測(cè)試技術(shù)(第一章)3

1、工程測(cè)試技術(shù) 郭世偉 第一章第一章 信號(hào)分析基礎(chǔ)（三）信號(hào)分析基礎(chǔ)（三） 五、隨機(jī)信號(hào) （一）隨機(jī)信號(hào)的特征 隨機(jī)信號(hào)不能用確定的數(shù)學(xué)表達(dá)式表達(dá)。隨機(jī)信號(hào)不能準(zhǔn)確預(yù) 測(cè)與復(fù)現(xiàn)，只能通過大量觀測(cè)記錄，可用離散數(shù)據(jù)序列、圖形形式 等描述。用數(shù)理統(tǒng)計(jì)的原理描述其特征。 對(duì)隨機(jī)過程進(jìn)行多次 長時(shí)間的觀測(cè)。 每次觀測(cè)為一個(gè)樣本 函數(shù)，有限時(shí)間區(qū)間內(nèi) 為一個(gè)樣本記錄。 ),(),(),()( 21 txtxtxtx i 隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)參數(shù)有：均值、方差、均方值和均方根值等。 集合平均和時(shí)間平均概念 N i i N x tx N t 1 11 )( 1 lim)( N i i N x tx N t 1 1

2、2 1 2 )( 1 lim)( T i T x dxtx T i 0 )( 1 lim)( T i T x dxtx T i 0 22 )( 1 lim)( （這些概念也可應(yīng)用于周期信號(hào)）（這些概念也可應(yīng)用于周期信號(hào)） 隨機(jī)過程的分類： 各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過程 非各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過程 平穩(wěn)隨機(jī)過程 非平穩(wěn)隨機(jī)過程 隨機(jī)過程 平穩(wěn)隨機(jī)過程的集合平均值、方差值等不隨時(shí)間改變，為 常數(shù)值。 對(duì)于各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過程，其任意樣本函數(shù)均包括了該隨機(jī) 過程的全部特征?？蓮膯蝹€(gè)樣本函數(shù)中取若干樣本記錄，用其 時(shí)間平均的統(tǒng)計(jì)特征來估計(jì)整個(gè)隨機(jī)過程的特征。 實(shí)際工程中的隨機(jī)過程大多為各態(tài)歷經(jīng)性的，或在某一范 圍內(nèi)具有各態(tài)歷

3、經(jīng)性。以下均指的是各態(tài)歷經(jīng)性隨機(jī)過程。 （二）信號(hào)的幅值域分析（二）信號(hào)的幅值域分析 各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過程的幅值域分析主要有：均值、均方值、方 差等數(shù)字特征參數(shù)，和概率密度函數(shù)描述。 1、數(shù)字特征參數(shù) （1）均值 均值 Ex(t) 表示集合平均值或數(shù)學(xué)期望值。 對(duì)于各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)信號(hào)，也可用一個(gè)樣本函數(shù)的時(shí)間平均描述。 實(shí)際中用樣本記錄來估計(jì)其均值 T x dxtx T 0 )( 1 T T Tx dttxtxE 0 1 )(lim)( 均值：反映了信號(hào)變化的中心趨勢(shì)，也稱之為直流分量。均值：反映了信號(hào)變化的中心趨勢(shì)，也稱之為直流分量。 （2）均方值 信號(hào)的均方值Ex2(t)，反映了信號(hào)的強(qiáng)度（平

4、均功率）；其正平方根值，又稱為有效值(RMS)，也是信號(hào)平 均能量的一種表達(dá)。 定義和估計(jì)值分別為： T x dxtx T 0 2 2 )( 1 工程測(cè)量中儀器的表頭示值就是信號(hào)的有效值。工程測(cè)量中儀器的表頭示值就是信號(hào)的有效值。 22 1 2 0 x T T T E xtxt dt ( )lim( ) dttx T xx 2 0 2 )( （3）方差）方差 信號(hào)信號(hào)x(t)的方差定義為：的方差定義為： 方差：反映了信號(hào)繞均值的波動(dòng)程度。方差：反映了信號(hào)繞均值的波動(dòng)程度。 22 1 2 0 x T T x T E x tE x tx tdt ( ( ) ( ) lim( ( ) 大方差大方差

5、小方差小方差 估計(jì)值為 2、概率密度函數(shù)、概率密度函數(shù) limlim 1 0 T T T x x x x xxtxxP x xp )( lim)( 以幅值大小為橫坐標(biāo)，以每個(gè)幅值間隔內(nèi)出現(xiàn)的概率為縱坐以幅值大小為橫坐標(biāo)，以每個(gè)幅值間隔內(nèi)出現(xiàn)的概率為縱坐 標(biāo)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的方法。標(biāo)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的方法。 它反映了信號(hào)落在不同幅值強(qiáng)度區(qū)域內(nèi)的概率情況。它反映了信號(hào)落在不同幅值強(qiáng)度區(qū)域內(nèi)的概率情況。 在樣本記錄在樣本記錄x(t)中，幅值落在某指定區(qū)間中，幅值落在某指定區(qū)間 內(nèi)的總時(shí)內(nèi)的總時(shí) 間為：間為： ),(xxx n i inx ttttT 1 21 幅值落在該區(qū)間的概率為：幅值落在該區(qū)間的概率為：

6、 T T xxtxxP x T lim)( 概率密度函數(shù)反映了信號(hào)的瞬時(shí)值落在指定幅值區(qū)間內(nèi)的概率。概率密度函數(shù)反映了信號(hào)的瞬時(shí)值落在指定幅值區(qū)間內(nèi)的概率。 也可用直方圖表示：也可用直方圖表示： 以幅值大小為橫坐標(biāo)，以每個(gè)幅值間隔內(nèi)出現(xiàn)的以幅值大小為橫坐標(biāo)，以每個(gè)幅值間隔內(nèi)出現(xiàn)的 頻次為縱坐標(biāo)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種方法。頻次為縱坐標(biāo)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種方法。 0 0 1010 2020 3030 4040 5050 6060 7070 8080 9090 -1-1-0.5-0.50.50.51 1 直方圖直方圖概率密度函數(shù)概率密度函數(shù) 歸一化歸一化 3、概率分布函數(shù)、概率分布函數(shù) 概率分布函數(shù)是信號(hào)

7、幅值小于或等于某值概率分布函數(shù)是信號(hào)幅值小于或等于某值r的概率，其定的概率，其定 義為：義為： 落在某一區(qū)間落在某一區(qū)間 的概率為：的概率為： r dxxprtxPrP)()()( ),( 21 xx 2 1 )()( 21 x x dxxpxtxxP 4、由概密函數(shù)可求各數(shù)字特征參數(shù)： dxxpx dxxpx dxxxp xx x x )( )( )( 2 2 22 方差 均方值 均值 概密函 數(shù)圖形 特征， 可用以 判斷信 號(hào)性質(zhì) 用于機(jī)械故障診斷用于機(jī)械故障診斷 （三）信號(hào)的相關(guān)分析（三）信號(hào)的相關(guān)分析 相關(guān)函數(shù)可相關(guān)函數(shù)可 定量地表示定量地表示 信號(hào)波形間信號(hào)波形間 的相似程度。的相似

8、程度。 1、相關(guān)的概念、相關(guān)的概念 相關(guān)指變量之間的相依關(guān)系，統(tǒng)計(jì)學(xué)中用相關(guān)指變量之間的相依關(guān)系，統(tǒng)計(jì)學(xué)中用相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù) 來描述變量來描述變量x，y之間的相關(guān)性。之間的相關(guān)性。 是兩隨機(jī)變量之積的是兩隨機(jī)變量之積的 數(shù)學(xué)期望，稱為相關(guān)性，表征了數(shù)學(xué)期望，稱為相關(guān)性，表征了x、y之間的關(guān)聯(lián)程度。之間的關(guān)聯(lián)程度。 2/ 122 )()( )( yx yx yx xy yExE yxEc xy xy x y 1 xy x y 1 xy x y 10 xy x y 0 xy 2 、相關(guān)函數(shù)、相關(guān)函數(shù) 相關(guān)函數(shù)可定量描述兩信號(hào)波形的相似程度。 平穩(wěn)隨機(jī)過程的相關(guān)函數(shù)不隨時(shí)間起點(diǎn)而改變，為時(shí)差的 函數(shù)

9、，即僅與兩信號(hào)間的相對(duì)移動(dòng)量有關(guān)，故相關(guān)函數(shù)為時(shí)差 的函數(shù)，反映了兩信號(hào)在時(shí)移中的相關(guān)性，稱為相關(guān)函數(shù)（又 稱時(shí)差域分析）： 0 1 ( )lim( ) () T xy T Rx t y tdt T 0 1 ( )lim( ) () T yx T Ry t x tdt T 稱為互相關(guān)分析。當(dāng)稱為互相關(guān)分析。當(dāng) 時(shí)，時(shí)，( )( )x ty t 0 1 ( )lim( ) () T x T Rx t x tdt T 稱為自相關(guān)函數(shù)：稱為自相關(guān)函數(shù)： ( )() xyyx RR 由定義可知：由定義可知：)()( xx RR 計(jì)算時(shí)，令計(jì)算時(shí)，令x(t)、y(t)二個(gè)信號(hào)之間產(chǎn)生時(shí)差二個(gè)信號(hào)之間產(chǎn)生

10、時(shí)差，再相乘和，再相乘和 積分，就可以得到積分，就可以得到時(shí)刻二個(gè)信號(hào)的相關(guān)性。時(shí)刻二個(gè)信號(hào)的相關(guān)性。 x(t) y(t) 時(shí)時(shí) 延延 器器 乘乘 法法 器器 y(t-) X(t)y(t-) 積積 分分 器器 Rxy() 相關(guān)分析的相關(guān)分析的 離散化計(jì)算離散化計(jì)算 信號(hào)間為了具有相互定量可比性，用均值和方差進(jìn)行處理，信號(hào)間為了具有相互定量可比性，用均值和方差進(jìn)行處理， 消除均方值不等的影響，成為相關(guān)系數(shù)：消除均方值不等的影響，成為相關(guān)系數(shù)： ( ) ( ) xyxy xy R xy 實(shí)際計(jì)算中用有限積分時(shí)間的離散值估算：實(shí)際計(jì)算中用有限積分時(shí)間的離散值估算： 0 1 11 ( )( ) ()

11、N T xyii i Rx t y tx y TN 0 1 11 ( )( ) () N T xii i Rx t x tx x TN 相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù) ，其值越大，相似程度越高。，其值越大，相似程度越高。 等于等于1時(shí)兩波形完全相似，但為時(shí)兩波形完全相似，但為-1時(shí)相位相反，等于時(shí)相位相反，等于0 時(shí)兩波形間不存在相似關(guān)系。時(shí)兩波形間不存在相似關(guān)系。 ( )1 xy 2 2 ( ) ( ) xx x R x 相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)相關(guān)函數(shù)的性質(zhì) 相關(guān)函數(shù)描述了兩個(gè)信號(hào)間或信號(hào)自身不同時(shí)刻的相似相關(guān)函數(shù)描述了兩個(gè)信號(hào)間或信號(hào)自身不同時(shí)刻的相似 程度，通過相關(guān)分析可以發(fā)現(xiàn)信號(hào)中許多有規(guī)律的東西。程度，通

12、過相關(guān)分析可以發(fā)現(xiàn)信號(hào)中許多有規(guī)律的東西。 自相關(guān)函數(shù)性質(zhì)：自相關(guān)函數(shù)性質(zhì)： （1）自相關(guān)函數(shù)是）自相關(guān)函數(shù)是 的偶函數(shù)，的偶函數(shù)，Rx( )=Rx(- )； （2）當(dāng)）當(dāng) =0 時(shí)，時(shí)，自相關(guān)函數(shù)具有最大值，且自相關(guān)函數(shù)具有最大值，且 （3）周期信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)仍然是同頻率的周期信號(hào)，但）周期信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)仍然是同頻率的周期信號(hào)，但 不保留原信號(hào)的相位信息。不保留原信號(hào)的相位信息。 (0)1 x 互相關(guān)函數(shù)性質(zhì)：互相關(guān)函數(shù)性質(zhì)： （1）不是偶函數(shù)，但有）不是偶函數(shù)，但有 （2）兩等周期信號(hào)的互相關(guān)函數(shù)仍然是同頻率的周期信號(hào)，且）兩等周期信號(hào)的互相關(guān)函數(shù)仍然是同頻率的周期信號(hào)，且 保留原了信

13、號(hào)的相位信息。保留原了信號(hào)的相位信息。 （3）兩個(gè)非同頻率的周期信號(hào)互不相關(guān)，且）兩個(gè)非同頻率的周期信號(hào)互不相關(guān)，且 。 （4）隨機(jī)信號(hào)的相關(guān)函數(shù)將隨）隨機(jī)信號(hào)的相關(guān)函數(shù)將隨 的增大快速衰減。的增大快速衰減。 ( )() xyyx RR lim( ) xyxy R 相關(guān)分析的工程應(yīng)用相關(guān)分析的工程應(yīng)用 案例：案例：機(jī)械加工表面粗糙度自相關(guān)分析機(jī)械加工表面粗糙度自相關(guān)分析 被測(cè)工件被測(cè)工件 相關(guān)分析相關(guān)分析 提取出回轉(zhuǎn)誤差等周期性的故障源。提取出回轉(zhuǎn)誤差等周期性的故障源。 用來檢測(cè)混淆在干擾信號(hào)中的確定性周期信號(hào)成分。用來檢測(cè)混淆在干擾信號(hào)中的確定性周期信號(hào)成分。 案例：案例：自相關(guān)分析測(cè)量轉(zhuǎn)速

14、自相關(guān)分析測(cè)量轉(zhuǎn)速 理想信號(hào)理想信號(hào) 干擾信號(hào)干擾信號(hào) 實(shí)測(cè)信號(hào)實(shí)測(cè)信號(hào) 自相關(guān)系數(shù)自相關(guān)系數(shù) 提取周期性轉(zhuǎn)速成分。提取周期性轉(zhuǎn)速成分。 案例：案例：地下輸油管道漏損位置的探測(cè)地下輸油管道漏損位置的探測(cè) 案例：案例： AGV小車定位，聲位筆定位小車定位，聲位筆定位 相關(guān)測(cè)速法相關(guān)測(cè)速法 運(yùn)動(dòng)物體速度的測(cè)量運(yùn)動(dòng)物體速度的測(cè)量 案例：案例：互相關(guān)汽車測(cè)速互相關(guān)汽車測(cè)速 互相關(guān)分析可應(yīng)用于：互相關(guān)分析可應(yīng)用于： 同頻檢測(cè)技術(shù)，相關(guān)濾波器，從噪聲背景中分離出有用信號(hào)。同頻檢測(cè)技術(shù)，相關(guān)濾波器，從噪聲背景中分離出有用信號(hào)。 滯后時(shí)間確定滯后時(shí)間確定 信號(hào)源定位信號(hào)源定位 測(cè)速測(cè)速 測(cè)距離測(cè)距離 教材中例

15、題的講解教材中例題的講解 （四）功率譜密度分析（四）功率譜密度分析 功率譜分析是從頻域研究平穩(wěn)隨機(jī)過程的重要方法。 1、自功率譜密度函數(shù)、自功率譜密度函數(shù) 平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的相關(guān)函數(shù)和功率譜是傅立葉變換的關(guān)系， 定義自功率譜密度函數(shù)為： dfefSR deRfS fj xx fj xx 2 2 )()( )()( 它為雙邊譜，也有單邊譜密度函數(shù)，定義域?yàn)?，有： )(2)(fSfG xx ), 0 此即著名的此即著名的維納維納辛欽公式辛欽公式 2、功率譜的物理意義、功率譜的物理意義 時(shí)，有：0 2 0 2 )( 1 lim)0( xx T T x dffSdttx T R 可見，自功率譜密度函數(shù)曲

16、線與頻率軸包圍的面積就等于可見，自功率譜密度函數(shù)曲線與頻率軸包圍的面積就等于 信號(hào)的平均功率，則自功率譜密度函數(shù)就是單位頻帶寬度內(nèi)的信號(hào)的平均功率，則自功率譜密度函數(shù)就是單位頻帶寬度內(nèi)的 信號(hào)功率，描述了信號(hào)功率隨頻率的分布規(guī)律，具有功率密度信號(hào)功率，描述了信號(hào)功率隨頻率的分布規(guī)律，具有功率密度 的含義。的含義。 3、自功率譜密度函數(shù)與幅頻譜之間的關(guān)系、自功率譜密度函數(shù)與幅頻譜之間的關(guān)系 由頻率卷積定理推導(dǎo)得帕什瓦爾能量積分等式： dffXdttx 2 2 )()( 在整個(gè)時(shí)間軸上的信號(hào)平均功率為： dffX T dttx T P T T T av 2 0 2 )( 1 lim)( 1 lim

17、 2 0 2 )( 1 lim)0( xx T T x dffSdttx T R 2 )( 1 limfX T fS T x ）（比較得知： 2 )( 1 fX T fSx）（估計(jì)值為： 性質(zhì)： （1）自功率譜密度函數(shù)為實(shí)偶函數(shù)。 （2）自功率譜密度函數(shù)不僅可由相關(guān)函數(shù)的傅立葉變換得到， 也能由信號(hào)幅值頻譜得到，但失去了原信號(hào)的相位信息。 （3）信號(hào)的自功率譜密度函數(shù)和幅值頻譜函數(shù)均反映了原信 號(hào)的頻譜結(jié)構(gòu)，但前者反映的是幅頻譜的平方，使原信號(hào)的頻 譜結(jié)構(gòu)特征更為明顯。 周期圖法建立在FFT的基礎(chǔ)上，它為一種經(jīng)典譜估計(jì)法， 還需要對(duì)它進(jìn)行平滑處理，如分段平均。 4、互功率譜密度函數(shù)、互功率譜密

18、度函數(shù) （1）互功率譜密度函數(shù)與互相關(guān)函數(shù)間關(guān)系為傅立葉變換。 dfefSR deRfS fj xyxy fj xyxy 2 2 )()( )()( 互功率譜密度函數(shù)不象自功率譜那樣有明顯物理意義，但可 在頻域內(nèi)描述兩個(gè)隨機(jī)信號(hào)的相關(guān)性。 實(shí)際計(jì)算中的互譜估計(jì)式為： )()( 1 fYfX T fSxy ）（ （2）相干函數(shù) 常用相干函數(shù)來描述輸入信號(hào)和輸出信號(hào)之間的因果性，即輸 出信號(hào)的功率譜中有多少是輸入量所引起的響應(yīng)。 相干函數(shù)定義為： )()( )( )( 2 2 fSfS fS f yx xy xy 1)(0 2 f xy 在。時(shí)，有三種可能情況存界于 且線性系統(tǒng)不受干擾。 出信號(hào)間完全相干，時(shí)，表示輸入信號(hào)和輸 出信號(hào)間不相干；時(shí)，表示輸入信號(hào)和輸 10)( 1)( 0)( 2 2 2 f f f xy xy xy （3）功率譜的應(yīng)用 用互譜可求線