高中數(shù)學(xué)《平面向量基本定理及坐標(biāo)表示》教學(xué)設(shè)計

1、2.3 平面向量基本定理及坐標(biāo)表示一、內(nèi)容和內(nèi)容解析本課時包括平面向量基本定理，平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示，平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算、平面向量共線的坐標(biāo)表示。平面向量基本定理是平面向量正交分解及坐標(biāo)表示的基礎(chǔ)。課本首先通過一個具體的例子給出平面向量基本定理，同時介紹了基底、夾角、兩個向量垂直的概念；然后在平面向量基本定理的基礎(chǔ)上，給出了平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示，向量加、減、數(shù)乘的坐標(biāo)運(yùn)算和向量坐標(biāo)的概念，最后給出平面向量共線的坐標(biāo)表示。坐標(biāo)表示使平面中的向量與它的坐標(biāo)建立起了一一對應(yīng)的關(guān)系，這為通過“數(shù)”的運(yùn)算處理“形”的問題搭起了橋梁。作為一種數(shù)學(xué)工具，在中學(xué)數(shù)學(xué)中向量的優(yōu)勢更多地體現(xiàn)在溝通

2、幾何與代數(shù)，并將幾何及其它的一些問題通過代數(shù)運(yùn)算來研究,這樣一個思辨的過程變?yōu)榱艘环N程序化的操作過程. 向量基本定理實(shí)際上是建立向量坐標(biāo)的一個邏輯基礎(chǔ)，向量基本定理的研究綜合了前面的向量知識，同時又為后繼的內(nèi)容作了奠基，這就決定了本課內(nèi)容在向量知識體系中的核心地位.二、目標(biāo)和目標(biāo)解析 1.理解平面向量的基本定理，具體要求為：(1)運(yùn)用已有的向量知識研究平面向量的基本定理，經(jīng)歷給定的向量在一組基底上唯一分解的過程;(2)體驗(yàn)在解決問題過程中選擇適當(dāng)?shù)幕讕淼谋憬?幫助理解基底的作用;(3)將向量的“唯一分解”與實(shí)數(shù)對的“一一對應(yīng)”建立聯(lián)系，指出這樣的對應(yīng)奠定了向量建立向量坐標(biāo)的基礎(chǔ)，體會數(shù)學(xué)中

3、的問題轉(zhuǎn)化，及定理的深刻涵義.2.理解向量坐標(biāo)的定義,并能用坐標(biāo)表示坐標(biāo)平面上的向量，具體要求為：(1)結(jié)合學(xué)生在物理中已有的認(rèn)知,來進(jìn)一步從數(shù)學(xué)上學(xué)習(xí)正交分解及其意義；(2)結(jié)合向量及平面直角坐標(biāo)系的相關(guān)基礎(chǔ)正確把握坐標(biāo)向量的幾何意義.3.反思向量坐標(biāo)的建立過程,體會平面向量坐標(biāo)建立的過程及平面向量基本定理的作用和意義。三、重點(diǎn)、難點(diǎn)解析“平面向量基本定理”既是本節(jié)的重點(diǎn)又是本節(jié)的難點(diǎn)，平面向量基本定理告訴我們同一平面內(nèi)任一向量都可以表示為兩個不共線向量的線性組合，這樣如果將平面內(nèi)向量的始點(diǎn)放在一起，那么有平面向量基本定理可知，平面內(nèi)的任意一個點(diǎn)都可以通過兩個不共線的向量得到表示，也就是平面

4、內(nèi)的點(diǎn)可以有平面內(nèi)的一個點(diǎn)及兩個不共線的向量表示。四、教學(xué)過程設(shè)計.1.平面向量基本定理 問題1.我們看習(xí)題2.2(A組)12題:中,且與邊相交于點(diǎn),的中線與相交于點(diǎn),設(shè),用表示向量,. 類似的,用兩個不共線的向量來表示其它向量的問題在例題和習(xí)題中還有多處. 從這些題目中我們不難發(fā)現(xiàn),圖中所有的向量都可用向量來表示,那么自然地會問這樣一個問題:平面內(nèi)的任意一個向量是否都能用類似12題的方法,用給定的兩個不共線的向量來表示呢?意圖說明：學(xué)生會通過作圖來說明這一問題,在解決問題時可能要提醒學(xué)生,這里的向量是自由向量,其始點(diǎn)是可以移動的,所以在用紙筆作圖時,將三個向量的起點(diǎn)放在一起可便于研究問題.教

5、師可循著學(xué)生的思路通過計算機(jī)作圖來幫助其他學(xué)生認(rèn)清這個問題. 問題2.從前面的研究中我們發(fā)現(xiàn)任意一個平面向量都可以用兩個不共線的向量表示,那么對于給定的向量及向量,若要將用,表示其形式是怎樣的?意圖說明：通過電腦作圖讓學(xué)生體會可能與,中的一個共線,也可能與,都不共線, 引導(dǎo)學(xué)生得出結(jié)論.教師也可以通過在電腦作圖來展示不同的、所作出的向量. 事實(shí)上在物理上也常有將一個力分解成若干個力,將幾個力合成為一個力.可以看作是力的分解合的成向量表示形式.從前面的研究及力的分解合成的經(jīng)驗(yàn)可以發(fā)現(xiàn):向量,中的,是唯一確定的.由此我們有平面向量基本定理： 如果,是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量,那么對于這一平面內(nèi)的

6、任意向量,有且只有一對實(shí)數(shù),使我們把不共線的向量,叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底(base).例1：已知向量,求作向量.意圖說明：教師可讓學(xué)生先在黑板上板書，再點(diǎn)評。以此來加深對定理的掌握。問題3已知平行四邊形中,、是對角線、上的兩點(diǎn)，且，試用向量方法證明四邊形也是平行四邊形分析 由平面向量的基本定理可知向量及用一組基底來唯一表示,要證明四邊形是平行四邊形,只要證明用相同的基底表示出來的向量及是相同的即可.意圖說明：分析很重要,突出向量基本定理及基底的作用,使學(xué)生對問題的認(rèn)識在原有的基礎(chǔ)上更深入一步證： 設(shè),則 , 而. 所以,四邊形為平行四邊形.不共線的向量存在夾角,關(guān)于向量的夾角,我

7、們規(guī)定:已知兩個非零向量,作,則()叫做向量,的夾角.當(dāng)時,與同向;當(dāng)時, 與反向.如果與的夾角是.我們說與垂直,記作.用光滑斜面上木塊的受力為例說明正交分解. 這個問題學(xué)生相對是比較熟悉的可比較快地通過,也可以讓學(xué)生說說在物理中正交分解的優(yōu)越性.2.平面向量的坐標(biāo)表示請學(xué)生結(jié)合向量基本定理及正交分解,思考平面內(nèi)的任一向量是否都可以用軸和軸上的單位向量來表示.在學(xué)生討論的基礎(chǔ)上,請學(xué)生做下面的練習(xí).問題4設(shè)軸和軸上且方向與軸的正方向同向的單位向量分別用向量和來表示.試用和來表示圖中的向量. , , , , ,.意圖說明：這里想讓學(xué)生體會,的系數(shù)得出的有序數(shù)對與向量間的對應(yīng)關(guān)系. 問題5結(jié)合上面

8、的練習(xí)研究下面的問題, 如果將、的系數(shù)組成一個有序數(shù)對,那么平面上的任意一個向量與數(shù)對之間有怎樣的對應(yīng)關(guān)系？讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)有一個向量就有唯一確定的一個數(shù)對；反過來，一個數(shù)對對應(yīng)著無窮多個向量，但這些向量都是相等的.(這在后面向量的坐標(biāo)上要讓學(xué)生進(jìn)一步有所認(rèn)識,知道坐標(biāo)對應(yīng)的向量的圖形只是從原點(diǎn)出發(fā)的向量,但其他與它相等的向量都是由這個坐標(biāo)表示.)問題6 結(jié)合上面的研究請學(xué)生自己定義向量的坐標(biāo).(教師可結(jié)合教科書上的定義來點(diǎn)評學(xué)生自己的定義.這是為了培養(yǎng)學(xué)生理解和歸納能力,經(jīng)常有類似的訓(xùn)練有助于提高學(xué)生的能力. 如圖,在直角坐標(biāo)系中,分別與軸、軸方向相同的兩個單位向量、作為基底.對于平面上的一個向量

9、，由平面向量基本定理可知，有且只有一對實(shí)數(shù)、，使得 . 這樣,平面內(nèi)的任一向量都可由、唯一確定,我們把有序數(shù)對叫做向量的坐標(biāo),記作, 其中叫做在軸上的坐標(biāo), 叫做在軸上的坐標(biāo),式叫做向量的坐標(biāo). 例2 ：寫出例2中各個向量的坐標(biāo).練習(xí) P113.3.五、目標(biāo)檢測設(shè)計 1.已知,且點(diǎn)的坐標(biāo)為,求點(diǎn)的坐標(biāo).意圖說明：通過這個練習(xí)希望學(xué)生能正確地認(rèn)識向量坐標(biāo)的意義,在解答中可結(jié)合向量作圖使學(xué)生明確我們要求點(diǎn)的坐標(biāo)就是要求向量的坐標(biāo),而.這里是要學(xué)生明確向量的坐標(biāo)與坐標(biāo)平面中的向量的對應(yīng)關(guān)系. 用平面向量基本定理來解決有關(guān)三角形中點(diǎn)問題.這個問題主要讓學(xué)生體會解題過程,認(rèn)識平面向量基本定理的作用,所以

10、教師可自己分析,展示解題過程,學(xué)生可在回家作業(yè)中進(jìn)行練習(xí)鞏固.2.已知三角形中,是重心,用向量方法求的值. 請?zhí)羁詹⒄f明本題的解題思路.解 設(shè),而,所以_,() 又設(shè),而,所以_,()而_.()由平面向量基本定理得與的方程組為_.()解方程組得=_.()所以, .意圖說明：希望學(xué)生能知道本題的解題思路是,對向量在基底上進(jìn)行分解,由于不同的參數(shù)可得出不同的分解形式.由平面向量基本定理分解的唯一可得出兩個方程組,通過解方程便能得出結(jié)果.本題的目的是幫助學(xué)生理解基底和平面向量基本定理.3.請回顧本堂課的教學(xué)過程,你能說出定義向量的坐標(biāo)前面做了那些準(zhǔn)備,為什么需要做這些準(zhǔn)備?意圖說明：在引入向量的坐標(biāo)前,先給出了平面向量基本定理,目的是告述學(xué)生平面上的任一向量在給定的基底上分解是唯一的,這樣一個向量就能和一個有序數(shù)對建立一