數(shù)列專項訓(xùn)練含答案

1、數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法專項訓(xùn)練1.如圖，曲線y x(y 0)上的點P與x軸的正半軸上的點 Qj及原點0構(gòu)成一系列正三角形厶ORQ,AQ-iPnQ設(shè)正三角形 Qn 1PnQn的邊長為an ,n N* (記Qo為O), Qn Sn,0 . (1 )求ai的值；(2)求數(shù)列an的通項公式an。2設(shè)an , bn都是各項為正數(shù)的數(shù)列，對任意的正整數(shù)n，都有an ,b ,an 1成等差數(shù)列，bi2, an i, bn i成等比數(shù)列.(1) 試問bn是否成等差數(shù)列為什么(2)如果a11,d , 2，求數(shù)列an的前n項和Sn.3.已知等差數(shù)列 an中，a? = 8, S6 = 66.(I)求數(shù)列 an的通項公式;

2、(n)設(shè) bn2(n 1)anTnb|b21bn，求證：Tn.64.已知數(shù)列 an中a131,an 2(n 2, n N )，數(shù)列bn,滿足 bn5an 11an1(1 )求證數(shù)列 bn是等差數(shù)列;(2) 求數(shù)列 an中的最大項與最小項，并說明理由;(3)記 Sn b1 b2 bn,求im (n 1)bn Sn 15.已知數(shù)列an中,a0,且(I )試求a1的值，使得數(shù)列劉是一個常數(shù)數(shù)列；(n )試求a1的取值范圍，使得an+1an對任何自然數(shù)n都成立；(川)若a1 = 2，設(shè)bn = | an+1 -an| ( n = 1 , 2, 3,)，并以$表示數(shù)列bn的前n項的6. ( 1)已知：x

3、 (0)，求證x(2)已知：n N且n 2，求證:,X 11InX X1In n 1n7.已知數(shù)列an各項均不為其前n項和為Sn ,且對任意N ，都有(1 P) SnP pan (f(n)1 Cn a1 C2 a2c： an(1)求an ；(2)比較(3)求證:8.已知na?Snn2n Snf(n 1)與丄2P(2n 1) f(n)21,a3f(n)的大小n2n 1f(i)12n 1).各項為正的等差數(shù)列a510，又?jǐn)?shù)列1n 1 Ig3 n n 1。an滿足Igbn的前n項和是(1)求數(shù)列 an的通項公式;(2 )求證數(shù)列bn是等比數(shù)列;(3)設(shè)Cn anbn，試問數(shù)列 Cn有沒有最大項如果有

4、，求出這個最大項，如果沒有，說明 理由。9.設(shè)數(shù)列an前項和為Sn,且(3 m)Sn2manm 3(nN ),其中m為常數(shù),m 3.(1)求證:是等比數(shù)列；若數(shù)列an的公比q=f(m),數(shù)列bn滿足0a1,bn32f (bn 1)( nN ,n 2),求證:1為等差數(shù)列，求bn.bn10.1已知數(shù)列an滿足：a1 1, a2,且3(1)nan22an 2(1)n 1 0 ，2(I)求a3, a4, a5, a6的值及數(shù)列a.的通項公式;(n)設(shè)bna2n 1 a2n，求數(shù)列的前n項和Sn ；將等差數(shù)列an所有項依次排列，并作如下分組：(a-i),(a2,a3),( a4,a5,a6, a7),

5、第組1項，第二組2項，第三組4項，第n組2n 1項。記Tn為第n組中各項的和。已知T348兀 0。(1)求數(shù)列an的通項;(2)求Tn的通項公式;(3)設(shè)Tn的前n項的和為Sn，求S8。12.設(shè)各項為正數(shù)的等比數(shù)列an的首項a1丄，前n項和為Sn，且2210S30 (2101)S20S100。(I)求an的通項;(n)求nSn的前n項和Tn。13.設(shè)數(shù)列an是首項為0的遞增數(shù)列，(n N ), fn(x)1sin (x an), x &, an 1 n滿足：對于任意的b 0,1), fn(x) b總有兩個不同的根。(1)試寫出yf1 (x)，并求出a2 ；(2)求 aman，并求出an的通項公

6、式；(3 )設(shè) Sna1/八n 1a2a3a4( 1)an，求 Sn。14.已知數(shù)列a1a2，a30，其中 a1, a2，a10 是首項為 1 ,公差為1的等差數(shù)列；a10, a11, a20疋公差為d的等差數(shù)列；a20, a21, a30疋公差為d的等差數(shù)列(d 0).(I )若a2040，求d ； (n)試寫出a30關(guān)于d的關(guān)系式，并求a?。的取值范圍；(川)續(xù)寫已知數(shù)列，使得 a30,a31, ,a40是公差為d3的等差數(shù)列，依次類推， 把已知數(shù)列推廣為無窮數(shù)列.提出同(2)類似的問題(2)應(yīng)當(dāng)作為特例)，并進(jìn)行研 究，你能得到什么樣的結(jié)論(所得的結(jié)論不必證明)15. 一種計算裝置，有一

7、數(shù)據(jù)入口A和一個運算出口 B ,按照某種運算程序：當(dāng)從 A 口11輸入自然數(shù)1時，從B 口得到 ，記為f 1；當(dāng)從A 口輸入自然數(shù)n n 2時，332 n 11在B 口得到的結(jié)果f n是前一個結(jié)果f n 1的倍2 n 1 3(1) 當(dāng)從A 口分別輸入自然數(shù) 2，3，4時，從B 口分別得到什么數(shù)試猜想f n的關(guān)系 式，并證明你的結(jié)論；(2 )記Sn為數(shù)列f n 的前n Sn的值16.已知數(shù)列an，其前n項和S滿足Sn 1 2 Sn 1(是大于0的常數(shù))，且31 = 1, 33=4.(1 )求的值；(2) 求數(shù)列an的通項公式an；(3) 設(shè)數(shù)列nan 的前n項和為Tn，試比較與S的大小.217.

8、定義：若數(shù)列An滿足An1An，則稱數(shù)列 An為“平方遞推數(shù)列”已知數(shù)列務(wù)中,2a12，且a. 1 2an 2an，其中n為正整數(shù).(1) 設(shè)S 2an 1，證明：數(shù)列0是“平方遞推數(shù)列”，且數(shù)列l(wèi)g bn為等比數(shù)列；設(shè)(1)中“平方遞推數(shù)列”的前n項之積為，即Tn (21|(2an 1),求數(shù)列an的通項及Tn關(guān)于n的表達(dá)式；記Cn log?即1Tn，求數(shù)列Cn的前n項之和Sn，并求使Sn 2008的n的最小值.18.在不等邊厶ABC中,設(shè)A B、C所對的邊分別為a, b, c,已知sin求數(shù)列an的通項公式； 設(shè)an log? g ,證明bn是等比數(shù)列，并求其前 n項和Tn.A , sin

9、2 B , sin2C依次成等差數(shù)列，給定數(shù)列cos AcosBcosCc(1)試根據(jù)下列選項作出判斷，并在括號內(nèi)填上你認(rèn)為是正確選項的代號:cos A cosB cosC數(shù)列， 一ab cA.是等比數(shù)列而不是等差數(shù)列C.既是等比數(shù)列也是等差數(shù)列(2)證明你的判斷.19.已知an是等差數(shù)列，其前-().B.是等差數(shù)列而不是等比數(shù)列D.既非等比數(shù)列也非等差數(shù)列n項和為 S,已知a2=8, So=185,20.已知數(shù)列an中，a11 , an an 1(n = 2, 3, 4，)an 1(I)求a2、a3的值;(II )證明當(dāng) n= 2, 3, 4,時，、_2n 1an. 3n 221. 已知等差

10、數(shù)列an中，a38, Sn是其前n項的和且S20 610(I)求數(shù)列 an的通項公式。(II )若從數(shù)列an中依次取出第2項，第4項，第8項，第2n項，按原來的順 序組成一個新數(shù)列 bn，求數(shù)列 bn的前n項和Tn。22. 已知正項等比數(shù)列 an 滿足條件：a1 a2 a3 a4 a5 121 ；1111125，求 an的通項公式an .a1a2a3 a4 a523. 已知函數(shù) f (x)= Iog3 ( ax+ b)圖象過點 A (2, 1 )和 B ( 5, 2).(1)求函數(shù)f (x)的解析式；AA(2 )記an3f(x) , n N*，是否存在正數(shù)k，使得(1 )(1 -aa1 (1

11、一) k .2n 1對一切n N*均成立，若存在，求出k的最大值，若不存在，請說明an理由.24. 已知 f(x)=log 2(x+m),m R(1) 如果f(1) , f(2) , f(4)成等差數(shù)列，求 m的值；(2) 如果a,b,c是兩兩不等的正數(shù)，且a,b,c依次成等比數(shù)列， 試判斷f(a)+f(c) 與2f(b) 的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論。26. an和bn分別是等比數(shù)列和等差數(shù)列，它們的前四項和分別為 120和60,而第二項 與第四項的和分別是 90和34,令集合A a； , a； , a；,., a； , B R , b?, d， bn 求證：A B .1 127. 已知曲線C

12、： y - , Cn : y n (n N )。從C上的點Qn(Xnn)作x軸xx 2的垂線，交Cn于點Pn，再從點Pn作y軸的垂線，交C于點Qn 1(& 1. 1),設(shè) X11,anXn1 Xn,bnn Yn1。(I。求Q1,Q2的坐標(biāo)；(Il。求數(shù)列an的通項公式;（III ）記數(shù)列anbn的前n項和為Sn ,求證：Sn答案:1.解：c 1R訐亍1y2 X(y 0)得3 214a12a1， a10,ai * Sn3a2an- Pn 1(Sn12anan 1）；代入曲線2x(y0）并整理1a2Sn 1(_ an 14an)(an 143得 Snan 1二 an 1，4于是當(dāng)n 2,n N時，

13、anSn2(an1n 1 時,3an 1)(a24an) (an 1an)2 1a2a2,a2所以數(shù)列2 nI an 1an0,an 1an2,nan1 an2(n N32.由題意,得2b2anan 1 ,2an 1(1)因為 an0,bn代入式（1）得-(-舍去)33 an是首項為(2)a2ai(1)0，所以由式（2）得an 122bnbi 1bnbnbn 1 ,公差為的等差數(shù)列anbn|bn 1 ,從而當(dāng)n 2時,anbnbn ,即2bn bn 1 bn 1 n 2，故bn是等差數(shù)列.Q (2)由 a 1,b2 及式(1),式(2),易得a23,b22因此bn的公差d&從而bn b12n

14、1 dn 1 ,2得an11 n 12n 2(3)又a11也適合式（3), 得n n 1*n N ,an 2所以-ann n 13.解:4.從而Sn 2a12nn 1(I) * 6qan622n 4d5d666,d（U）bnTnb1b2(1 ) bn而bnbn(n 1)anIO bn是遞增數(shù)列ananbn 1(n 1)(2n 4)Tnanan 1an 1an-(n bn 是首項為b1公差為1的等差數(shù)列.（2）依題意有anbnbn1)1 n 3.5an 1對于函數(shù)yn 3.51x 3.5x 3.5時,y o,y0，在（3.5 ,）上為減函數(shù).故當(dāng)n= 4時，an 1一1取最大值3n 3.51而函

15、數(shù)y在xv 3.5時，yv 0, yx 3.5,3.5 )上也為減函數(shù).故當(dāng)n= 3時，取最小值，a3 = -1 .15-225)5.(6.lim(nn1)5Sn 1lim2(n1)(nn (n 1)(n5) 2 .5)I )欲使數(shù)列an是個常數(shù)數(shù)列，則3 an2又依ai0,可得an0并解出:an=，即 ai = an23 an 12n)研究 an+i an=注意到 2J3 an 1 o 2 2幻_(門2)3 an 3 an 12 2因此，可以得出：an+1 an, an an1 , an1 an2，a2 a1 相冋的符號 7要使an+1an對任意自然數(shù)都成立，只須a2 aO即可由.3 a1a

16、1 0,解得：0a1 3時，an+1an對任何自然數(shù)n都成立.2因此當(dāng) a1=2 時，an+1 an0S= b+b2+bn=| a2 a11 + | a3比| + | an+1 an|=a1 a2+ a2 a3+ an a+1=a1 an+1=2 an+1又：an+2=斗故 S2-=2：3 an 1 -,2121(1 )令1-x由 x0,. t1 ,原不等式等價于1lnt t 1令 f(t)=t-1-lnt(1,)時，有f0,.函數(shù)f(t)在t (1,)遞增 f(t)f(1)另令g(t)lnt即 t-1g(1)=01Int 1-t1綜上得丄x 1(1)1(2 )由1即得丄2.x 1 Inxx=

17、1,2,1Inx(n-1)12并相加得17. (1)易求得an(2) f(n)-aiCl 刁Sna2C： an1 p (1 p2 ( 2)nf (2n 1)2(2 n 1)f (n)作差比較易得：f(n 1) f( n)2p(3) 當(dāng)n 1時，不等式組顯然成立.當(dāng) n 2時，先證 f(1) f (2) f (2n由(2)知 f (n 1)p 1p(n)p 1(pp)2f(n12n 1f(i)p 1 (p 1)2(p1 )2n 1i 12p2p丿2p再證f(1)f(2)f(2n 1)(2n1)f( n)而1/ 2n 1(p2n丄_/2 np) p12 . p1p2np同理：f(2)f (2 n2

18、)2f(n),f(3)f (2n3)以上各式相加得：2 f (1) f (2)1)1(P 1f 1p 1p 11)4)nf(1)p 11)2n1P 1 2pP 11(P 1嚴(yán)2p1p 1( 2p )2pn 2 (1 p )2f(n)，-2n 1即 f(i) (2n1)f( n).i 18.(1) a2a6a3a510，又a2 比 21a23或a27a67a63a2若2a，則ann，a101與an0矛盾;若a2a6，則an1,顯然an(2) lgb)S12lg 3,bi2 時，lgbnSnSn 1ig99101，歐bnn 19101時,bn9b1，bn10,n數(shù)列是以99為首項，為公比的等比數(shù)列

19、。10(3)Cnn 19設(shè)Ck k 2是數(shù)列10中的最大項，則可得8 k 9數(shù)列cn有最大項,最大項是 cC98179109.( 1 )由(3 m)sn2man m3得(3m)Sn1 2man 1 m 3,an是等比數(shù)列。(2) b1a11,qf(m)10.(i)經(jīng)計算a3a42m314a55，a6當(dāng)n為奇數(shù)時，an 2an，即數(shù)列an的奇數(shù)項成等差數(shù)列,a2n 1a1(n 1)2 2n當(dāng)n為偶數(shù)，an 21-an，即數(shù)列an的偶數(shù)項成等比數(shù)列,2a2na2 ()n12(2)n -因此，數(shù)列an的通項公式為ann1 n(1)2（n為奇數(shù)）（n為偶數(shù)）bnSn2Sn(1 )、1得Sn2(2)1(

20、2n 1) (；)n ,23 (1)2 5 (1)32 212 3(1)32 2兩式相減，1 2 2(2)2 (：)321 (1)n1221 -21 (2n 3)(才.2Sn 3(2n 3)(2)n1(2n1)(1)4(2n(2n3)1)1)(1)（擴(kuò)(2n (擴(kuò)(2)(2n 3)(擴(kuò)T3a4 a5aa74a118d48(1)T4a8a9-a158印84d0(2)解得a121,d2,則an2n23。(2)當(dāng)n 2時,在前n-1組中共有項數(shù)為：1 22n2 2的第-項是數(shù)列an中的第2n 1 項,且第n組中共有2n 1 項。設(shè)a*的公差為d，首項為6，則11.a?n 12n1所以Tn2n 12n

21、 121。故第n組中1 n 1 n 12n 2-2(21)d3 2242當(dāng)n=1時，T1a12n 221也適合上式，故Tn3 2n 124 2。(3)S8 T1.T8。即數(shù)列an前8組元素之和，且這 8組總共有項數(shù)2227281255。則S8255a112.(I)由1255 254 d 255 ( 21) 255 254 2594152101)S20 S10 0 得 2 (S30 S20)S20 S10,12210S3o (210則數(shù)列nSn的前n項和Tn(1前兩式相減,n(n 1)4T 1 得 土 1 (12 21 1 21歹)1 12n)Tn13. ( 1)v a0,當(dāng)n1 時,fi(x)

22、| sin(x又對任意的bn)(寸2(1丄(2 22n(n 1)2222ai) | |sinx|, x0,1), f1(x) b總有兩個不同的根， f1 (x) si n x, x 0,a21由(1), f2 (x) |sin (xa2) |2|sin (x2x)|COs2hx對任意的b 0,1),f1 (x) b總有兩個不1f3(x) | sin (x a3)| |sin311(x 3 )|1|si n |,x 3n2n2* 1n),0總,a3同的根，,a4a33即 210(a21a22a 30)ana12a20,可得 210 q10(ana12a 20)ana12a20 -因為an 0，所

23、以J0102 q1,解得q12,因而ann 11A -a1q2n ,n 1,2(n)因為an是首項a11、公比q1的等比數(shù)列，故對任意的b 0,1) , f1 (x)b總有兩個不同的根，由此可得an 1 an n ,ann(n 1)2(1 )當(dāng)n 2k,k Z , S2ka2 a3a4a2ka2k(a22k(n1)(n414.aj (a4 a?)(2k1)1,k Z ， S2k 1S2k(1) a1010. a20 10 10d40,(a2ka2k 1 )k2n2Sn4a2k 1k2d 3.(2 k 1)2k2(n1)( n 1)4(2) a30a20 10d2101 d d2(d 0),10

24、(3)所給數(shù)列可推廣為無窮數(shù)列當(dāng) d (0,)時，.a30 (10,)an，其中aa2, ,ae是首項為1,公差為1的等差數(shù)列，當(dāng)n 1時，數(shù)列a10n,a10n1,，弧“是公差為dn的等差數(shù)列研究的問題可以是：試寫出a10(n 1)關(guān)于d的關(guān)系式，并求a10(n 1)的取值范圍.15()由已知得f n卻一f n 1 n 2,n N2n 14 3111當(dāng)n 2時，f 2f 1 丄丄丄，1分4 15 3 1511同理可得f 3, f 4 3分猜想3563下面用數(shù)學(xué)歸納法證明成立當(dāng)時，由上面的計算結(jié)果知成立6 分假設(shè)時，成立，即那么當(dāng)時，即當(dāng)時，也成立綜合所述,對成立。(2)由(1)可得16. (

25、I )解：由得(II )由，數(shù)列是以S+仁2為首項，以2為公比的等比數(shù)列,當(dāng)n=1時a1=1滿足 得則當(dāng)n=1時,即當(dāng)n=1或2時,當(dāng)n2時,17. (1)由條件 an+1= 2an2+ 2an,得 2an+1+ 1 = 4an2 + 4an+ 1 = (2an+ 1)2.a bn是“平方|g(2 a+1+ 1)遞推數(shù)列”.Algbn+1 = 2lgbn.Tg(2a1+1) = lg5 豐 0,a右(2a+“ = 2.a lg(2anan=；52 1).(2n 1)lg5 .+ 1)為等比數(shù)列.(2)v lg(2 a1+ 1) = lg5 ,Alg(2an+ 1) = 2n1 lg5 , a

26、2an+ 1 = 52,nIgTn = lg(2 a+ 1) + lg(2 q + 1) + lg(2 an+ 1) = lg5 , n 1由 Sn 2008 得 2n 2 + 2 - 2008,1 n1當(dāng) nW 1004 時，n+ - v 1005,當(dāng) n1005 時，n+ -厶ia Tn = 52 1lg Tn(3)cn= lg(2 an+ 1)(2n 1)lg52n 1=2 n 12 lg52n1n 11a Si = 2n 1 + +1 n 121 n2=2n 212 n = 2n 2+1 n n+ 1005,n 1005, a n的最小值為1005._ 218.(1) B (2)因為 sin A、2、sin C成等差數(shù)列，所以所以.又.顯然cosB，與題設(shè)矛盾19. ( 1)解得(2)7分是公比為8 的等比數(shù)列10分20. (I )4 分(II )當(dāng) k = 2, 3, 4, 5,時， ， , a!