2019年北京市高考數(shù)學(xué)試卷(文科)

1、A.需B. 41C. 2D. 22019年北京市高考數(shù)學(xué)試卷（文科）題號-一-二二三總分得分一、選擇題（本大題共8小題，共分）1.已知集合 A=x|-1vxv 2， B= x|x 1，則 A UB=( )A. (-1,1)B. (1,2)C. (-1,+ m)D. (1, +8)2.已知復(fù)數(shù)z=2+i，貝Uz?=()A. v3B.需C. 3D. 53.下列函數(shù)中，在區(qū)間（0，+*）上單調(diào)遞增的是（)1A. ?= ?B. ?= 2?C. ?=log；?D ?=丄?4.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的 s值為（A. 1B. 2C. 3D. 45. 已知雙曲線?|-y2=1 （a0）的離心率是v5，則

2、a=（）第15頁，共15頁)D. 106. 設(shè)函數(shù)f （x） =cosx+bsinx （b為常數(shù)），貝廠b=0 ”是f（ x）為偶函數(shù)”的（）A. 充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件7. 在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿足5?m2-m1=2lg?1，其中星等為 mk的星的亮度為 Ek （ k=1 , 2）.已知太陽的星等是,天狼星的星等是，則太陽與天狼星的亮度的比值為（ A. 10B. 10.1C. 8. 如圖，A, B是半徑為2的圓周上的定點(diǎn)，P為圓周上 的動點(diǎn)，ZAPB是銳角，大小為 3,圖中陰影區(qū)域的面 積的

3、最大值為（）A. 4?+ 4cos?B. 4?+ 4si n?C. 2?+ 2cos?D. 2?+ 2si n?二、填空題(本大題共6小題，共分)9. 已知向量？= (-4, 3), ?= (6, m),且？爭？則 m=?c 2,10. 若x, y滿足 ? -1 ,貝V y-x的最小值為 ，最大值為 4?- 3?+ 1 011. 設(shè)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為I，則以F為圓心，且與I相切的圓的方程為 12.小正方形的邊長為1，那么該幾何體的體積為 丁怪a、左13. 已知I，m是平面a外的兩條不同直線.給出下列三個(gè)論斷：I丄m;m /a；I丄a.以其中的兩個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)論斷作為

4、結(jié)論，寫出一個(gè)正確的命題:14. 李明自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營一家水果店， 銷售的水果中有草莓、 京白梨、西瓜、桃, 價(jià)格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.為增加銷量，李明對這四種水 果進(jìn)行促銷：一次購買水果的總價(jià)達(dá)到120元，顧客就少付x上支付成功后，李明會得到支付款的80% . 當(dāng)x=10時(shí)，顧客一次購買草莓和西瓜各1盒，需要支付 元； 在促銷活動中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價(jià)的七折，則x的最大值為.三、解答題(本大題共 6小題，共80.0 分)15. 在ABC 中，a=3，b-c=2，cosB=-f.(I )求b，c的值；(n )求 sin (B+C)

5、的值.16. 設(shè)an是等差數(shù)列，ai=-10，且a2+10, a3+8 , a4+6成等比數(shù)列.(I )求an的通項(xiàng)公式；(n)記昂的前n項(xiàng)和為Sn,求Sn的最小值.17.改革開放以來，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變.近年來，移動支付已成為主要支 付方式之一.為了解某校學(xué)生上個(gè)月A, B兩種移動支付方式的使用情況，從全校所有的1000名學(xué)生中隨機(jī)抽取了 100人，發(fā)現(xiàn)樣本中A, B兩種支付方式都不使用 的有5人，樣本中僅使用 A和僅使用B的學(xué)生的支付金額分布情況如下：支付金額支付方式不大于2000元大于2000兀僅使用A27人3人僅使用B24人1人(I )估計(jì)該校學(xué)生中上個(gè)月A, B兩種支付方式

6、都使用的人數(shù)；(II)從樣本僅使用B的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，求該學(xué)生上個(gè)月支付金額大于2000元的概率；(川)已知上個(gè)月樣本學(xué)生的支付方式在本月沒有變化.現(xiàn)從樣本僅使用B的學(xué)生中隨機(jī)抽查1人，發(fā)現(xiàn)他本月的支付金額大于2000元.結(jié)合(I)的結(jié)果，能否認(rèn)為樣本僅使用 B的學(xué)生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化？說明理由.18.如圖，占八、(I)(I)(川)在四棱錐 P-ABCD中，PA環(huán)面ABCD，底面ABCD為菱形，E為CD的中求證：BD環(huán)面PAC ；若ZABC=60 ,求證：平面 PAB丄平面PAE ；? ?19.已知橢圓C毎+帀=1的右焦點(diǎn)為(1, 0),且經(jīng)過點(diǎn)A ( 0,1 )(I

7、 )求橢圓C的方程；(H)設(shè)O為原點(diǎn)，直線I: y=kx+t( t工)1與橢圓C交于兩個(gè)不同點(diǎn) P、Q,直線AP與x軸交于點(diǎn) M，直線AQ與x軸交于點(diǎn)N .若|OM|?|ON|=2，求證：直線I經(jīng)過 定點(diǎn).120.已知函數(shù) f (x) =-x3-x2+x.(I)求曲線y=f (x)的斜率為I的切線方程；(n)當(dāng) x-2 , 4時(shí)，求證：x-6尋(x) 1,6JO-1 1 2A UB=x|-1 v xv 2 Ux|x 1= -1,+W）.故選:C.直接由并集運(yùn)算得答案.本題考查并集及其運(yùn)算，是基礎(chǔ)的計(jì)算題.2. 【答案】D【解析】解：z=2+i,z? =|；：|I.故選：D.直接由求解.本題考查

8、復(fù)數(shù)及其運(yùn)算性質(zhì)，是基礎(chǔ)的計(jì)算題.3. 【答案】A【解析】解：十曲在0, +X）上單調(diào)遞增，匸沐匚:；：笳護(hù)和丄=二在0, +X）上都是減函數(shù).故選:A.判斷每個(gè)函數(shù)在（0,+ 上的單調(diào)性即可.考查幕函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和反比例函數(shù)的 單調(diào)性.4. 【答案】B【解析】解：模擬程序的運(yùn)行，可得k=1, s=1s=2不滿足條件k3執(zhí)行循環(huán)體，k=2 , s=2不滿足條件k3執(zhí)行循環(huán)體，k=3,s=2此時(shí)，滿足條件k3,退出循環(huán)，輸出s的值為2.故選：B.由已知中的程序 語句可知：該程序的功能是利用循 環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出變量s 的值，模擬程序的運(yùn)行過程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案. 本

9、題考查了程序框圖的應(yīng)用問題，解題時(shí)應(yīng)模擬程序框圖的運(yùn)行過程，以便 得出正確的結(jié)論，是基礎(chǔ)題.5. 【答案】D【解析】解：由雙曲線 -y2=1 a 0），得）2=1，又e= ，得，即，解得:浮y , a=.故選：D.由雙曲線方程求得b2，再由雙曲線的離心率及隱含條件V+bc2聯(lián)立求得a值.本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)，考査計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題.6. 【答案】C【解析】解：設(shè)函數(shù)f X）=cosx+bsinx b為常數(shù)），則“ b=0? f）為偶函數(shù)”f）為偶函數(shù)”？ “b=0；函數(shù) f X）=cosx+bsinx b 為常數(shù)），則“b=0是 f ）為偶函數(shù)”的充分必要條件.故選:C.“ b=0? “f

10、f）為偶函數(shù)” “fx）為偶函數(shù)” “ b=0”由此能求出結(jié)果.本題考查命題真假的判斷，考查函數(shù)的奇偶性等基礎(chǔ)知識，考査推理能力與 計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.7. 【答案】A【解析】解：設(shè)太陽的星等是mi，天狼星的星等是m2,由題意可得：，-_ ,-，則 I-把已知熟記代入m2-mi= lg ：，化簡后利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解.本題考查對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，是基礎(chǔ)的計(jì)算題.8. 【答案】B【解析】解：由題意可得ZA0B=2 ZAPB=23，要求陰影區(qū)域的面 積的最大值，即為直線QOMB，即有Q0=2, Q到線段AB的距離為2+2cos ftAB=2?2sin ft =4sir，ft扇形AOB的面積為 ?2

11、 ft ?4=4ftABQ 的面積為孑 2+2cos ft?4sin ft =4sin ft +4sin ft cos ft =4，n ft +2sin2 ftSaaoq+SBOQ=4sin ft +2sin2” ft?2?2sin2 ft =4sjn ft即有陰影區(qū)域的面 積的最大值為4ft +4sin.ft故選：B.由題意可得ZAOB=2 ZAPB=ft，要求陰影區(qū)域的面積的最大值，即為直線QOMB，運(yùn)用扇形面積公式和三角形的面 積公式，計(jì)算可得所求最大 值. 本題考查圓的扇形面積公式和三角函數(shù)的恒等 變換，考査化簡運(yùn)算能力，屬 于中檔題.9. 【答案】8【解析】解：由向量=(4, 3)，

12、= 6, m)，且丄， 得-,5=8.故答案為：8.丄則，代入，解方程即可.本題考查了平面向量的數(shù)量 積與垂直的關(guān)系，屬基礎(chǔ)題.10. 【答案】-31【解析】f mX 70%即有x 120,可得x mX 70懈不等式,結(jié)合恒成立思想，可得x的最大值.本題考查不等式在實(shí)際問題的應(yīng)用，考查化簡運(yùn)算能力，屬于中檔題.115. 【答案】 解：(1).a=3，b-c=2，cosBp由余弦定理，得 b2=a2+c2-2accosB2 1=9 + (?- 2)2 - 2 X 3 X (?- 2) X (-刁)，/b=7， /c=b-2=5 ；(2) 在 ABC 中，cosB=-1， nB=迢，2 2 ? ?

13、由正弦定理有：=?疑 si nA=?2Z?r?_Z=竺3,? =714sin (B+C) =sin (?A) =sinAn33 14【解析】1) 利用余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB,代入已知條件即可得到關(guān)于b的方 程，解方程即可；2) sin B+C)=sin ( -A)=sinA，根據(jù)正弦定理可求出 sinA.本題考查了正弦定理余弦定理，屬基 礎(chǔ)題.16. 【答案】 解：(I ) .an是等差數(shù)列，ai=-10,且a2+10, a3+8, a4+6成等比數(shù)列. (a3+8) 2= (a2+10)( a4+6)， (-2+2d) 2=d (-4+3d)，解得d=2， an= a1

14、 + (n-1) d =-10+2 n-2=2 n-12 .(n )由 a1=-10， d=2，得：?(?-1) 2 11 2 121Sn=-10n+ 2 X2= n2-11 n= (n-y) 24 ，5=5或n=6時(shí)，Sn取最小值-30.【解析】(I)利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式和等比數(shù)列的性 質(zhì)，列出方程求出d=2，由此能 求出On的通項(xiàng)公式.(U) 由1=-10, d=2，得Sn=-10n+j 耳 x 2 = n2-11 n=)2-#，由此能求出Sn的最小值.本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和的最小值的求法，考查等差數(shù)列、等比數(shù) 列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考査推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.17. 【答

15、案】解：(I )由題意得：從全校所有的1000名學(xué)生中隨機(jī)抽取的 100人中，A，B兩種支付方式都不使用的有5人，僅使用A的有30人，僅使用B的有25人， A，B兩種支付方式都使用的人數(shù)有：100-5-30-25=40，40估計(jì)該校學(xué)生中上個(gè)月A，B兩種支付方式都使用的人數(shù)為：1000祐=400人.(n)從樣本僅使用B的學(xué)生有25人，其中不大于2000元的有24人，大于2000元的 有1人，從中隨機(jī)抽取1人，基本事件總數(shù) n=25，該學(xué)生上個(gè)月支付金額大于 2000元包含的基本事件個(gè)數(shù) m=1，? 1該學(xué)生上個(gè)月支付金額大于2000元的概率p=2?.(川)不能認(rèn)為樣本僅使用 B的學(xué)生中本月支付

16、金額大于2000元的人數(shù)有變化，理由如下：上個(gè)月樣本學(xué)生的支付方式在本月沒有變化.現(xiàn)從樣本僅使用 B的學(xué)生中隨機(jī)抽查1人，1發(fā)現(xiàn)他本月的支付金額大于2000元的概率為25 ,1雖然概率較小，但發(fā)生的可能性為-故不能認(rèn)為樣本僅使用 B的學(xué)生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化.【解析】(I)從全校所有的1000名學(xué)生中隨機(jī)抽取的100人中，a ,B兩種支付方式都 不使用的有5人，僅使用A的有30人，僅使用B的有25人，求出A, B兩種 支付方式都使用的人數(shù)有40人，由此能估計(jì)該校學(xué)生中上個(gè)月A ,B兩種支 付方式都使用的人數(shù).(U)瞬本僅使用B的學(xué)生有25人，其中不大于2000元的有24人，

17、大于 2000元的有1人，從中隨機(jī)抽取1人，基本事件總數(shù)n=25,該學(xué)生上個(gè)月支付 金額大于2000元包含的基本事件個(gè)數(shù) m=1，由此能求出該學(xué)生上個(gè)月支付金 額大于2000B的學(xué)生中隨機(jī)抽 查1人，發(fā)現(xiàn)他 本月的支付金 額大于2000元的概率為，雖然概率較小，但發(fā)生的可能性為 土 .不能認(rèn)為樣本僅使用B的學(xué)生中本月支付金 額大于2000元的人數(shù)有變 化.本題考查頻數(shù)、概率的求法，考查頻數(shù)分布表、概率等基礎(chǔ)知識，考查推理能 力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.18. 【答案】 證明：(I ) 四棱錐P-ABCD中，PA丄平面ABCD，底面ABCD為菱形，BD _LPA，BD _bAC，PA AAC=A，

18、PA、AC?平面 PAC，BD 呼面 PAC (II ) 在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，ZABC=60，?等邊三角形，E為CD的中點(diǎn)， ?.?勿？AB _LAE，PA 呼面 ABCD，/PA AE，PA AAB=A，PA、AB?平面 PAB，/AE丄平面PAB，AE?平面 PAE，平面PAB邛面PAE.解：(川)棱PB上存在中點(diǎn)F，使得CF /平面PAE.理由如下：分別取 PB、PA的中點(diǎn)F、G,連接CF、FG、EG，1 在三角形 PAB 中，？?7/?且？?= 2?,?1 在菱形ABCD中，E為CD的中點(diǎn)，所以 CE/AB,且?= 2?所以 CE /FG,且?= ?,?即四邊形

19、CEGF為平行四邊形，所以？?/?又廠卩廠：叫匕圧，卞B【解析】p(I)播出BD 1PA, BD丄AC,由此能證明BD丄平面PAC .(H)Jt出AB _LAE ,PA _LAE，從而AE1平面PAB，由此能證明平面PAB1平 面 PAE.(川)棱PB上存在中點(diǎn)F,分別取PB、PA的中點(diǎn)F、G,連接CF、FG、EG,推導(dǎo) 出四邊形CEGF為平行四邊形，所以,進(jìn)而CF/平面PAE.本題考查線面垂直、面面垂直的證明，考查滿足線面平行的點(diǎn)是否存在的判斷與求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基 礎(chǔ)知識，考查推理 能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.,小？多？多19. 【答案】 解：(I )橢圓C：

20、?；2+?=1的右焦點(diǎn)為(1, 0),且經(jīng)過點(diǎn) A (0, 1).可得 b=c=1, a=“ ？?+ ?=v2,?則橢圓方程為?+y2=1 ；(H)證明：y=kx+t 與橢圓方程 x2+2y2=2 聯(lián)立，可得(1+2k2) x2+4ktx+2t2-2=0 ,設(shè) P (X1 , y1), Q (x2, y2),4?2?-2=16k2t2-4 (1+2k2)( 2t2-2) 0, x1+x2=-2，x1x2=1+?，?_1 ? ?AP的方程為y=x+1，令y=0，可得y=，即M (芮,0);?1 ? ?AQ的方程為 尸盲X+1，令y=0，可得 尸尹即卩N (兩,).(1-yi)( 1-y2) =1

21、 + yiy2- (yi+y2) =1+ ( kxi+t) ( kx2+t) - ( kxi+kx2+2t)2 2朋？-24?(?-i)2=(i+t-2t) +k ?i+2?2+ (kt-k) ? (-?2) =T+2i?2，? ?|0M|?|0N|=2，即為 |內(nèi)？匠|=2,即有 |t2-i|= (t-i) 2,由 t,l 解得 t=0,滿足 0,即有直線I方程為y=kx,恒過原點(diǎn)(0, 0) 【解析】(I)題意可得b=c=i，由a, b, c的關(guān)系，可得a,進(jìn)而得到所求橢圓方程；(H)=kx+t與橢圓方程x2+2y2=2聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理，化簡整理，結(jié)合直線 恒過定點(diǎn)的求法，計(jì)算可得結(jié)論.本題考查橢圓的方程和運(yùn)用，考查聯(lián)立直線方程和橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理, 考查直線恒過定點(diǎn)的求法，考查化簡整理的運(yùn)