幾種參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)PPT優(yōu)秀課件

1、 定義定義: :.)(0),(稱稱為為隱隱函函數(shù)數(shù)所所確確定定的的函函數(shù)數(shù)由由方方程程xyyyxF .)(形形式式稱稱為為顯顯函函數(shù)數(shù)xfy 0),( yxF)(xfy 隱函數(shù)的顯化隱函數(shù)的顯化 問題問題:隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導(dǎo)隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導(dǎo)? 隱函數(shù)求導(dǎo)法則隱函數(shù)求導(dǎo)法則: : 用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對方程兩邊求導(dǎo)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對方程兩邊求導(dǎo). ?0; 101 222 yyxexyyx xy 例例1 1 ., 0 0 x yx dx dy dx dy y eexy 的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù) 所所確確定定的的隱隱函函數(shù)數(shù)求求由由方方程程 解解 ,求導(dǎo)求導(dǎo)方程兩邊對方程兩

2、邊對x 0 dx dy ee dx dy xy yx 解得解得 , y x ex ye dx dy , 0, 0 yx由原方程知由原方程知 0 00 y x y x x ex ye dx dy . 1 yeexyy ye yy y )(),( , 為中間變量，為中間變量， 例例2 2 .)1 , 0(, 1 44 處處的的值值在在點點求求設(shè)設(shè)yyxyx 解解 求求導(dǎo)導(dǎo)得得方方程程兩兩邊邊對對 x )1(044 33 yyyxyx 得得代入代入1, 0 yx; 4 1 1 0 y x y 求求導(dǎo)導(dǎo)得得兩兩邊邊再再對對將將方方程程x)1( 04)(12212 3222 yyyyyxyx 得得 4

3、1 1 0 y x y, 1, 0 yx代代入入. 16 1 1 0 y x y 例例3 3 .)3 2 3 , 2(1 916 22 處的切線方程在點求橢圓 yx 解解 16 13)( 2 x y法一 求導(dǎo)得兩邊對（法二）將方程x 4 3 )2( 0 9 2 8 y yy x ).2( 4 3 3 2 3 xy方程為 例例4 4：上上點點，求求過過的的方方程程為為設(shè)設(shè)曲曲線線CxyyxC3 33 解：解： ,求求導(dǎo)導(dǎo)方方程程兩兩邊邊對對 xyxyyyx 3333 22 ),( ),( 2 3 2 32 2 2 3 2 3 xy xy y 。1 所求切線方程為所求切線方程為 ) 2 3 ( 2

4、 3 xy。即即03 yx 2 3 2 3 xy法線方程為法線方程為 。即即xy 故曲線通過原點。故曲線通過原點。 ，時時，當當00 yx ， xy xy y 2 2 在在該該點點的的法法并并證證明明曲曲線線的的切切線線方方程程C,),( 2 3 2 3 。線線通通過過原原點點 。，求，求：例例 2 2 22 55 dx yd dx dy xyy sin 解：解：兩邊對兩邊對x求導(dǎo)數(shù)得求導(dǎo)數(shù)得 xyyyy210 cos yy x y cos 10 2 的的表表達達式式兩兩邊邊求求導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)得得對 對y 2 10 102102 )cos( )sin()cos( yy yyyxyy y 。 3 22

5、 10 104102 )cos( )sin()cos( yy yxyy 觀察函數(shù)觀察函數(shù)., )4( 1)1( sin 2 3 x x xy ex xx y 方法方法: : 先在方程兩邊取對數(shù)先在方程兩邊取對數(shù), 然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo) 方法求出導(dǎo)數(shù)方法求出導(dǎo)數(shù). -對數(shù)求導(dǎo)法對數(shù)求導(dǎo)法 適用范圍適用范圍: : .)( )( 的情形的情形數(shù)數(shù)多個函數(shù)相乘和冪指函多個函數(shù)相乘和冪指函 xv xu . 1 ln x x 例：例： , 1 ln0 x xx 時時，當當 , 1 )1( 1 ln0 xx xx 時時，當當 . 1 ln x x 總有總有 例例4 4 解解 1 4 2

6、)1(3 1 1 1 )4( 1)1( 2 3 xxxex xx y x 等式兩邊取對數(shù)得等式兩邊取對數(shù)得 xxxxy 4ln21ln 3 1 1lnln 求導(dǎo)得求導(dǎo)得上式兩邊對上式兩邊對 x 1 4 2 )1(3 1 1 1 xxxy y ., )4( 1)1( 2 3 y ex xx y x 求求設(shè)設(shè) 例例5 5 解解 .),0( sin yxxy x 求求設(shè)設(shè) 等式兩邊取對數(shù)得等式兩邊取對數(shù)得xxylnsinln 求求導(dǎo)導(dǎo)得得上上式式兩兩邊邊對對 x x xxxy y 1 sinlncos 1 ) 1 sinln(cos x xxxyy ) sin ln(cos sin x x xxx

7、x 求求導(dǎo)導(dǎo)法法求求導(dǎo)導(dǎo)：也也可可直直接接根根據(jù)據(jù)復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù) )ln(sin lnsin xxe xx 1 sinlncos sin x xxxx x )()( lnsinsin xxx exy 一般地一般地 )0)()()( )( xuxuxf xv )( )( 1 )(lnxf dx d xf xf dx d 又又 )( )()( )(ln)()()( )( xu xuxv xuxvxuxf xv )(ln)()(lnxuxvxf 適用范圍適用范圍: : .)( )( 的情形的情形數(shù)數(shù)多個函數(shù)相乘和冪指函多個函數(shù)相乘和冪指函 xv xu 練習練習 .),0(yxxy x 求設(shè) . ,

8、 )( )( 定的函數(shù)定的函數(shù)稱此為由參數(shù)方程所確稱此為由參數(shù)方程所確 間的函數(shù)關(guān)系間的函數(shù)關(guān)系與與確定確定若參數(shù)方程若參數(shù)方程xy ty tx 例如例如 , ,2 2 ty tx 2 x t 22 ) 2 ( x ty 4 2 x xy 2 1 消去參數(shù)消去參數(shù) 問題問題: : 消參困難或無法消參如何求導(dǎo)消參困難或無法消參如何求導(dǎo)? t ),()( 1 xttx 具有單調(diào)連續(xù)的反函數(shù)具有單調(diào)連續(xù)的反函數(shù)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) )( 1 xy , 0)(,)(),( ttytx 且且都都可可導(dǎo)導(dǎo)再再設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù) 由復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)法則得由復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)法則得 dx dt dt dy dx

9、dy dt dx dt dy1 )( )( t t dt dx dt dy dx dy 即即 , )( )( 中中在方程在方程 ty tx .)( 1 是是中中間間變變量量xt , )( )( 二階可導(dǎo)二階可導(dǎo)若函數(shù)若函數(shù) ty tx )( 2 2 dx dy dx d dx yd dx dt t t dt d ) )( )( ( )( 1 )( )()()()( 2 tt tttt . )( )()()()( 32 2 t tttt dx yd 即即 dt dx t t dt d ) )( )( ( dx dt dt dx dy d .)( 1 是是中中間間變變量量xt 例例 解：解： dt

10、 dx dt dy dx dy ， t t cos sin 1taa ta cos sin 2 1 2 2 cos sin tdx dy 。1 處處的的切切線線方方程程。在在求求擺擺線線 21 t tay ttax )cos( )sin( 。，時時，當當ayaxt )(1 22 所求切線方程為所求切線方程為)1 2 ( axay 。即即)( 2 2 axy 例例7 7 解解 . sin cos 3 3 表示的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)表示的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)求由方程求由方程 tay tax dt dx dt dy dx dy )sin(cos3 cossin3 2 2 tta tta ttan )( 2 2

11、dx dy dx d dx yd )cos( )tan( 3 ta t tta t sincos3 sec 2 2 ta t sin3 sec 4 dx dt t t dt d ) )( )( ( dx dt dt dx dy d dt dx t t dt d ) )( )( ( 例例 解解 .的速度大小炮彈在時刻)2( ;的運動方向炮彈在時刻)1(求 , 2 1 sin ,cos 其運動方程為,發(fā)射炮彈 發(fā)射角,以初速度,不計空氣的阻力 0 0 2 0 0 0 t t gttvy tvx v x y o v x v y v 0 v .可由切線的斜率來反映 ,時刻的切線方向軌跡在 時刻的運動方

12、向即在)1( 0 0 t t )cos( ) 2 1 sin( 0 2 0 tv gttv dx dy cos sin 0 0 v gtv . cos sin 0 00 0 v gtv dx dy tt 軸方向的分速度為軸方向的分速度為時刻沿時刻沿炮彈在炮彈在yxt,)2( 0 00 )cos( 0ttttx tv dt dx v cos 0 v 00 ) 2 1 sin( 2 0tttty gttv dt dy v 00 singtv 時刻炮彈的速度為時刻炮彈的速度為在在 0 t 22 yx vvv 2 0 2 00 2 0 sin2tggtvv . ,)(: ),( ,)()( 化率稱為相

13、關(guān)變化率化率稱為相關(guān)變化率這樣兩個相互依賴的變這樣兩個相互依賴的變 之間也存在一定關(guān)系之間也存在一定關(guān)系與與 從而它們的變化率從而它們的變化率之間存在某種關(guān)系之間存在某種關(guān)系 與與而變量而變量都是可導(dǎo)函數(shù)都是可導(dǎo)函數(shù)及及設(shè)設(shè) dt dx xf dt dy dt dy dt dx xfyy xtyytxx 相關(guān)變化率問題相關(guān)變化率問題: : 已知其中一個變化率時如何求出另一個變化率已知其中一個變化率時如何求出另一個變化率? dt dx xf dt dy xfy)(),( 即即可可得得建建立立關(guān)關(guān)系系求法：求法： 例例9 9 解解 ? ,500./140, 500 率率是是多多少少觀觀察察員員視視

14、線線的的仰仰角角增增加加 米米時時當當氣氣球球高高度度為為秒秒米米其其速速率率為為上上升升 米米處處離離地地面面鉛鉛直直一一汽汽球球從從離離開開觀觀察察員員 則則的仰角為的仰角為 觀察員視線觀察員視線其高度為其高度為秒后秒后設(shè)氣球上升設(shè)氣球上升 , , ht 500 tan h 求導(dǎo)得求導(dǎo)得上式兩邊對上式兩邊對t dt dh dt d 500 1 sec2 ,/140秒秒米米 dt dh 2sec,500 2 米米時時當當h )/(14. 0秒秒弧弧度度 dt d 仰角增加率仰角增加率 米米500 米米500 例例1010 解解 ?,20 ,120,4000 ,/8 0 3 水水面面每每小小時

15、時上上升升幾幾米米米米時時 問問水水深深的的水水槽槽頂頂角角為為米米形形狀狀是是長長為為 水水庫庫秒秒的的體體流流量量流流入入水水庫庫中中米米河河水水以以 則則水庫內(nèi)水量為水庫內(nèi)水量為 水深為水深為設(shè)時刻設(shè)時刻 ),( ),( tV tht 2 34000)(htV 求導(dǎo)得求導(dǎo)得上式兩邊對上式兩邊對t dt dh h dt dV 38000 ,/28800 3 小小時時米米 dt dV 小小時時米米/104. 0 dt dh 水面上升之速率水面上升之速率 0 60 4000m ,20米米時時當當 h 222 32 2 1 2:hhhh 截截面面積積 小結(jié) 隱函數(shù)求導(dǎo)法則隱函數(shù)求導(dǎo)法則: : 直接對方程兩邊求