胡運權(quán)運籌學(xué)第七章習(xí)題解

1、7.3某廠每月生產(chǎn)某種產(chǎn)品最多600件，當(dāng)月生產(chǎn)的產(chǎn)品若未銷出，就需貯存（剛?cè)霂斓漠a(chǎn)品下月不付存儲費）月初就已存儲的產(chǎn)品需支付存儲費，每100件每月1000元。已知每100件產(chǎn)品的生產(chǎn)費為5千元，在進行生產(chǎn)的月份工廠支出經(jīng)營費4千元，市場需求如表7-19所示，假定1月初及4月底庫存量為零，試問每月應(yīng)生產(chǎn)多少產(chǎn)品，才能在滿足需求條件下，使總生產(chǎn)及存貯費用之和最小。月份1234產(chǎn)品（100件）5321解：設(shè)階段變量：k=1,2,3狀態(tài)變量： 第k個月初的庫存量決策變量：第k個月的生產(chǎn)量狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：階段指標(biāo)：由于在4月末，倉庫存量為0，所以對于k=4階段來說有兩種決策： 5+4=9 = 1 對K=

2、3 012345602*5+4+9=233*5+4+1=2020311*5+4+9=182*5+4+1+1=1616222*5+9=191*5+1+4+1=1111133*1+1=440K=2 d2X2 0123456f(x)d03*5+4+20=394*5+4+16=395*5+4+106*5+4+438611+2*5+4+20=353*5+4+16+1=364*5+4+11+1=365*5+4+4+1=3434521*4+4+20+2=2302*5+4+16+2=323*5+4+11+2=324*5+4+4+2=3030433+20=321*5+4+16+3=282*5+4+11+3=28

3、3*5+4+4+3=2323344+16=205+4+11+4=232*5+4+4+4=2220055+11=161*5+4+4+5=1616066+4=10100K=1時0123456F(x)d05*5+4+38=676*5+4+34=68675 解得：第一個月生產(chǎn)500份，第二個月生產(chǎn)600份，第三個月生產(chǎn)0份，第四個月生產(chǎn)0份。7.4某公司有資金4萬元，可向A，B，C三個項目投資，已知各項目不同投資額的相應(yīng)效益值如表7-20所示，問如何分配資金可使總效益最大。表 7-20項目投資額01234A041486066B042506066C064687876解：設(shè)階段變量k，每一個項目表示一個階

4、段;狀態(tài)變量Sk，表示可用于第k階段及其以后階段的投資金額；決策變量k，表示在第k階段狀態(tài)為Sk下決定投資的投資額； 決策允許集合：0kSk 狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：Sk+1=Sk-k; 階段指標(biāo)函數(shù)：V k(Skk)； 最優(yōu)指標(biāo)函數(shù)：fk(Sk)=max V k(Skk)+ fk+1(Sk+1) 終端條件：f4(x4)=0； K=4, f4(x4)=0 k=3, 03S3 S3 3f3(S3)=max V3(S33)+ f4(S4)f3(S3)U3*0123400001064641206468682306468787834064687876783k=2, 02S2S2 2f2(S2)=max V 2(

5、S22)+ f3(S3)f2(S2)U2*0123400+00010+6442+064020+6842+6450+0106130+7842+6850+6460+0114240+7842+7850+6860+6466+01243k=1, 01S1S1 1f1(S1)=max V1(S11)+ f2(S2)f1(S1)U1*03400+00010+6441+064020+10641+6448+0106130+11441+10648+6460+0114040+12441+11448+10660+6455+01551所以根據(jù)以上計算，可以得到獲得總效益最大的資金分配方案為（1，2，1）.7.5為了保證

6、某設(shè)備正常運行,須對串聯(lián)工作的三種不同零件A1,A2,A3,分別確定備件數(shù)量。若增加備用零件數(shù)量，可提高設(shè)備正常運轉(zhuǎn)的可靠性，但費用要增加，而總投資額為8千元。已知備用零件數(shù)和他的可靠性和費用關(guān)系如表所視，求A1,A2,A3,的備用零件數(shù)個為多少時可使設(shè)備運轉(zhuǎn)的可靠性最高。設(shè)備數(shù)可靠性備用零件費用（千元）A1A2A3A1A2A310.30.20.113220.40.50.225330.50.90.7364解：設(shè)第k階段的狀態(tài)為Sk；第k階段決定投入的備件為Xk;Ck(Xk)為第k階段選擇k個零件的費用；Rk(Xk)為第k個階段選擇k個零件的可靠性。狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程為：Sk+1=Sk- Ck(Xk)

7、遞退方程：所以有上可知當(dāng)A1；A2；A3；分別為k=1;k=2;k=3時S1=8; S2=5,6,7; S3=1,2,3,4;當(dāng)k=3時S3X3F3(x3)X3*100無210.113120. 10.2241230.10.20.73當(dāng)k=2時S2X2F2(x2)X2*5120. 2*0.1=0.020.5*0=0161230. 2*0.2=0.040. 5*0=00.9*0=0171230. 2*0.7=0.140.5*0.1=0.050.9*0=01當(dāng)k=1時S1X1F1(x1)X1*81230.3*0.14=0.0420.4*0.04=0.0160.5*0.02=0.011由上表可知，最優(yōu)

8、解的可靠性為0.042；此時X1=1；X2=1；X3=3。7.7 某工廠接受一項特殊產(chǎn)品訂貨，要在三個月后提供某種產(chǎn)品1000kg，一次交貨。由于該產(chǎn)品用途特殊，該廠原無存貨，交貨后也不留庫存。已知生產(chǎn)費用與月產(chǎn)量關(guān)系為：C=1000+3d+0.005d，其中d為月產(chǎn)量（kg），C為該月費用（元）。每月庫存成本為2元/kg，庫存量按月初與月末存儲量的平均數(shù)計算，問如何決定3個月的產(chǎn)量是總費用最小。解：用動態(tài)規(guī)劃法求解階段k：每一個月為一個階段k=1,2,3狀態(tài)變量s：第k個月初的庫存量決策變量d：第k個月的生產(chǎn)量狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：s= s+d最優(yōu)指標(biāo)函數(shù)：f( s)：第k個月狀態(tài)為s時到第3個月末

9、的總費用最小則第k個月的庫存費用為：E= （s +s）/22= s +s=2 s+ds=0，d+d+d=1000 當(dāng)k=3時f(s)=minE+C =min2s+d+1000+ 3d+0.005d = min3000+ 2d+0.005d = 3000+2(1000- s)+0.005(1000- s) 當(dāng)k=2時f(s)=minE+C+ f(s) =min2s+d+1000+3d+0.005d+3000+2(1000- s)+0.005(1000- s)=min2s+1000+4d+0.005d+3000+2(1000-s-d)+0.005(1000- s-d)=min6000+2d+0.0

10、05d+0.005(1000- s-d)只有當(dāng)d=1000- s 時f(s)取最小值6000+2（1000- s）+0.005（1000- s）f(s)=minE+C+ f(s) =min2 s+ d+1000+3 d+0.005d+6000+2（1000- s）+0.005（1000- s） =min9000+4 d+0.005d+0.005（1000- d）=min14000-6d+0.01d 只有當(dāng)d=300時f(s)取最小值13100元 此時s= d+ s=300那么d=1000- s=700，f(s)=9850元 d=1000-d-d=0，f(s)=3000元即：三個月的產(chǎn)量分別為3

11、00、700、0時，總費用最小。7-11.某工廠生產(chǎn)三種產(chǎn)品，各產(chǎn)品重量與利潤關(guān)系如表?，F(xiàn)將此三種產(chǎn)品運往市場出售，運輸總重量不超過6t，應(yīng)運輸每件產(chǎn)品各多少件使總利潤最大？產(chǎn)品重量（t/每件）利潤（千元/每件）12802313034180解：設(shè):：第K種產(chǎn)品的數(shù)目；：第K種產(chǎn)品的利潤；：第K種產(chǎn)品之初的總重量；; ()：第K3種產(chǎn)品的總價值；（）=max+()且()=0K=3：0346數(shù)目01180K=2：6000000101000202000301300130+0=1301301401410+180=180130+0=1301800501520+180=180130+0=130180060

12、126300+180=180130+0=130260+0=2602602K=1：6060+260=2602600/11480+180=26022160+0=16030240+0=240答:故最大利潤為260，產(chǎn)品數(shù)目為“0，2，0”或“1，0，1”。7.12 某公司需要對某產(chǎn)品決定未來4個月內(nèi)每個月的最佳存儲量，以使總費用最小。已知各月對該產(chǎn)品的需求量和單位訂貨費用、存儲費用如表7-23所示。假定每月初訂貨于月末到貨并入庫，下月開始銷售。表7-23月份k1234需求量dk50454030單位訂貨費用Ck850850775825單位存儲費用Pk35204030解：階段k：月份 k=1，2，3，4

13、，5狀態(tài)變量Xk：第k個月初的存量決策變量r：第k個月的訂貨量狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：Xk+1=Xk+rk-dk決策允許集合：rk（Xk）=rkrk0 dk+1Xk+1 =rkdk+1Xk+rk-dk階段指標(biāo)：Ckrk +PkXkf5（X5）=0 X5=0fk（Xk）=minVk(Xk, rk)+fk+1(Xk+1) =minCkrk+ PkXk + fk+1(Xk+rk-dk)對于k=4 X5=0 r4=0 X4=d4f4（X4）=minV4(X4, r4)+f5(X5) =min30 X4 =900對于k=3F3（X3）=minV3(X3, r3)+f4(X4) =minC3r3+ P3X3 + f

14、4(X4) =min40r3+ 40X3 + 900=min775r3+40x3+900d4=x4 則 d4=x3+r3-d3 r3+d3+d4-x3=70-x3f3(x3)=min775(70-x3)+40x3+900 =min63250-735x3當(dāng)k=2時f2（x2）=minC2r2+ P2x2 + f3(x3)=min850r2+20x2+63250-735(x2+r2-d2)=min850r2+20x2+63250-735x2-735r2+33075=min96325-715x2+115r2R2(x2)=r2 r20 d3x2+r3-d2 =r2 r20 d3+d2 -x2r3 =r

15、2 r20 85-x2r3 f2（x2）=min96325-715x2+115 x2+9775=min106100-830x2當(dāng)k=1時f1（x1）=min850r1+30x1+106100-830(x1+r1-50) =min147600-800x1+20r1r1（x1）=r1r10 d2+d1x1r1 =r1r10 95x1r1f1（x1）=min147600-800 x1+20（95X1） =min149500-820 x1根據(jù)題意x1=0 r1*=95x1f1（x1）=149500 r1*=95r1*=95x2 =x1+r1-d1 =45 f2（x2）= 68750r2*=8545=4

16、0x3 =x2+r2-d2=45+40-45=40f3（x3）=33850x4 = d4=30f4（x4）=9007.13 某罐頭制造公司在近5周內(nèi)需要一次性地購買一批原料，估計未來5周內(nèi)價格有波動，其浮動價格及概率如表7-24所示，試求各周的采購策略，使采購這批原料價格的數(shù)學(xué)期望值最小。表7-24批單價概率90.480.370.3解：設(shè)階段變量k，,每一周表示一個階段;狀態(tài)變量Sk，表示第k階段的實際價格；決策變量k，當(dāng)k=1，表示第k周決定采購；當(dāng)k=0，表示第k周決定等待。SkE表示第k周決定等待，而在以后采用最優(yōu)決策時采購價格的期望值； fk(Sk)表示第k周實際價格為Sk時，從第k周

17、至第五周采用最優(yōu)決策所得的最小期望值。因而可寫出逆序遞推關(guān)系式為fk(Sk)=min Sk, SkE Sk9,8,7 (1)由SkE和fk(Sk)的定義可知SkE=E fk+1 (Sk+1)=0.4fk+1 (9)+0.3 fk+1 (8)+ 0.3 fk+1(7), (2) k=5 因為如果在第五周原材料尚未購買，則不管實際價格如何，都必須采取采購策略。 f5(S5)= S5 , 即f5(7) =7，f5(8)=8， f5(9)=9 k=4 S4E =0.4f5 (9)+0.3 f5 (8)+ 0.3 f5(7)=8.1 f4(S4)=min S4, S4E=min S4, 8.1= 所以在

18、第四周如果價格為9，則等待下周購買，如果價格為8或7，則選擇采購k=3 S3E =0.4f4 (9)+0.3 f4(8)+ 0.3 f4(7)=7.74 f3(S3)=min S3, S3E=min S3, 7.74= 所以在第三周如果價格為9或8，則等待下周購買，如果價格為7，則選擇購買k=2 S2E =0.4f3(9)+0.3 f3(8)+ 0.3 f3(7)=7.518 f2(S2)=min S2, S2E=min S2, 7.518=所以在第二周如果價格為9或8，則等待下周購買，如果價格為7，則選擇購買k=1 S1E =0.4f2(9)+0.3 f2(8)+ 0.3 f2(7)=7.3

19、626 f1(S1)=min S1, S1E=min S1, 7.518=所以在第一周如果價格為9或8，則等待下周購買，如果價格為7，則選擇購買7.14 某企業(yè)有1000萬元資金可在三年內(nèi)每年初對項目A、B投資，若每年初投資項目A，則年末以0.6的概率回收本利2000萬元或以0.4的概率喪失全部資金；若投資項目B，則年末以0.1的概率回收本利2000萬元或以0.9的概率回收1000萬元。假定每年只能投資一次,每次1000萬元（有多余資金也不使用），試給出三年末期望總資金最大的投資策略。K表示第K年的投資方案過程，狀態(tài)表示每年可投資的資金，表示第K年的投資決策=階段指標(biāo)=0.6*(1)（2000+1000）+(0.1*2000+0.9*1000+10000)基本方程即每年年末期望最大總資金期望最大總資金的投資策略為7.15 某汽車公司的一個型號汽車，每輛年均利潤函數(shù)r(t)與年均維修費用函數(shù)u(t) 如上表中所示 ，購買同型號新汽