相似專題三：一線三等角相似模型精編版

1、 A A型型 8 8型型 K K型型 基本 圖形 基本圖形回顧基本圖形回顧 一線三等角是一個(gè)常見(jiàn)的相似模型，指的是有三 個(gè)等角的頂點(diǎn)在同一條直線上構(gòu)成的相似圖形， 這個(gè)角可以是直角，也可以是銳角或鈍。不同 地區(qū)對(duì)此有不同的稱呼，義烏通常稱為“K形圖 ”，哈爾濱通常稱為“M形圖”，以下統(tǒng)稱為“ 一線三等角”。 追根溯源追根溯源 從特殊到一般從特殊到一般 1180 2180 123 ABC AACB DCEACB ADCE 證明： 在中 又 ABCCDE K字型的一般形式 你能證明嗎？ K K型型 三角形基架三角形基架 矩形基架矩形基架 梯形基架梯形基架 K K字型的常見(jiàn)形態(tài)字型的常見(jiàn)形態(tài) 1 1

2、、如圖，等邊、如圖，等邊ABCABC的邊長(zhǎng)為的邊長(zhǎng)為3 3 ，點(diǎn)，點(diǎn)D D是是BCBC上一點(diǎn)，上一點(diǎn)，且且BD=1BD=1， 在在ACAC上取上取點(diǎn)點(diǎn)E E，使，使ADE=60ADE=60度度 ，AEAE長(zhǎng)為（長(zhǎng)為（ ） B. B. C. D.C. D. 3 2 2 3 7 3 3 4 c 小試身手小試身手 小試身手小試身手 2.2.在矩形在矩形ABCDABCD中中,AB=4,AB=4，BC=5BC=5，AFAF 平分平分DAE,EFDAE,EFAEAE， 則則CFCF= = 。 3/2 3、如圖，梯形如圖，梯形ABCDABCD中，中，ADBCADBC ，AB=DC=AD=6AB=DC=AD=

3、6，ABC=70ABC=70， 點(diǎn)點(diǎn)E E，F(xiàn) F分別在線段分別在線段ADAD，DCDC上，上， 且且BEF=110BEF=110，若，若AE=3AE=3， DFDF長(zhǎng)為長(zhǎng)為_(kāi)1.5 小試身手小試身手 4 4如圖，在矩形如圖，在矩形ABCDABCD中，中，ABAB7 7，BCBC3 3，E E在在 ADAD上，且上，且AEAE2 2，在邊，在邊ABAB上是否存在點(diǎn)上是否存在點(diǎn)P P，使，使 得以得以P P，A A，E E為頂點(diǎn)的三角形與以為頂點(diǎn)的三角形與以P P，B B，C C為為 頂點(diǎn)的三角形相似？若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由頂點(diǎn)的三角形相似？若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 ；若存在，這樣的點(diǎn)有幾個(gè)？并計(jì)算出

4、；若存在，這樣的點(diǎn)有幾個(gè)？并計(jì)算出APAP的的 長(zhǎng)長(zhǎng). . 小試身手小試身手 如圖，正方形如圖，正方形ABCDABCD邊長(zhǎng)為邊長(zhǎng)為8 8，M M、N N分別是分別是BCBC、CDCD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)， 當(dāng)當(dāng)M M點(diǎn)在點(diǎn)在BCBC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，保持上運(yùn)動(dòng)時(shí)，保持AMAM和和MNMN垂直垂直 （1 1）證明：）證明：RtRtABMRtABMRtMCNMCN； （2 2）設(shè)）設(shè)BM=xBM=x，梯形，梯形ABCNABCN的面積為的面積為y y，求，求y y與與x x之間的函數(shù)關(guān)系式；之間的函數(shù)關(guān)系式； 當(dāng)當(dāng)M M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形ABCNABCN的面積最大，并

5、求出最大的面積最大，并求出最大 面積；面積； （3 3）當(dāng)）當(dāng)M M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，RtRtABMRtABMRtAMNAMN？求此時(shí)？求此時(shí)x x的的 值值 思考練習(xí)思考練習(xí)1 1 （1）若AB=9，CD=4，BD=10，請(qǐng)問(wèn)在BD上是否存在P點(diǎn)，使以P、A、B三點(diǎn)為 頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似？若存在，求BP的長(zhǎng)；若不存 在，請(qǐng)說(shuō)明理由； （2）若AB=9，CD=4，BD=12，請(qǐng)問(wèn)在BD上存在多少個(gè)P點(diǎn)，使以P、A、B三點(diǎn) 為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似？并求BP的長(zhǎng)； （3）若AB=9，CD=4，BD=15，請(qǐng)問(wèn)在BD上存在多少個(gè)P點(diǎn)，使以P、A、B三點(diǎn) 為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似？并求BP的長(zhǎng)； （4）若AB=m，CD=n，BD=l，請(qǐng)問(wèn)m，n，l滿足什么關(guān)系時(shí)，存在以P、A、B三 點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似的一個(gè)P點(diǎn)？?jī)蓚€(gè)P點(diǎn)？三 個(gè)P點(diǎn)？ 如圖，已知ABBD，CDBD 思考練習(xí)思考練習(xí)2 2 如圖，等腰梯形如圖，等腰梯形ABCDABCD中，中，ADBCADBC，ADAD3 3，BCBC7 7，B B 6060，P P為為BCBC邊上一點(diǎn)（不與邊上一點(diǎn)（不與B B，C C重合），過(guò)點(diǎn)重合），過(guò)點(diǎn)P P作作APEAPE B B，PEPE交