概率論第一章復(fù)習(xí)習(xí)題課

1、第一章：習(xí)題課第一章：習(xí)題課 1 1 闡述了隨機(jī)試驗(yàn)的特征以及隨機(jī)事件之間的關(guān)闡述了隨機(jī)試驗(yàn)的特征以及隨機(jī)事件之間的關(guān) 系及運(yùn)算。系及運(yùn)算。 2 2 給出了隨機(jī)事件的頻率及概率的含義和基本性給出了隨機(jī)事件的頻率及概率的含義和基本性 質(zhì)。質(zhì)。 3 3 給出了古典概率的定義及其計(jì)算公式。給出了古典概率的定義及其計(jì)算公式。 4 4 給出了條件概率的定義及乘法公式、全概率給出了條件概率的定義及乘法公式、全概率 公式和貝葉斯公式。公式和貝葉斯公式。 5 5 給出了隨機(jī)事件獨(dú)立性的概念，會(huì)利用事件給出了隨機(jī)事件獨(dú)立性的概念，會(huì)利用事件 獨(dú)立性進(jìn)行概率計(jì)算。獨(dú)立性進(jìn)行概率計(jì)算。 第一章 小 結(jié) 返回主目錄

2、1 1 闡述了隨機(jī)試驗(yàn)的特征以及隨機(jī)事件之間的關(guān)闡述了隨機(jī)試驗(yàn)的特征以及隨機(jī)事件之間的關(guān) 系及運(yùn)算。要求：理解系及運(yùn)算。要求：理解 第一章 習(xí)題課 返回主目錄 10 包含關(guān)系包含關(guān)系 20 和事件和事件 30 積事件積事件 40 差事件差事件 50 互不相容互不相容 60 對(duì)立（互逆）事件對(duì)立（互逆）事件 BA BA ABBA BA BA SBABA 且且 返回主目錄 “A發(fā)生必然導(dǎo)致發(fā)生必然導(dǎo)致B發(fā)生發(fā)生” “A，B中至少有一中至少有一發(fā)生發(fā)生” “A與與B同時(shí)發(fā)生同時(shí)發(fā)生” “A發(fā)生但發(fā)生但B不發(fā)生不發(fā)生 ” “A與與B不能不能同時(shí)發(fā)生同時(shí)發(fā)生” ABBA 或或記記 事件間的關(guān)系與運(yùn)算舉例

3、；事件間的關(guān)系與運(yùn)算舉例； 返回主目錄 “A，B，C中至少有一中至少有一發(fā)生發(fā)生” ：CBA “A，B，C中至少有兩中至少有兩發(fā)生發(fā)生” ： ACBCAB “A，B，C中最多有一中最多有一發(fā)生發(fā)生” ： CBACBACBACBA ACBCAB BABABABA , De Morgan De Morgan定律定律: : 隨機(jī)事件的運(yùn)算規(guī)律隨機(jī)事件的運(yùn)算規(guī)律 第一章 習(xí)題課 2 2 給出了隨機(jī)事件的頻率及概率的含義和基本性給出了隨機(jī)事件的頻率及概率的含義和基本性 質(zhì)。要求熟練掌握概率的基本性質(zhì)：質(zhì)。要求熟練掌握概率的基本性質(zhì)： 返回主目錄 ;)(01 0 AP （非負(fù)性）（非負(fù)性） ;1)(2 0

4、 SP （正則性或正規(guī)性）（正則性或正規(guī)性） 則則是是兩兩兩兩互互不不相相容容事事件件若若,3 2 0 1 AA .)()()( 2121 A P A P AA P （可列可加性）（可列可加性） （1） 概率的（公理化）定義概率的（公理化）定義 第一章 習(xí)題課 返回主目錄 則則是是兩兩兩兩互互不不相相容容事事件件若若性性質(zhì)質(zhì),2 21 AAAn )()()( )( 21 21 A P A P A P AAA P n n （有限可加性）（有限可加性） )()( )()()(3 APBP APBPABPBA 性性質(zhì)質(zhì)（包含可減性）（包含可減性） （非降性）（非降性） ;1)(4 AP性質(zhì)性質(zhì) ;)

5、(1)(5APAP 性質(zhì)性質(zhì) （逆事件的概率公式） 。性性質(zhì)質(zhì))()()()(6ABPBPAPBAP （2） 概率的性質(zhì)與推廣概率的性質(zhì)與推廣 ;0)(1 P性質(zhì)性質(zhì) （加法公式） 第一章 習(xí)題課 返回主目錄 )( )()()( )()()()() 1 ABCP BCPACPABP CPBPAPCBAP （加法公式） )()()()()2ABPBPABPABP 重重 要要 推推 廣廣 常用公式常用公式 )(1)()(CBAPCBAPCBAP 第一章 習(xí)題課 特點(diǎn)是：特點(diǎn)是： 樣本空間的元素只有有限個(gè)；樣本空間的元素只有有限個(gè)； (有限性有限性) 每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同。（等可能性）每個(gè)基

6、本事件發(fā)生的可能性相同。（等可能性） 3 等可能概型（古典概型）等可能概型（古典概型） 等可能概型 返回主目錄 .)( 中中基基本本事事件件總總數(shù)數(shù) 包包含含的的基基本本事事件件數(shù)數(shù) 即即： S A AP 隨機(jī)事件的概率隨機(jī)事件的概率: 第一章 習(xí)題課 二、縮小樣本空間法二、縮小樣本空間法-適用于古典概型適用于古典概型 返回主目錄 一、公式法一、公式法 )0)( AP )( )( )( AP ABP ABP 設(shè)事件A所含樣本點(diǎn)數(shù)為樣本點(diǎn)數(shù)為 ,事件AB所含樣本樣本 點(diǎn)數(shù)為點(diǎn)數(shù)為 ,則則 A AB n n ABP )( A n AB n 4 4 給出了條件概率的定義及乘法公式、全概率給出了條件概

7、率的定義及乘法公式、全概率 公式和貝葉斯公式。要求掌握：公式和貝葉斯公式。要求掌握： （1）條件概率的定義、計(jì)算公式：）條件概率的定義、計(jì)算公式： 第一章 習(xí)題課 返回主目錄 （2） 乘法公式乘法公式 ABPAPABP 0 1 121 21312121 0 2 nn n AAAAP AAAPAAPAPAAAP )0( 121 n AAAP )0)( AP （3 3）全概率公式）全概率公式 11n nn n n BAPBPABPAP （已知原因，求結(jié)果）（已知原因，求結(jié)果） 第一章 習(xí)題課 返回主目錄 , 2 , 1, 1 )()|( )()|( )( )( )|( n j j BP j BAP

8、 n BP n BAP AP n ABP A n BP （4 4）BayesBayes（逆概）公式：（逆概）公式： （已知結(jié)果，求原因）已知結(jié)果，求原因） 第一章 習(xí)題課 （1） 兩事件獨(dú)立的定義兩事件獨(dú)立的定義 若隨機(jī)事件若隨機(jī)事件 A 與與 B 相互獨(dú)立，則相互獨(dú)立，則 BPAPABP （2）兩事件獨(dú)立性的性質(zhì)：）兩事件獨(dú)立性的性質(zhì)： 事件事件A 與與 B 相互獨(dú)立的充分必要條件為：相互獨(dú)立的充分必要條件為： , )0( AP BPABP 返回主目錄 5 5 給出了隨機(jī)事件獨(dú)立性的概念，會(huì)利用事件給出了隨機(jī)事件獨(dú)立性的概念，會(huì)利用事件 獨(dú)立性進(jìn)行概率計(jì)算。獨(dú)立性進(jìn)行概率計(jì)算。 0 1 BA

9、BABA與與、與與、與與 也相互獨(dú)立也相互獨(dú)立. 0 2 第一章 習(xí)題課 返回主目錄 注意注意1：兩事件：兩事件相互獨(dú)立與互不相容的區(qū)別：相互獨(dú)立與互不相容的區(qū)別： “A與與B互不相容互不相容”，指兩事件不能同時(shí)發(fā)生，指兩事件不能同時(shí)發(fā)生， 即即 P（AB）=0。 “A與與B相互獨(dú)立相互獨(dú)立”，指，指A是否發(fā)生不影響是否發(fā)生不影響B(tài) 發(fā)生的概率，即發(fā)生的概率，即P（AB）=P（A）P（B）或）或 )0)()()( APBPABP 必然事件必然事件S與任意隨機(jī)事件與任意隨機(jī)事件A相互獨(dú)立；相互獨(dú)立； 不可能事件不可能事件與任意隨機(jī)事件與任意隨機(jī)事件A相互獨(dú)立相互獨(dú)立 0 3 第一章 習(xí)題課 注意

10、注意2 2：設(shè)事件設(shè)事件 A 與與 B 滿足：滿足： 0 BPAP 即：若事件即：若事件 A 與與 B 相互獨(dú)立，則相互獨(dú)立，則 AB； 若若 AB =，則則事件事件 A 與與 B 不相互獨(dú)立。不相互獨(dú)立。 返回主目錄 則互不相容與相互獨(dú)立不能同時(shí)成立則互不相容與相互獨(dú)立不能同時(shí)成立。 （3）三個(gè)事件的獨(dú)立性）三個(gè)事件的獨(dú)立性 CPBPAPABCP CPAPACP CPBPBCP BPAPABP 第一章 習(xí)題課 2 、三個(gè)事件的獨(dú)立性、三個(gè)事件的獨(dú)立性 設(shè)設(shè)A、B、C是三個(gè)隨機(jī)事件，如果是三個(gè)隨機(jī)事件，如果 CPBPAPABCP CPAPACP CPBPBCP BPAPABP 則稱則稱A、B、

11、C是相互獨(dú)立的隨機(jī)事件是相互獨(dú)立的隨機(jī)事件 第一章 習(xí)題課 注意注意3 3： 在三個(gè)事件獨(dú)立性的定義中，四個(gè)等式是缺一不在三個(gè)事件獨(dú)立性的定義中，四個(gè)等式是缺一不 可的即：前三個(gè)等式的成立不能推出第四等可的即：前三個(gè)等式的成立不能推出第四等 式的成立；反之，最后一個(gè)等式的成立也推不出式的成立；反之，最后一個(gè)等式的成立也推不出 前三個(gè)等式的成立前三個(gè)等式的成立 注意注意54 三個(gè)事件相互獨(dú)立的性質(zhì)：三個(gè)事件相互獨(dú)立的性質(zhì)： 若若A，B，C是相互獨(dú)立的三個(gè)事件，則是相互獨(dú)立的三個(gè)事件，則 相互獨(dú)立相互獨(dú)立與與 與與與與與與與與 , , CBACBACBABCA CBACBABCACBA 第一章 習(xí)

12、題課 （4 4）n n個(gè)事件的相互獨(dú)立性個(gè)事件的相互獨(dú)立性 等式成立：等式成立：個(gè)隨機(jī)事件，如果下列個(gè)隨機(jī)事件，如果下列為為，設(shè)設(shè)nAAA n 21 nn miiiiii kjikji jiji APAPAPAAAP niiiAPAPAPAAAP nkjiAPAPAPAAAP njiAPAPAAP nm 2121 21 1)( 1 1 2121 個(gè)個(gè)隨隨機(jī)機(jī)事事件件相相互互獨(dú)獨(dú)立立這這，則則稱稱n n AAA 21 第一章 習(xí)題課 n重Bernoulli 試驗(yàn)中恰好成功k次的概率 而對(duì)于每一種指定好的方法，由前面的討論可知樣本 點(diǎn) 因此，的概率都為 knk qp pqqpCBP knkk nk

13、n 1 ， nk，210 5 n重貝努里概型 n , 21 ，取個(gè)，其余取個(gè)在此樣本點(diǎn)中，有AknAk ii 例例1 已知已知 A、B、C 是三個(gè)是三個(gè)兩兩獨(dú)立的兩兩獨(dú)立的事件，且事件，且 則則, )()()(CPBPAP , 16 9 )( CBAP , ABC 解解 )()()( )()()()( ABCPBCPAC ABPCPBPAP 2 )( 3)(3APAP ?)( AP )( 16 9 CBAP 第一章 習(xí)題課 例例2 , 16 9 )()( CBAPAP . 4 1 )( AP ,2 . 0)( ABP 又又 ,1)()( BAPBAP 故故 , 4 1 )( 4 3 )( AP

14、orAP解之得解之得 已知已知 A、B是是兩兩事件，且事件，且 ,4 . 0)( AP 則則?)( BAP 第一章 習(xí)題課 ,1)()( BAPBAP解解 , )( )( )( )( BP BAP BP ABP )()()(1)(BAPBPBPABP 知知 故故 )()()(BPAPABP 由由 , )()(1)(BAPBAPBAP 從而從而 （A、B獨(dú)立）獨(dú)立） , 5 . 0 )( )( )( AP ABP BP )()()()(ABPBPAPBAP 7 . 0 第一章 習(xí)題課 )(BAP )()()(ABPBPAP . cba 則則 )()()(ABPAPBAP )(ABP )()()(

15、BAPBPAP . bccbaa 例例3 已知已知,)(,)(,)(cBAPbBPaAP ?)( BAP 解解 第一章 習(xí)題課 則則 , 9 1 )( BAP 例例4 已知已知 ?)( AP. )()(BAPBAP A、B獨(dú)立，獨(dú)立， ) 3 2 (答：答： 第一章 習(xí)題課 例例 5 5 在 12000 的整數(shù)中隨機(jī)的取一個(gè)數(shù)，問取 到的整數(shù)既不能被 6 整除，又不能被 8 整除的概 率是多少？ 解：解：設(shè) A 為事件“取到的整數(shù)能被 6 整除”， B 為 “取到的整數(shù)能被 8 整除”，則所求的概率為： ,334 6 2000 333由于 ).()()()( ),(1)()( ABPBPAPB

16、AP BAPBAPBAP 其中 為：6，12，181998 共 333 個(gè)， 所以能被 6 整除的整數(shù) 第一章 概率論的基本概念等可能概型 AB 為“既被 6 整除又被 8 整除”或“能被 24 整除” . 2000 83 )(, 2000 250 )(:ABPBP同理得 . 4 3 2000 500 1 2000 83250333 1 )()()(1 ABPBPAPp 于是所求的概率為： 其中 B =8, 16, 2000 , AB = 24, 48 1992 ， ,)( 2000 333 AP 第一章 概率論的基本概念等可能概型 例 5 袋中有10個(gè)黑球，5個(gè)白球現(xiàn)擲一枚均勻的骰子，擲 出

17、幾點(diǎn)就從袋中取出幾個(gè)球若已知取出的球全是白 球，求擲出3點(diǎn)的概率 解： 設(shè)：B= 取出的球全是白球 621，點(diǎn)擲出iiAi 則由Bayes公式，得 6 1 33 3 i ii ABPAP ABPAP BAP 第一章 概率論的基本概念 3條件 概率 例5（續(xù)） 0 6 1 6 1 6 1 5 1 15 5 3 15 3 5 i i i C C C C 04835. 0 第一章 概率論的基本概念 3條件 概率 有兩箱同種類的零件。第一箱裝有兩箱同種類的零件。第一箱裝50只，其中只，其中 10只一等品；只一等品；第二箱裝第二箱裝30只，其中只，其中18只一等品。只一等品。 今從今從兩箱中任挑出一箱，

18、然后從該箱中取零件兩箱中任挑出一箱，然后從該箱中取零件 兩次，每次任取一只，作不放回抽樣。求：兩次，每次任取一只，作不放回抽樣。求： （1）第一次取到的零件是一等品的概率；）第一次取到的零件是一等品的概率； （2）第一次取到的零件是一等品的條件下）第一次取到的零件是一等品的條件下 ， 第二次取到的也是一等品的概率；第二次取到的也是一等品的概率； （3）已知第一次取到的零件是一等品，）已知第一次取到的零件是一等品，求它求它 是第一箱是第一箱的的零件的零件的概率；概率； 例3 ?)( 1 AP ?)( 12 AAP 全概率公式和貝葉斯公式全概率公式和貝葉斯公式 ?)( 11 ABP 第一章 習(xí)題課

19、 解解 ： 設(shè)設(shè) Ai 表示表示“第第i次取到一等品次取到一等品”(i=1,2)， Bi ( i= 1,2)表示表示“取到的是第取到的是第 i箱箱中的產(chǎn)品中的產(chǎn)品”, 全概率公式和貝葉斯公式全概率公式和貝葉斯公式 例3（續(xù)） 1）由全概率公式，有）由全概率公式，有 ,)()()()()( 2121111 BAPBPBAPBPAP 50 10 ( 2 1 ) 30 18 ; 5 2 第一章 習(xí)題課 )( )( )|( 1 21 12 AP AAP AAP 例3（續(xù)） )()()()()( 2221112121 BPBAAPBPBAAPAAP 2 50 2 10 ( 2 1 P P ) 2 30

20、2 18 P P ) 29 51 49 9 ( 10 1 4856. 0) 29 51 49 9 ( 4 1 )( )()( )|( 1 111 11 AP BPBAP ABP 4 1 4 . 0 1 . 0 2）由全概率公式和條件概率公式，有）由全概率公式和條件概率公式，有 3）由）由貝葉斯公式貝葉斯公式，有，有 第一章 習(xí)題課 例 4 三門火炮向同一目標(biāo)射擊，設(shè)三門火炮擊中目標(biāo)三門火炮向同一目標(biāo)射擊，設(shè)三門火炮擊中目標(biāo) 的概率分別為的概率分別為0.3，0.6，0.8若有一門火炮擊中若有一門火炮擊中 目標(biāo)，目標(biāo)被摧毀的概率為目標(biāo)，目標(biāo)被摧毀的概率為0.2；若兩門火炮擊中；若兩門火炮擊中 目標(biāo)

21、，目標(biāo)被摧毀的概率為目標(biāo)，目標(biāo)被摧毀的概率為0.6；若三門火炮擊中；若三門火炮擊中 目標(biāo)，目標(biāo)被摧毀的概率為目標(biāo)，目標(biāo)被摧毀的概率為0.9試求目標(biāo)被摧毀試求目標(biāo)被摧毀 的概率的概率 解：設(shè)：解：設(shè)：B = 目標(biāo)被摧毀目標(biāo)被摧毀 321，門火炮擊中目標(biāo)門火炮擊中目標(biāo)有有 iiAi 321，門門火火炮炮擊擊中中目目標(biāo)標(biāo)第第 iiCi 第一章 概率論的基本概念 1-6 獨(dú)立性 由全概率公式，得由全概率公式，得 n i ii ABPAPBP 1 而而 3213213211 CCCPCCCPCCCPAP 321321321 CPCPCPCPCPCPCPCPCP 8 . 04 . 07 . 02 . 06

22、 . 07 . 02 . 04 . 03 . 0 332. 0 第一章 概率論的基本概念 1-6 獨(dú)立性 3213213212 CCCPCCCPCCCPAP 321321321 CPCPCPCPCPCPCPCPCP 8 . 06 . 07 . 08 . 04 . 03 . 02 . 06 . 03 . 0 468. 0 3213 CCCPAP 321 CPCPCP 8 . 06 . 03 . 0 144. 0 所以所以 9 . 0144. 06 . 0468. 02 . 0332. 0 BP 4768. 0 第一章 概率論的基本概念 1-6 獨(dú)立性 例例5（ （配對(duì)問題配對(duì)問題） 某人寫了某人

23、寫了n封不同的信，欲寄往封不同的信，欲寄往n個(gè)不同的地個(gè)不同的地 址。現(xiàn)將這址?，F(xiàn)將這n封信隨機(jī)的插入封信隨機(jī)的插入n只具有不同通信地只具有不同通信地 址的信封里，求至少有一封信插對(duì)信封的概率。址的信封里，求至少有一封信插對(duì)信封的概率。 -加法公式的應(yīng)用問題加法公式的應(yīng)用問題 解解設(shè)：設(shè)： =“第第 封信插對(duì)信封封信插對(duì)信封” i ), 2 , 1(ni B=“至少有一封信插對(duì)信封至少有一封信插對(duì)信封” 則則 n AAAB 21 n n nkji kji nji ji n i i n AAAPAAAP AAPAP AAAPBP 21 1 1 11 21 1 )()( 第一章 習(xí)題課 i A 例

24、例5(續(xù)）續(xù)） )( i AP !n )( ji AAP )!1( n ), 2 , 1(ni n 1 !n )!2( n 1)( 1 n i i AP )1(nji ! 2 1 ! )!2( )!2( ! 2 ! ! )!2( )( 2 1 n n n n n n CAAP n nji ji ! )!( )( 21 n kn AAAP k iii )1( 1 nii k 第一章 習(xí)題課 例例5(續(xù)）續(xù)） ! 1 )1( ! 4 1 ! 3 1 ! 2 1 1)( 1 n BP n ! 1 ! )!( )( 21 21 1 kn kn CAAAP k n niii iii k k ), 2 ,

25、 1(nk 第一章 習(xí)題課 例例6（可列可加性的應(yīng)用問題）（可列可加性的應(yīng)用問題） 設(shè)有甲、乙兩名射手輪流獨(dú)立地向同一目標(biāo)射設(shè)有甲、乙兩名射手輪流獨(dú)立地向同一目標(biāo)射 擊，甲的命中率為擊，甲的命中率為 ，乙的命中率為，乙的命中率為 ，甲先，甲先 射，誰先命中誰得勝。試分別求甲獲勝的概率和乙射，誰先命中誰得勝。試分別求甲獲勝的概率和乙 獲勝的概率。獲勝的概率。 1 p 2 p 第一章 習(xí)題課 設(shè)設(shè) =“輪流射擊輪流射擊,第第 次次射中，前射中，前 次未中次未中” i Bi1 i 則則 表示表示“甲在甲在第第 次次才才射中射中”), 2 , 1( 12 kB k 12 k 解：解： 且且兩兩互不相容

26、。兩兩互不相容。 , 531 BBB 設(shè)設(shè) =“甲獲勝甲獲勝”，則，則B 531 BBBB 設(shè)設(shè) =“第第 次次射中射中”，則，則 i Ai, 321 AAA 且且 1222112 kkk AAAAB 相互獨(dú)立，相互獨(dú)立， 例例6（續(xù)）（續(xù)） 第一章 習(xí)題課 )()()()()( 1222112 kkk APAPAPAPBP 121 )1()1(ppp kk )()( 12 0 k k BPBP 121 0 )1()1(ppp kk k )1)(1(1 21 1 pp p 例例 7 設(shè)在N件產(chǎn)品中有M件次品，每次從中任意取出一 件，有放回地取n次試求取出的n件產(chǎn)品中恰有k 件次品的概率 解：

27、B= 取出的n件產(chǎn)品中恰有k件次品 每取一次只有兩種結(jié)果： ，取出次品A 因此每取一次產(chǎn)品可看作是一次Bernoulli試驗(yàn) ，取出正品A n重貝努里概型 例 7（續(xù)） 并且， ， N M AP N M AP1 因此，有放回地取 n 件產(chǎn)品可看作是一個(gè) n 重 Bernoulli試驗(yàn)由前面的討論，可知 knk k n N M N M CBP 1 n重貝努里概型 例 8 某病的自然痊愈率為 0.25，某醫(yī)生為檢驗(yàn)?zāi)撤N新藥 是否有效，他事先制定了一個(gè)決策規(guī)則：把這藥給 10 個(gè)病人服用，如果這 10 病人中至少有4 個(gè)人痊 愈，則認(rèn)為新藥有效；反之，則認(rèn)為新藥無效求： 新藥有效，并且把痊愈率提高到 0.35，但通過試驗(yàn) 卻被否定的概率 新藥完全無效，但通過試驗(yàn)卻被判為有效的概率 n重貝努里概型 例 8（續(xù)） 給10個(gè)病人服藥可看作是一10重Bernoulli試驗(yàn) 某病人痊愈令： A 35. 0AP 若新藥有效，則 此時(shí)若否定新藥，只有在試驗(yàn)中不到4人痊愈因此 3 0 10 10 65. 035. 0 i iii CP 否定新藥 5138. 0 n重貝努里概型 解： 例 8（續(xù)） 由