隨機(jī)變量及其分布考點(diǎn)總結(jié)

1、第二章隨機(jī)變量及其分布復(fù)習(xí)一、隨機(jī)變量1. 隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)構(gòu)應(yīng)該是不確定的 試驗(yàn)如果滿足下述條件： 試驗(yàn)可以在相同的情形下重復(fù)進(jìn)行；試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個(gè)；每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些結(jié)果中的一個(gè)，但在一次試驗(yàn)之前卻不能肯定這次試驗(yàn)會出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果它就被稱為一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)2. 離散型隨機(jī)變量：如果對于隨機(jī)變量可能取的值， 可以按一定次序一一列出， 這樣的隨機(jī)變量叫做離散 型隨機(jī)變量若E是一個(gè)隨機(jī)變量，a, b是常數(shù)則 a b也是一個(gè)隨機(jī)變量一般地，若E是隨機(jī)變量， 是連續(xù)函數(shù)或單調(diào)函數(shù)，則也是隨機(jī)變量 也就是說，隨機(jī)變量的某些函數(shù)也是隨機(jī)變量3. 分布列：設(shè)離散型隨機(jī)變量E可能取

2、的值為：xX2,必，E取每一個(gè)值xi(i 1,2,)的概率P( Xi) pi，則表稱為隨機(jī)變量E的概率分布，簡稱E的分布列 P有性質(zhì) pi 0,i1,2,； pi p2 Pi 1 注意：若隨機(jī)變量可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的變量叫做連續(xù)型例如：0,5即 可以取05之間的一切數(shù)，包括整數(shù)、小數(shù)、無理數(shù)典型例題：1、 隨機(jī)變量的分布列為P( k),k 1,2,3，則P(13) k(k 1)12、 袋中裝有黑球和白球共7個(gè)，從中任取兩個(gè)球都是白球的概率為，現(xiàn)在甲乙兩人從袋中輪流摸去一7球，甲先取，乙后取，然后甲再取，取后不放回，直到兩人中有一人取到白球時(shí)終止，用表示取球X表示三哥信箱中放有信件的

3、次數(shù)。(1 )求 的分布列(2)求甲取到白球的的概率3、5封不同的信，放入三個(gè)不同的信箱，且每封信投入每個(gè)信箱的機(jī)會均等, 樹木的最大值，求X的分布列。4、為了解某班學(xué)生喜愛打籃球是否與性別有關(guān)，對本班50人進(jìn)行了問卷調(diào)查得到了如下的列聯(lián)表:喜愛打籃球不喜愛打籃球合計(jì)男生5女生10合計(jì)5 0已知在全部50人中隨機(jī)抽取1人抽到喜愛打籃球的學(xué)生的概率為3 .5(1 )請將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整；(2) 是否有的把握認(rèn)為喜愛打籃球與性別有關(guān)說明你的理由；(3) 已知喜愛打籃球的10位女生中，A, A As, At, A還喜歡打羽毛球，B1, B2, b3還喜歡打乒乓1名進(jìn)行球，C1, C2還喜歡踢足球

4、，現(xiàn)再從喜歡打羽毛球、喜歡打乒乓球、喜歡踢足球的女生中各選出其他方面的調(diào)查，求和不全被選中的概率.F面的臨界值表供參考:(參考公式：K2(ad)，其中 9 b C d)p(K2 k)k二、幾種常見概率1、條件概率與事件的獨(dú)立性(1 ) B|A與AB的區(qū)別：(2) P(B|A)的計(jì)算公式 ,注意分子分母事件的性質(zhì)相同(3) P(AB)的計(jì)算公式 注意三點(diǎn)：前提，目標(biāo)，一般情況 (4) P( A+B)的計(jì)算公式 注意三點(diǎn)：前提，目標(biāo)，一般情況 典型例題：1、市場上供應(yīng)的燈泡，甲廠產(chǎn)品占70%,乙廠產(chǎn)品占30%，甲廠產(chǎn)品的合格率是95%，乙廠產(chǎn)品的合格率80%，則從市場上買到一個(gè)是甲廠產(chǎn)的合格品的概

5、率是多少2、把一副撲克52張隨即均分給趙錢孫李四家，A=趙家得到六章草花,B=孫家得到3張草花，計(jì)算P(B|A)，P(AB)3、從混有5張假鈔的20張百兀鈔票中任取兩張，將其中 1張?jiān)隍?yàn)鈔機(jī)上檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)是假鈔，求兩張都是假 鈔的概率。4、有外形相同的球分裝在三個(gè)盒子，每個(gè)盒子10個(gè)，其中第一個(gè)盒子 7球標(biāo)有字母A, 3個(gè)球標(biāo)有字母B;第二個(gè)盒子中五個(gè)紅球五個(gè)白球；第三個(gè)盒子八個(gè)紅球，兩個(gè)白球；在如下規(guī)則下：先在第一個(gè)盒子取一 個(gè)球，若是A球，則在第二個(gè)盒子取球；如果第一次取出的是B球，則在第三個(gè)盒子中取球，如果第二次取出的球是紅球，則稱試驗(yàn)成功，求試驗(yàn)成功的概率。(2) 2人中恰有1人射中目標(biāo)的

6、概率;(4) 2人至多有1人射中目標(biāo)的概率1次，5、在圖所示的電路中，5只箱子表示保險(xiǎn)匣，箱中所示數(shù)值表示通電時(shí)保險(xiǎn)絲被切斷的概率，當(dāng)開關(guān)合上 時(shí)，電路暢通的概率是6、甲、乙二射擊運(yùn)動(dòng)員分別對一目標(biāo)射擊(1) 2人都射中目標(biāo)的概率；(3) 2人至少有1人射中目標(biāo)的概率;三、幾種分布1獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布：如果在一次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率是P,那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事件恰好發(fā)生k次的概率是：p(三k) C：pkqnk其中k 0,1, ,n,q 1 p 于是得到隨機(jī)變量E的概率分布如下：我們稱這樣的隨機(jī)變量E服從二項(xiàng)分布，記作B (n p),其中n, p 為參數(shù)，并記 C：pkqn k b

7、(k;n p).二項(xiàng)分布的判斷與應(yīng)用. 二項(xiàng)分布，實(shí)際是對n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)關(guān)鍵是看某一事件是否是進(jìn)行n次獨(dú)立重復(fù)，且每次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果，如果不滿足此兩條件，隨機(jī)變量就不服從二項(xiàng)分布 當(dāng)隨機(jī)變量的總體很大且抽取的樣本容量相對于總體來說又比較小，而每次抽取時(shí)又只有兩種試驗(yàn)結(jié)果，此時(shí)可以把它看作獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，利用二項(xiàng)分布求其分布列2. 幾何分布：“”表示在第k次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)時(shí)，事件第一次發(fā)生，如果把k次試驗(yàn)時(shí)事件 A發(fā)生記為，事A不發(fā)生記為 Ak，P(Ak) q，那么P( E k) P(A,A2 AAk).根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率乘法分式：P(E k) P(A1)P(A2)P(Ak 1)P(Ak)

8、qk 1p (k 1,2,3,)于是得到隨機(jī)變量E的概率分布列123kPqqpk 1,2,3件次品，我們稱E服從幾何分布，并記g(k, p) qk 1p，其中q 1 p.3超幾何分布：一批產(chǎn)品共有 N件，其中有M (M v N) k n k數(shù)E是一離散型隨機(jī)變量，分布列為p(e k) CM CnN M (0C Nk M,0今抽取n(1 n N)件，則其中的次品n k N M).分子是從M件次品中取k件，從N-M件正品中取n-k件的取法數(shù)，如果規(guī)定m v r時(shí)Cmr 0，則k的范圍可以寫為k=0, 1，, n.超幾何分布的另一種形式：一批產(chǎn)品由a件次品、b件正品組成，今抽取 門件(K nW a+

9、b),則次品數(shù)k n kE的分布列為 p(三k) a - k 0,1, n.Ca n超幾何分布與二項(xiàng)分布的關(guān)系.設(shè)一批產(chǎn)品由a件次品、b件正品組成，不放回抽取n件時(shí)，其中次品數(shù)E服從超幾何分布.若放回式抽取，則其中次品數(shù)的分布列可如下求得：把個(gè)產(chǎn)品編號，則抽取n次共有(a b)n個(gè)可能結(jié)果，等可能：(n k)k k n k含 C：akbnk 個(gè)結(jié)果，故 P(n k) na bn Ck(丄)k(1 )nk,k 0,1,2, ,n，即 B( n 亠).我們先為(a b)a b a ba bk個(gè)次品選定位置，共種選法；然后每個(gè)次品位置有a種選法，每個(gè)正品位置有b種選法可以證明：當(dāng)產(chǎn)品總數(shù)很大而抽取個(gè)

10、數(shù)不多時(shí)，P(E k) P(n k),因此二項(xiàng)分布可作為超幾何分布的近似，無放回抽樣可近似看作放回抽樣.典型例題：1、某氣象站天氣預(yù)報(bào)的準(zhǔn)確率為80%，計(jì)算(結(jié)果保留兩個(gè)有效數(shù)字)：(1) 5次預(yù)報(bào)中恰有4次準(zhǔn)確的概率；(2) 5次預(yù)報(bào)中至少有4次準(zhǔn)確的概率,2、在一個(gè)圓錐體的培養(yǎng)房內(nèi)培養(yǎng)了40只蜜蜂，準(zhǔn)備進(jìn)行某種實(shí)驗(yàn)，過圓錐高的中點(diǎn)有一個(gè)不計(jì)厚度且平行于圓錐底面的平面把培養(yǎng)房分成兩個(gè)實(shí)驗(yàn)區(qū)，其中小錐體叫第一實(shí)驗(yàn)區(qū)，圓臺體叫第二實(shí)驗(yàn)區(qū)，且兩個(gè) 實(shí)驗(yàn)區(qū)是互通的。假設(shè)蜜蜂落入培養(yǎng)房內(nèi)任何位置是等可能的，且蜜蜂落入哪個(gè)位置相互之間是不受影響 的。(1) 求蜜蜂落入第二實(shí)驗(yàn)區(qū)的概率；(2) 若其中有1

11、0只蜜蜂被染上了紅色，求恰有一只紅色蜜蜂落入第二實(shí)驗(yàn)區(qū)的概率；(3) 記為落入第一實(shí)驗(yàn)區(qū)的蜜蜂數(shù)，求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望。3、A、B是治療同一種疾病的兩種藥，用若干試驗(yàn)組進(jìn)行對比試驗(yàn)。每個(gè)試驗(yàn)組由4只小白鼠組成，其中兩只服用A,兩只服用B,然后觀察療效。若在一個(gè)試驗(yàn)組中，服用A有效的小白鼠只數(shù)比服用 B有效的多，就稱該試驗(yàn)組為甲類組。設(shè)每只小白鼠服用A有效的概率為2/3，服用B有效的概率為1/2.(1) 求一個(gè)試驗(yàn)組為甲類組的概率。(2) 觀察3個(gè)試驗(yàn)組，用表示3個(gè)試驗(yàn)組中甲類組的個(gè)數(shù)，求分布列4. 某射擊運(yùn)動(dòng)員每次射擊擊中目標(biāo)的概率為p ( 0p(x )某班同學(xué)共有 48人，數(shù)學(xué)測驗(yàn)的分?jǐn)?shù)服從

12、正態(tài)分布在7090分之間的約有人.2 、設(shè)兩個(gè)正態(tài)分布 N( !,! )( !0)和N( 2,2.正態(tài)分布與正態(tài)曲線： 如果隨機(jī)變量E的概率密度為：f (x)12e 2 . ( x R,為常數(shù)，且)，稱E服從參數(shù)為的正態(tài)分布，用時(shí)，曲線下降，并且當(dāng)曲線向左、向右兩邊無限延伸時(shí)，以x軸為漸近線,向x軸無限的靠近.越小，曲線越 當(dāng)一定時(shí)，曲線的形狀由確定， 越大，曲線越“矮胖”.表示總體的分布越分散;“瘦高”，表示總體的分布越集中.3.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：如果隨機(jī)變量E的概率函數(shù)為x2)，則稱E服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分(a v gw b )的計(jì)算則是S 陰=0.5Sa=0.5+S布.即 N(0,1)有 (x) P

13、( x) ,(x) 1( x)求出，而 PP(a b) (b)(a).注意：當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的的X取0時(shí)，有 (x) 0.5當(dāng)?shù)腦取大于()0.0793 0.5則05 必然小于0，如圖.正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布間的關(guān)系：若N( , 2)則E的分布函數(shù)通常用表示，且有 P(E x) F(x) ( _ ).(T4. “ 3 ”原則.假設(shè)檢驗(yàn)是就正態(tài)總體而言的，進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)可歸結(jié)為如下三步：提出統(tǒng)計(jì)假設(shè)，統(tǒng)計(jì)假設(shè)里的變量服 從正態(tài)分布N(,2).確定一次試驗(yàn)中的取值a是否落入范圍(3 ,3 ).做出判斷：如果a ( 3 , 3 )，接受統(tǒng)計(jì)假設(shè).如果a ( 3 , 3 )，由于這是小概率事件，就拒絕統(tǒng)計(jì)假設(shè).“ 3 ”原則的應(yīng)用：若隨機(jī)變量E服從正態(tài)分布N( , 2)則E落在(3 ,3 )內(nèi)的概率為 亦即落在(3 ,3 )之外的概率為，此為小概率事件，如果此事件發(fā)生了，就說明此種產(chǎn)品不合格(即E不服從正態(tài)分布) 典型例題：，其平均分是80分，標(biāo)準(zhǔn)差是10,則該班同學(xué)中成績22)( 20)的密度函數(shù)圖像如圖所示。則有()A.1 2, 12 B. 12, 1 2