“三線合一”證題

1、-作者xxxx-日期xxxx“三線合一”證題【精品文檔】等腰三角形巧用“三線合一”證題 “三線合一”是等腰三角形的一條特殊性質(zhì)，在一些幾何題的證題過程中有著廣泛的應(yīng)用。本文結(jié)合實例說明其應(yīng)用，供參考。一. 直接應(yīng)用“三線合一” 例1. 已知，如圖1，AD是的角平分線，DE、DF分別是和的高。 求證：AD垂直平分EF 分析：從本題的條件和圖形特征看，欲證AD垂直平分EF，因為有，所以只要證為等腰三角形即可 證明： 又 AD垂直平分EF 例2. 如圖2，中，ABAC，AD為BC邊上的高，AD的中點為M，CM的延長線交AB于點K，求證： 分析：可考慮作DE/CK交AB于E，因為M是AD的中點，所以K

2、是AE的中點，只要證E是BK的中點，問題可得到解決。由于有，所以就想到用“三線合一”。 證明：過點D作DE/CK交BK于點E 二. 先連線，再用“三線合一” 例3. 如圖3，在中，D是BC的中點，P為BC上任一點，作，垂足分別為E、F 求證：（1）DEDF；（2） 分析：（1）欲證二線段相等，容易想到利用全等三角形。觀察DE為或的一邊，DF為或的邊，但它們都沒有全等的可能。由于D為等腰直角三角形的底邊BC上的中點，于是我們想到連結(jié)AD一試，這時容易發(fā)現(xiàn)或 問題得證。 （2）欲證，只要證，即可 但由（1）已證出 又，故問題解決 證明：連結(jié)AD。D是BC的中點 ， DA平分， 四邊形PEAF是矩形

3、 又 又 （2） 又 即三. 先構(gòu)造等腰三角形，再用“三線合一” 例4. 如圖4，已知四邊形ABCD中，M、N分別為AB、CD的中點，求證： 分析：由于MN與CD同在中，又N為CD的中點，于是就想到證為等腰三角形，由于MD、MC為、斜邊AB上的中線，因此，所以，問題容易解決。 證明：連結(jié)DM、CM ，M是AB的中點 是等腰三角形 又N是CD的中點， 例5. 如圖5，中，BC、CF分別平分和，于E，于F，求證：EF/BC 分析：由BE平分、容易想到：延長AE交BC于M，可得等腰，E為AM的中點；同理可得等腰，F(xiàn)是AN的中點，故EF為的中位線，命題就能得證。 證明：延長AE、AF分別交BC于M、N

4、 ， 為等腰三角形 即， 同理 為的中位線 一、證明角相等圖121EDCBA【例1】已知：如圖1，在中，于D求證：【分析】作出等腰的頂角平分線將頂角分為相等的兩部分，根據(jù)“三線合一”的性質(zhì)證得等于其中任一部分即可【證明】作的平分線AE，則有，（三線合一）又，【點撥】添加輔助線，利用等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)，巧妙地構(gòu)造了兩個具有同一銳角的直角三角形，將已知條件與待證結(jié)論有機地聯(lián)系在一起，從而容易獲得問題的解決二、證明線段相等【例2】（2009汕頭）如圖2，是等邊三角形，D點是AC的中點，延長BC到E，使，過點D作，垂直為M求證：圖2ECAMDB【分析】在中，如果能證得，由“三線合一”就可得出

5、【證明】是等邊三角形，D是的AC中點，BD平分（三線合一）又，又，又，（三線合一）【點撥】能利用“三線合一”證明線段相等的問題，也可以用全等三角形來解決，但利用“三線合一”證明要比用全等三角形證明簡便得多因此，我們在解決這類問題時，要糾正總是依據(jù)三角形全等的思維定勢，應(yīng)該優(yōu)先選用“三線合一”來解決三、證明直線垂直【例3】（2009義烏）如圖3，在正ABC中，于點D，以AD為一邊向右作正ADE請判斷AC、DE的位置關(guān)系，并給出證明FEDCB圖3A【分析】在正ABC中，由“三線合一”知而ADE也是正三角形，于是有，這樣就得AF是正ADE的角平分線，再由“三線合一”得【證明】在正ABC中，（三線合一

6、）在正ADE中，AF是的平分線（三線合一）【點撥】當(dāng)題設(shè)中同時具備下列兩個條件時，就可以利用“三線合一”來證明兩條直線相互垂直：（1）有一個等腰三角形；（2）兩條直線中有一條是這個等腰三角形的頂角的平分線或底邊上的中線所在的直線例1. 等腰三角形頂角為，一腰上的高與底邊所夾的角是，則與的關(guān)系式為=_。圖1 分析：如圖1，AB=AC，BDAC于D，作底邊BC上的高AE，E為垂足，則可知EAC=EAB，又，所以。 例2. 已知：如圖2，ABC中，AB=AC，CEAE于E，E在ABC外，求證：ACE=B。圖2 分析：欲證ACE=B，由于AC=AB，因此只需構(gòu)造一個與RtACE全等的三角形，即做底邊B

7、C上的高即可。 證明：作ADBC于D， AB=AC， 又， BD=CE。 在RtABD和RtACE中， ABAC，BD=CE， RtABDRtACE（HL）。 ACE=B 例3. 已知：如圖3，等邊三角形ABC中，D為AC邊的中點，E為BC延長線一點，CE=CD，DMBC于M，求證：M是BE的中點。圖3 分析：欲證M是BE的中點，已知DMBC，因此只需證DB=DE，即證DBE=E，根據(jù)等邊ABC，BD是中線，可知DBC=30，因此只需證E=30。 證明：聯(lián)結(jié)BD， ABC是等邊三角形， ABC=ACB=60 CD=CE， CDE=E=30 BD是AC邊上中線， BD平分ABC，即DBC=30 DBE=E。 DB=DE 又DMBE， DM是BE邊上的中線，即M是BE的中點。練習(xí) 1. 如圖4，墻上釘了一根木條，小明想檢驗這根木條是否水平，他拿來一個如圖所示的測平儀，在這個測平儀中，AB=AC，BC邊的中點D處有一個重錘，小明將BC邊與木條重合