西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)-西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院.doc

1、西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)專業(yè)選修課程教學(xué)大綱數(shù)學(xué)物理方程一、說(shuō)明（一） 課程性質(zhì)數(shù)學(xué)物理方程主要指從物理學(xué)及其他各門自然科學(xué)、技術(shù)科學(xué)中所產(chǎn)生的偏微分方程，它們反映了有關(guān)的未知變量關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)和關(guān)于空間變量的導(dǎo)數(shù)之間的制約關(guān)系。連續(xù)介質(zhì)力學(xué)、電磁學(xué)、量子力學(xué)等方面的基本方程都屬于數(shù)學(xué)物理方程的范圍。數(shù)學(xué)物理方程是純粹數(shù)學(xué)的許多分支（如泛函分析、 復(fù)變函數(shù)、 微分幾何、 計(jì)算數(shù)學(xué)等）和自然科學(xué)各部門及工程技術(shù)領(lǐng)域之間的一個(gè)重要橋梁。數(shù)學(xué)物理方程是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的一門重要的本科專業(yè)課程, 在第 7 學(xué)期開設(shè)。（二） 教學(xué)目的掌握偏微分方程的基本概念和三種典型類型方程的求解方法、基本理論

2、以及利用Fourier 變換求解偏微分方程；學(xué)會(huì)運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決某些實(shí)際問(wèn)題，提高學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng)。通過(guò)本課程學(xué)習(xí)，為從事本領(lǐng)域的后續(xù)課程的學(xué)習(xí)奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。（三） 教學(xué)內(nèi)容分 7 部分。（ 1）方程的導(dǎo)出及定解問(wèn)題的提法，包括基本概念、幾個(gè)經(jīng)典方程的導(dǎo)出、定解問(wèn)題等內(nèi)容； （ 2）一階偏微分方程，包括基本概念、線性齊次偏微分方程、擬線性偏微分方程等內(nèi)容；（ 3）特征理論與方程的分類， 包括二階方程的特征和二階方程的分類等內(nèi)容；（ 4）雙曲型方程，包括 Duhamel 原理、一維波動(dòng)方程、高維波動(dòng)方程、分離變量法、能量積分、惟一性和穩(wěn)定性等內(nèi)容；（ 5）拋物型方程，包括熱傳導(dǎo)方程的Cauchy

3、問(wèn)題、熱傳導(dǎo)方程的混合問(wèn)題、極值原理、最大模估計(jì)、惟一性和穩(wěn)定性等內(nèi)容； （ 6）橢圓型方程，包括調(diào)和函數(shù) , Green 函數(shù)和球上的 Dirichlet 問(wèn)題等；（ 7） Fourier 變換及其應(yīng)用。（四） 教學(xué)時(shí)數(shù)72 學(xué)時(shí)。（五） 教學(xué)方式講授法，同時(shí)注重?cái)?shù)學(xué)物理方程基本理論和數(shù)學(xué)物理問(wèn)題的密切結(jié)合。二、本文第一章方程的導(dǎo)出及定解問(wèn)題的提法教學(xué)要點(diǎn)偏微分方程的一些基本概念，判斷線性偏微分方程、非線性偏微分方程的方法；從物理現(xiàn)象導(dǎo)出弦振動(dòng)方程、熱傳導(dǎo)方程和拉普拉斯（ Laplace）方程；定解問(wèn)題，三類典型的邊界條件和適定性的基本概念，各種定解問(wèn)題的提法。教學(xué)時(shí)數(shù)6 學(xué)時(shí)教學(xué)內(nèi)容第一節(jié)

4、基本概念（ 1 學(xué)時(shí)）介紹偏微分方程、偏微分方程的解、偏微分方程的階、線性偏微分方程、非線性偏微分方程等基本概念。第二節(jié)幾個(gè)經(jīng)典方程（ 3 學(xué)時(shí)）弦振動(dòng)方程、熱傳導(dǎo)方程、拉普拉斯（Laplace）方程的導(dǎo)出。第三節(jié)定解問(wèn)題（ 2 學(xué)時(shí)）介紹定解問(wèn)題，三類典型的邊界條件，適定性?？己艘笳莆掌⒎址匠痰幕靖拍? 偏微分方程、偏微分方程的解、偏微分方程的階；掌握如何判斷線性偏微分方程、非線性偏微分方程的方法；了解如何從物理現(xiàn)象導(dǎo)出弦振動(dòng)方程、熱傳導(dǎo)方程和拉普拉斯（Laplace）方程；掌握定解問(wèn)題，三類典型的邊界條件和適定性的基本概念，了解各種定解問(wèn)題的提法。第二章一階偏微分方程教學(xué)要點(diǎn)積分曲面

5、， 特征方程， 特征線和全特征的基本概念， 由一階偏微分方程寫出特征方程組；利用特征求解線性齊次偏微分方程的通解；利用特征求解一階擬線性偏微分方程的通解。教學(xué)時(shí)數(shù)8 學(xué)時(shí)教學(xué)內(nèi)容第一節(jié)基本概念（ 2 學(xué)時(shí)）介紹一階偏微分方程的積分曲面、特征線與全特征。第二節(jié)線性齊次偏微分方程（ 3 學(xué)時(shí)）線性齊次偏微分方程通解的結(jié)構(gòu)，初值問(wèn)題。第三節(jié)擬線性偏微分方程（ 3 學(xué)時(shí)）擬線性偏微分方程通解的結(jié)構(gòu)、初值問(wèn)題。考核要求掌握積分曲面、 特征方程、 特征線和全特征等最基本的概念，并會(huì)寫出一階偏微分方程的特征方程組； 掌握一階線性齊次偏微分方程通解的結(jié)構(gòu)，能用特征線法求解相應(yīng)的初值問(wèn)題的解； 掌握一階擬線性偏

6、微分方程通解的結(jié)構(gòu)，能用特征線法求解一階擬線性偏微分方程的初值問(wèn)題。第三章特征理論與方程的分類教學(xué)要點(diǎn)二階偏微分方程的特征方程、特征方向和特征曲面；介紹二階方程的分類:雙曲型偏微分方程、拋物型偏微分方程和橢圓型偏微分方程，辨別二階方程的類型并化為標(biāo)準(zhǔn)型; 化多個(gè)自變量的二階方程為標(biāo)準(zhǔn)型。教學(xué)時(shí)數(shù)6 學(xué)時(shí)教學(xué)內(nèi)容第一節(jié)二階方程的特征（3 學(xué)時(shí)）介紹兩個(gè)自變量的情形和多個(gè)自變量的情形下，二階偏微分方程的特征方程、特征方向和特征曲面。第二節(jié)二階方程的分類（ 3 學(xué)時(shí)）介紹兩個(gè)自變量的情形和多個(gè)自變量的情形下二階方程的類型并化為標(biāo)準(zhǔn)型?？己艘竽軌蚋鶕?jù)一般方程寫出二階偏微分方程的特征方程、 特征方向和

7、特征曲面； 掌握辨別方程的類型的方法，會(huì)將一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)型。第四章雙曲型方程教學(xué)要點(diǎn)如何利用Duhamel 原理和齊次化原理將非齊次方程的求解化為齊次方程的求解；一維波動(dòng)方程的DAlembert 公式，利用波的反射原理求解混合問(wèn)題，理解依賴區(qū)域、決定區(qū)域和影響區(qū)域； 如何利用球面平均法求解三維波動(dòng)方程，利用降維法求解二維波動(dòng)方程以及理解依賴區(qū)域、決定區(qū)域和影響區(qū)域，如何利用Poisson 公式解釋物理現(xiàn)象；分離變量法求解波動(dòng)方程的定解問(wèn)題的解題方法；應(yīng)用能量不等式證明Cauchy 問(wèn)題解的惟一性和穩(wěn)定性。教學(xué)時(shí)數(shù)20 學(xué)時(shí)教學(xué)內(nèi)容第一節(jié)Duhamel 原理（ 3 學(xué)時(shí)）介紹波動(dòng)方程的Cauc

8、hy 問(wèn)題和混合問(wèn)題的Duhamel 原理。第二節(jié)一維波動(dòng)方程（ 5 學(xué)時(shí)）齊次波動(dòng)方程的Cauchy 問(wèn)題和特征線法，DAlembert 公式的物理意義、幾何解釋，依賴區(qū)域、決定區(qū)域和影響區(qū)域，齊次波動(dòng)方程的混合問(wèn)題，非齊次波動(dòng)方程的Cauchy問(wèn)題。第三節(jié)高維波動(dòng)方程（ 4 學(xué)時(shí)）三維波動(dòng)方程的 Poisson 公式，降維法，依賴區(qū)域、決定區(qū)域和影響區(qū)域，波的傳播速度， Poisson 公式的物理意義。第四節(jié)分離變量法（4 學(xué)時(shí)）主要以一維波動(dòng)方程和二維波動(dòng)方程的混合問(wèn)題為模型，闡述分離變量法的解題過(guò)程和理論基礎(chǔ)，介紹物理意義和駐波法。第五節(jié)能量積分、惟一性和穩(wěn)定性（ 4 學(xué)時(shí)）能量積分，

9、混合問(wèn)題解的惟一性，能量不等式，Cauchy 問(wèn)題解的惟一性和穩(wěn)定性?？己艘鬁?zhǔn)確理解Duhamel 原理和齊次化原理，能夠應(yīng)用Duhamel 原理和齊次化原理將非齊次方程的定解問(wèn)題的求解轉(zhuǎn)化為齊次方程的定解問(wèn)題的求解；熟練掌握DAlembert 公式，會(huì)利用波的反射原理求解混合問(wèn)題，理解依賴區(qū)域、 決定區(qū)域和影響區(qū)域；掌握球面平均法求解三維波動(dòng)方程和降維法求解二維波動(dòng)方程的基本方法，理解依賴區(qū)域、 決定區(qū)域和影響區(qū)域，了解波的傳播速度和Poisson 公式的物理意義；掌握分離變量法求解一維波動(dòng)方程和二維波動(dòng)方程的混合問(wèn)題的解題過(guò)程和理論基礎(chǔ)；掌握能量不等式， 能夠熟練應(yīng)用能量不等式證明 Ca

10、uchy 問(wèn)題解的惟一性和穩(wěn)定性。第五章拋物型方程教學(xué)要點(diǎn)求解齊次和非齊次熱傳導(dǎo)方程的 Cauchy 問(wèn)題和混合問(wèn)題；應(yīng)用熱的反射原理及分離變量法求解熱傳導(dǎo)方程的初邊值問(wèn)題； 應(yīng)用極值原理獲得解的最大模估計(jì)進(jìn)而證明解的惟一性和穩(wěn)定性。教學(xué)時(shí)數(shù)10 學(xué)時(shí)教學(xué)內(nèi)容第一節(jié)熱傳導(dǎo)方程的Cauchy 問(wèn)題（ 2 學(xué)時(shí)）熱傳導(dǎo)方程的Cauchy 問(wèn)題和混合問(wèn)題，自相似解，Poisson 公式。第二節(jié)熱傳導(dǎo)方程的混合問(wèn)題（ 4 學(xué)時(shí)）半直線上的熱傳導(dǎo)方程與熱的反射，有限區(qū)間上的熱傳導(dǎo)方程與分離變量法。第三節(jié)極值原理、最大模估計(jì)、惟一性和穩(wěn)定性（ 4 學(xué)時(shí)）弱極值原理，第一邊值問(wèn)題解的最大模估計(jì)、惟一性和穩(wěn)定

11、性，Cauchy 問(wèn)題解的最大模估計(jì)?？己艘笫炀氄莆諢醾鲗?dǎo)方程的求解，包括如何應(yīng)用相似變換法和Duhamel 原理來(lái)求解熱傳導(dǎo)方程的 Cauchy 問(wèn)題和混合問(wèn)題；熟練掌握半直線上的熱傳導(dǎo)方程的解法，應(yīng)用熱的反射原理及分離變量法來(lái)求解熱傳導(dǎo)方程的初邊值問(wèn)題；了解極值原理的證明方法，能夠熟練應(yīng)用極值原理獲得解的最大模估計(jì)，進(jìn)而證明解的惟一性和穩(wěn)定性。第六章橢圓型方程教學(xué)要點(diǎn)利用 Green 公式導(dǎo)出基本積分公式，進(jìn)而研究調(diào)和函數(shù)的基本性質(zhì)； Green 函數(shù)的定義和幾個(gè)重要性質(zhì)的證明； 求解特殊區(qū)域上的 Green 函數(shù)，進(jìn)而求解特殊區(qū)域上的橢圓型方程的各種定解問(wèn)題； 橢圓型方程極值原理的證明

12、思想， 利用極值原理證明解的惟一性和穩(wěn)定性；分離變量法的求解方法。教學(xué)時(shí)數(shù)14 學(xué)時(shí)教學(xué)內(nèi)容第一節(jié)調(diào)和函數(shù)（2 學(xué)時(shí)）Green 公式，基本解，調(diào)和函數(shù)，調(diào)和函數(shù)的基本性質(zhì)。第二節(jié)Green 函數(shù)（ 2 學(xué)時(shí)）Green 函數(shù)的定義，Green 函數(shù)的重要性質(zhì)。第三節(jié)球上的 Dirichlet 問(wèn)題（ 4 學(xué)時(shí)）Poisson 公式，解的存在性，Harnack 不等式及其應(yīng)用。第四節(jié)極值原理、惟一性和穩(wěn)定性（ 4 學(xué)時(shí)）橢圓型方程的極值原理、惟一性和穩(wěn)定性。第五節(jié)分離變量法（ 2 學(xué)時(shí)）橢圓型方程的分離變量法，Possion 公式。考核要求掌握調(diào)和函數(shù)的定義和性質(zhì)；掌握 Green 函數(shù)的定義

13、， 理解并掌握Green 函數(shù)的幾個(gè)重要性質(zhì)； 熟練掌握球和半空間上Green 函數(shù)的構(gòu)造， 并會(huì)求解球和半空間上橢圓型方程的定解問(wèn)題，掌握Harnack 不等式； 掌握橢圓型方程極值原理的證明思想，能夠熟練的證明第一邊值問(wèn)題解的惟一性和穩(wěn)定性， 第二邊值問(wèn)題解的惟一性； 能夠熟練應(yīng)用分離變量法求解橢圓型方程。第七章Fourier 變換及其應(yīng)用教學(xué)要點(diǎn)求解函數(shù)的 Fourier 變換及其逆變換； 應(yīng)用 Fourier 變換的基本性質(zhì)求解常系數(shù)的線性偏微分方程。教學(xué)時(shí)數(shù)4 學(xué)時(shí)教學(xué)內(nèi)容第一節(jié)Fourier 變化及其性質(zhì)（ 2 學(xué)時(shí)）Fourier 變換及其逆變換，基本性質(zhì)。第二節(jié)應(yīng)用（2學(xué)時(shí)）應(yīng)用 Fourier 變換的基本性質(zhì)求解常系數(shù)的線性偏微分方程。考核要求能熟練地求解某些特殊函數(shù)的 Fourier 變換及其逆變換