根據(jù)上述分析，可以對平面應力簡化解的誤差做量級上的分析。由于平面應力問題討論的板厚很小，補充項含有z的平方項，因此補充項對應力計算的貢獻就是一個z的平方項。對于薄板問題，一般來講，此項影響很小，因此可以忽略不計。6.5 應力函數(shù)的物理意義及邊界條件表示學習思路:邊界平衡條件要求彈性體趨近于邊界的應力分量滿足面力邊界條件。應力分量可以通過應力函數(shù)表

16、達，因此應力函數(shù)也應該滿足對應的邊界條件。將應力函數(shù)表達的邊界條件積分，并且應用應力函數(shù)的性質，則可以得到應力函數(shù)的偏導數(shù)在邊界的性質?？紤]應力函數(shù)全微分的積分，可以確定應力函數(shù)在邊界的性質。分析表明：邊界上任意點的應力函數(shù)等于由任一定點到該點的作用力對該點的力矩；而應力函數(shù)對x，y的一階偏導數(shù)分別等于作用力合力在x 軸和y軸負向的投影。這是一個非常有用的結論，它能夠幫助我們在半逆解法中確定應力函數(shù)的基本形式。學習要點：1、應力函數(shù)與面力邊界條件；2、應力函數(shù)的偏導數(shù)與邊界條件；3、應力函數(shù)與邊界條件；4、應力函數(shù)性質1、應力函數(shù)與面力邊界條件在體力為常量的條件下，彈性力學平面問題應力解法由三

17、個未知函數(shù)簡化為一個應力函數(shù)，從而將問題歸結為在給定的邊界條件下求解雙調和方程。因此，應力函數(shù)的確定對于平面問題的求解是極為重要的。本節(jié)將討論應力函數(shù)表達的面力邊界條件，并由此進一步分析應力函數(shù)及其一階偏導數(shù)在平面物體內任意一點的的物理意義。對于平面物體，如果應力分量滿足面力邊界條件，則邊界應力函數(shù)滿足設A為邊界上任一定點，而B為邊界上任一動點,如圖所示邊界上由A到B為正方向，也就是說物體在ds的左側，邊界法線方向余弦為因此邊界條件可以表示為2、應力函數(shù)的偏導數(shù)與邊界條件對于上述應力函數(shù)表達公式從定點A到動點B作積分，可得由于在應力函數(shù)中增加或減少一個線性項ax+by+c，對于所求應力是沒有影

18、響的。所以可以適當?shù)倪x取a，b，c，使得應力函數(shù) (x，y) 的一階偏導數(shù)在定點A的值為零。因此，上述公式可以簡化為3、應力函數(shù)與邊界條件另外，根據(jù)應力函數(shù)的全微分對上式從定點A到動點B作分部積分，則積分并將應力函數(shù)邊界條件公式代入上式，則整理并且將公式代入，可得4、應力函數(shù)性質由于在應力函數(shù)中增加或減少一個線性項ax+by+c，對于所求應力是沒有影響的。所以我們適當?shù)倪x取a，b，c，使應力函數(shù) (x,y)在定點的值為零。因此上式可以簡化為另外顯然，上述公式的第一式表示由定點A到動點B邊界上的面力對B點的合力矩，而第二和第三式分別表示由A到B邊界面力的合力沿x，y軸的投影。因此可以得出以下結論

19、，邊界上任意點的應力函數(shù)等于由任一定點到該點的作用力對該點的力矩；而應力函數(shù)對x，y的一階偏導數(shù)分別等于作用力合力在x軸和y軸負向的投影。這是一個非常有用的結論，將可幫助我們在逆解法中確定應力函數(shù)的基本形式。上述公式也是應力函數(shù)表達的面力邊界條件，和面力邊界條件比較，三個公式中只有兩個是獨立的6.6 逆解法與多項式應力函數(shù)學習思路:彈性力學問題的求解歸結為在給定邊界條件下求解雙調和方程。由于偏微分方程的求解是相當困難的，因此使用逆解法求解。逆解法一方面是避免偏微分方程求解的困難，更重要的是通過逆解法，探討建立應力函數(shù)的基本性質。逆解法的基本思想是：對于一些具有矩形邊界并不計體力的平面問題，分別

20、選用冪次不同的多項式，令其滿足基本方程，求出應力分量，并由邊界條件確定這些應力分量對應邊界上的面力，從而確定該應力函數(shù)所能解決的問題。學習要點：1、逆解法與線性應力函數(shù)；2、二次和三次應力函數(shù)與邊界條件；3、四次應力函數(shù)與邊界應力條件1、逆解法與線性應力函數(shù)平面問題的求解方法，歸結為給定邊界條件下求解雙調和方程。偏微分方程的求解是相當困難的，對于某些矩形平面物體，可以使用逆解法求解。逆解法一方面是避免偏微分方程求解的困難，更重要的是通過逆解法，探討建立應力函數(shù)的基本性質。逆解法的基本思想是：對于一些具有矩形邊界并不計體力的平面問題，分別選用冪次不同的多項式，令其滿足基本方程，求出應力分量，并由

21、邊界條件確定這些應力分量對應邊界上的面力，從而確定該應力函數(shù)所能解決的問題。1、一次多項式 (x,y)=ax+by+c不論系數(shù)取何值，都能滿足雙調和方程，其應力分量為因此，一次多項式應力函數(shù)對應無應力應力狀態(tài)。這個結論說明在應力函數(shù)中增加或減少一個x，y 的線性函數(shù)，將不影響應力分量的值。2、二次多項式 (x, y)=ax2+bxy+cy2不論系數(shù)取何值，都能滿足雙調和方程，應力分量為二次多項式應力函數(shù)對應于均勻應力狀態(tài)，如圖所示如僅a，b，c0，分別表示單向拉伸或者純剪切應力狀態(tài)。3、三次多項式 (x, y)=ax3+bx2y+cxy2+dy3不論系數(shù)取何值，都能滿足雙調和方程，對應的應力分

22、量為三次多項式應力函數(shù)的邊界應力分布，如圖所示對應于線性邊界應力。如果僅考慮d不為零的情況，即a=b=c=0，其對應于矩形梁的純彎曲應力狀態(tài)。4、四次多項式 (x,y)= ax4 + bx3y + cx2y2 + dxy3 + ey4若使四次多項式滿足雙調和方程，其系數(shù)需滿足關系式 3a + c + 3e = 0因此四次多項式應力函數(shù)只能有四個獨立的系數(shù)，設應力函數(shù)為即其獨立的系數(shù)僅為四個，對應的應力分量為邊界面力，如圖所示四次多項式應力函數(shù)對應于二次應力分布狀態(tài)，如果僅考慮d不為零的情況，即a=b=c=0。該應力狀態(tài)由矩形板邊界上三部分面力產生1、在邊界 上，作用有均勻分布的切應力 2、在x

23、=0的邊界上，作用有按拋物線分布的切應力 3、在x=l，作用有按拋物線分布的切應力 和線性分布的正應力。對四次多項式構成的應力函數(shù)，其邊界上的應力分量的分布可以是均勻的，線性分布的或者是二次拋物線分布的。6.7 懸臂梁受集中力作用學習思路:本節(jié)應用平面問題的基本方程討論懸臂梁的彎曲應力、變形和位移。通過問題的分析，全面介紹平面問題應力函數(shù)求解方法。作為一個典型的平面應力問題，問題求解的關鍵是確定應力函數(shù)。首先分析懸臂梁的邊界條件，根據(jù)懸臂梁彎矩分布建立應力函數(shù)的基本表達式。然后應用變形協(xié)調方程確定應力函數(shù)。再通過面力邊界條件確定待定常數(shù)。分析所得懸臂梁的彎曲應力解與材料力學解是一致的。彎曲應力

24、確定后，通過本構方程可以確定應變分量；利用幾何方程可以得到位移偏導數(shù)公式。由于應力分量是協(xié)調的，積分可得位移基本表達式。至于表達式中的待定系數(shù)，需要通過位移邊界條件確定。由于懸臂梁力學模型給定的位移邊界條件太強硬，因此分析中假設端面約束僅為排除剛體位移。學習要點：1、懸臂梁作用集中力；2、邊界條件與應力函數(shù)；3、懸臂梁應力；4、懸臂梁變形；5、懸臂梁位移推導；6、懸臂梁端面位移邊界；7、邊界條件一；8、邊界條件二1、懸臂梁作用集中力本節(jié)討論懸臂梁的彎曲，考察薄板梁，左端固定，右端受切向分布力作用，其合力為F，懸臂梁在力的作用下將產生彎曲。設梁的跨度為l，高度為h，厚度為一個單位，自重忽略不計。

25、首先討論梁的彎曲應力。對于懸臂梁，建立坐標系如圖所示則梁的邊界條件為該邊界條件要完全滿足非常困難。但深入分析發(fā)現(xiàn)，只要梁是細長的，則其上下表面為主要邊界，這是必須精確滿足；而左右端面的邊界條件，屬于次要邊界。根據(jù)圣維南原理，可以使用靜力等效的應力分布來替代，這對于離端面稍遠處的應力并無實質性的影響。因此兩端面的邊界條件可以放松為合力相等的條件。此外由于梁是外力靜定的，固定端的三個反力可以確定，因此在求應力函數(shù)時，只要三面的面力邊界條件就可以確定。固定端的約束，即位移邊界條件只是在求解位移時才使用。這樣問題的關鍵就是選擇適當?shù)膽瘮?shù)，使之滿足面力邊界條件。2、邊界條件與應力函數(shù)因為在梁的上下邊

26、界上，其彎矩為F(l-x)，即力矩與(l-x)成正比，根據(jù)應力函數(shù)的性質，設應力函數(shù)為其中f(y)為y的任意函數(shù)。將上述應力函數(shù)代入變形協(xié)調方程，可得即 ，積分可得 。由于待定系數(shù)d不影響應力計算，可令其為零。所以，應力函數(shù)為將上述應力函數(shù)代入應力分量表達式，可得應力分量3、懸臂梁應力將上述應力分量代入面力邊界條件可以確定待定系數(shù)。在上下邊界， 自動滿足。而 ，則要求在x= l 邊界上， 自動滿足。而 ，則要求聯(lián)立求解上述三式，可得注意到對于圖示薄板梁，其慣性矩 。所以應力分量為所得應力分量與材料力學解完全相同。當然對于類似問題，也可以根據(jù)材料力學的解答作為基礎，適當選擇應力函數(shù)進行試解，如不

27、滿足邊界條件，再根據(jù)實際情況進行修正。4、懸臂梁變形應力分量求解后，可以進一步求出應變和位移。將應力分量代入幾何方程和物理方程可得對于上述公式的前兩式分別對x，y積分，可得其中f（y），g（x）分別為y，x的待定函數(shù)。5、懸臂梁位移推導將上式代入應變分量表達式的第三式，并作整理可得由于上式左邊的兩個方括號內分別為x，y的函數(shù)，而右邊卻為常量，因此該式若成立，兩個方括號內的量都必須為常量。所以上式的前兩式分別作積分，可得將上式回代位移表達式則其中m，n，c，d為待定常數(shù)，將由位移邊界條件確定。6、懸臂梁端面位移邊界顯然，上述位移不可能滿足位移邊界條件x = 0，u = v = 0。懸臂梁左端完全

28、固定的約束條件太強了，要嚴格滿足非常困難。對于工程構件，端面完全固定僅僅是一種假設，真實的端面約束條件是非常復雜的。在彈性力學討論中，重要的是分析一般條件下，懸臂梁的彎曲變形。根據(jù)圣維南原理，真實約束條件對于懸臂梁位移分析的影響主要是端面附近的位移，對于遠離端面處，這個影響主要是剛體位移。因此首先排除剛體位移，平面問題只要有三個約束條件就足夠了。至于選用的約束條件與實際約束的差別，將在本節(jié)最后討論。為此首先假定左端截面的形心不能移動，即當x = y = 0u = v = 0代入位移表達式，可得c = d = 0為了確定m和n，除了利用位移邊界條件，還必須補充一個限制剛體轉動的條件。分別考慮兩種

29、情況：一是左端面形心處的水平微分線段被固定；二是左端面形心處的垂直微分線段固定。7、邊界條件一對于第一種情況，即增加約束條件 由此條件，可得對應的位移為 懸臂梁變形后的撓曲線方程為這一結果與材料力學的解答完全相同。這時梁的左端面變形為三次曲面，如圖所示其表達式為在左端面的形心，垂直微分線段將產生轉動，轉角為8、邊界條件二對于第二種情況，即增加約束條件由此條件，可得對應的位移為梁變形后的撓曲線方程為這時梁的左端面變形為三次曲面，如圖所示其表達式為在左端面的形心水平微分線段將產生轉動，轉角為比較上述結果可見，假設的兩種情況實際上僅相差一個剛體轉動。如果讓第一種情況順時針轉動一個 角度，即為第二種情

30、況。6.8 簡支梁受均布載荷作用學習思路:簡支梁作用均勻分布力問題是又一個經典彈性力學平面問題解。采用應力解法的關鍵是確定應力函數(shù)，首先根據(jù)邊界條件，確定應力函數(shù)的基本形式。將待定的應力函數(shù)代入雙調和方程得到多項式表達的函數(shù)形式。對于待定系數(shù)的確定，需要再次應用面力邊界條件。應該注意的是簡支梁是幾何對稱結構，對稱載荷作用時應力分量也是對稱的。對稱條件的應用將簡化問題的求解難度。學習要點：1、簡支梁及其邊界條件；2、應力函數(shù)分析；3、應力函數(shù)；4、待定系數(shù)確定；5、端面邊界條件簡化；6、簡支梁應力分析。1、簡支梁及其邊界條件試考察一個承受均勻分布載荷的簡支梁q，其跨度為l，橫截面高度為h（hl）

31、，單位厚度。并且設其自重可以忽略不計。由于簡支梁是外力靜定的，兩端的支座反力是已知的。因此在求解時，不妨將支座看作外力已知的邊界，于是可寫出下列邊界條件上述條件中，上下表面的邊界條件是主要的，必須精確滿足。至于兩端的邊界條件可以根據(jù)圣維南原理放松為合力滿足。采用半逆解法求解。首先對應力狀態(tài)做一個基本分析，由材料力學分析可知：彎曲正應力主要是由彎矩引起的；彎曲切應力主要由剪力引起的；而擠壓應力應由分布載荷引起的。2、應力函數(shù)分析根據(jù)上述分析，因此假設擠壓應力不隨坐標x而改變，即sy為坐標y的函數(shù)，因此根據(jù)應力函數(shù)與應力分量的關系式，可得 將上式對x積分，可得其中f (y)，g(y)，h(y)均為

32、任意待定函數(shù)。對于上述應力函數(shù)還需要考察其是否滿足變形協(xié)調方程，代入變形協(xié)調方程，則上式為關于x的二次方程。對于變形協(xié)調方程，要求在彈性體的任意點滿足。因此要求所有的x均滿足，所以這個二次方程的系數(shù)和自由項都必須為零。即 3、應力函數(shù)上述公式的前兩式要求這里應力函數(shù)的線性項已經略去。而第三式則要求即其中線性項已被忽略不計。將上述各式代入應力函數(shù)公式，則將上述應力函數(shù)代入應力分量表達式可得4、待定系數(shù)確定上述應力分量已經滿足平衡微分方程和變形協(xié)調方程，現(xiàn)在的問題是根據(jù)面力邊界條件確定待定系數(shù)。在考慮邊界條件之前，首先討論一下問題的對稱性，這樣往往可以減少計算工作。由于y軸是結構和載荷的對稱軸，所

33、以應力分量也應該對稱于y軸，因此sx和sy應該是x的偶函數(shù)，而txy應為x的奇函數(shù)。因此E = F = G = 0 對于細長梁，由于梁的高度遠小于跨度，所以上下邊界為主要邊界，其邊界條件必須精確滿足，我們首先考慮上下兩邊的邊界條件。5、端面邊界條件簡化根據(jù)上述主要邊界的面力邊界條件，可得將上述七個待定系數(shù)分別代入應力分量表達式可得以下考慮簡支梁左右兩端面的面力邊界條件，確定剩余的兩個待定系數(shù)。由于對稱性已經討論，所以只需要考慮其中的一個端面，比如右端面。如果右端面的邊界條件能滿足，左端面的邊界條件由對稱性自然滿足。首先，在梁的右端面沒有水平面力，這要求在處，根據(jù)應力分量計算公式，如果該條件滿足

34、，只有q=0。但是這與問題是矛盾的，因此這個邊界條件只能利用圣維南原理，放松為合力邊界條件，將應力分量分別代入上述兩式，則另外在梁的右邊切應力的合力應等于支反力。將切應力計算公式代入，積分可見這個條件已經滿足。綜上所述，已經求出了所有的待定系數(shù)。將上述結論代入應力分量表達式，并作整理，可得6、簡支梁應力分析下面討論簡支梁的應力分布注意到梁的慣性矩為 靜矩為 而梁的彎曲內力為則應力分量表達式可以改寫為讓我們將上述應力分量，即彈性力學解答結果與材料力學的結果作一比較。首先考慮橫截面，即沿鉛垂方向的應力分布，如圖所示在彎曲正應力sx的表達式中，第一項是主要項，與材料力學的解完全相同，而第二項是彈性力

35、學提出的修正項。對于細長梁，這個修正項很小，可以忽略不計。應力分量sy 是梁的各纖維之間的擠壓應力，在材料力學中一般是不考慮這個應力分量的。而彎曲切應力txy的表達式則和材料力學解答里完全相同。6.9 楔形體水壩學習思路: 楔形體水壩受重力和液體壓力作用問題是彈性力學平面問題的另一個應用。注意到楔形體水壩由于底部在無限遠，而液體作用至頂部。由于力學模型的幾何形狀不需要長度單位確定，因此問題的應力函數(shù)可以采用量綱分析方法確定。量綱分析得到楔形體水壩的應力函數(shù)是純三次函數(shù)。應用面力邊界條件可以確定待定系數(shù)。由于水壩的側邊界是斜邊界，應該注意邊界法線方向余弦的確定。最后分析楔形體水壩應力，并且與材料

36、力學解答作比較。學習要點：1、楔形體水壩應力函數(shù)；2、面力邊界條件；3、水壩應力分析。1、楔形體水壩應力函數(shù)楔形體水壩左邊鉛垂，右邊與鉛直面夾a 角度，下端伸向無限長。水壩承受重力和液體壓力作用，楔形體的密度為r，液體的密度為g，如圖所示在楔形體內任一點的應力分量都將由兩部分組成：一是由重力引起的，應當與楔形體的單位體積重量rg成正比；二是由液體壓力引起的，其與液體的單位體積重量gg成正比。當然，上述應力分量還和a，x，y 等有關。由于應力分量的量綱是力長度-2，rg和gg的量綱是力長度-3，a 是無量綱的數(shù)量，而x，y 的量綱是長度，因此應力分量如果具有多項式的解答，其只能是坐標的x，y 的

37、一次冪。即各個應力分量的表達式為x，y的純一次式，而其應力函數(shù)應當是x，y的純三次式。因此可以假設對于楔形體水壩，體力分量Fbx=0，F(xiàn)by=rg。根據(jù)應力分量的表達式，可得2、面力邊界條件上述應力分量是滿足平衡微分方程和變形協(xié)調方程的，下面考慮面力邊界條件以確定各個待定系數(shù)。在水壩左側，面力邊界條件為在水壩右側，邊界方程 x=y tana，面力邊界條件為邊界法線方向余弦為將應力表達式代入上述邊界條件，可得聯(lián)立求解可得3、水壩應力分析將計算所得的系數(shù)代入應力分量表達式，即可得到計算數(shù)據(jù)如圖所示分析表明：應力分量sx 沿水平方向為常數(shù)。對于這個擠壓應力，材料力學是不討論的。彎曲應力分量sy沿水平

38、方向線性分布，在水壩左右兩邊分別為對于彎曲應力與材料力學偏心壓縮公式所得結果相同。切應力分量txy 也是線性變化，在水壩左右兩邊分別為按材料力學解，橫截面切應力txy是拋物線分布的，這一結論和彈性力學解答是完全不同的。以上解答稱為萊維解，在工程上作為三角形重力壩的基本解答。6.10 矩形截面梁的級數(shù)解法學習思路:彈性力學的經典問題具有多項式解，可以通過半逆解法選取所要求的應力函數(shù)。這種方法要求彈性體主要邊界作用的載荷必須連續(xù)，而且也能表示成代數(shù)多項式的形式。對于任意載荷作用的矩形彈性體問題，可以采用三角級數(shù)表示的應力函數(shù)求解。假設應力函數(shù)并且通過雙調和方程找到應力函數(shù)特解，疊加可以確定級數(shù)形式應力函數(shù)。對于級數(shù)形式應力函數(shù)的系數(shù)，可以通過面力邊界條件，并且應用三角函