平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義25705PPT學習教案

1、會計學1 平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義 25705 )1800( 兩個非零向量 和 ，作 ，a b ,OAa OBb 180 與 反向a b OAB a b O A a 0 與 同向a b OA B a b a B b b AOBa b 則 叫做向量 和 的 夾角 記作ab 90 與 垂直，a b O A B a b 注意:在兩向量的夾角 定義中,兩向量必須是 同起點的 溫故知新：兩個向量的夾角 第1頁/共24頁 如圖,等邊三角形ABC中,求： （1）AB與AC的夾角； （2）AB與BC的夾角_ A B C 通過平移 變成共起點！ 120 60 C D 0

2、120 60 120 第2頁/共24頁 問: 一個物體在力F 的作用下產生的位移s，那 么力F 所做的功應當怎樣計算？ 力做的功：W = |F|s|cos，是F與s的夾角。 位移S O A F 一、向量數(shù)量積的物理背景 第3頁/共24頁 規(guī)定:零向量與任一向量的數(shù)量積為0。 二、向量與的數(shù)量積的概念ab cos cos , ., ab a bab a ba ba b 已知兩個非零向量 與 他們的夾角為 ， 我們把數(shù)量叫做 與 的數(shù)量積 （或內積） 記作即 第4頁/共24頁 數(shù)量積 a b =| a | b |cos baba ，與與實實數(shù)數(shù)表表示示數(shù)數(shù)量量而而不不表表示示向向量量 表表示示向向

3、量量；、不不同同，baba 00a 注意公式變形，知三求一. “ ”不能省略不寫，也不能寫成“” 一種新的運算 第5頁/共24頁 向量的數(shù)量積是一個數(shù)量，那么它 什么時候為正，什么時候為負？ 當0 90時ab為正； 當90 180時ab為負。 當 =90時ab為零。 a b =| a | b |cos 第6頁/共24頁 1.5,4,120.ababa b 例 已知與 的夾角，求 cosa ba b 解： 5 4 cos120 1 5 4 ()10 2 第7頁/共24頁 變式一 0 45 2 2 44 28 | cos 可得 解：由 ba ba 的夾角與求 ， ba baba284|4| 第8頁

4、/共24頁 O A B b a cosbaba 的的數(shù)數(shù)量量即即有有向向線線段段 的的方方向向上上的的投投影影，在在向向量量叫叫做做向向量量 OB ab 1 B cosb 數(shù)量積 a b 等于a 的模| a |與 b 在 a 的方向 上的投影| b |cos 的乘積. 三、投影的概念 第9頁/共24頁 AO A O B | b |cos = b | b |cos 0| b |cos 0 | b |cos b | b |cos 0 OAa B b OAa B b O A a B b B1 B1 B baba | aba ba b 當且僅當 與 同向時： aba ba b 當且僅當 與 反向時：

5、第10頁/共24頁 五、向量數(shù)量積的性質 baba0)1( aaaaaa|特別地 2 或 |)3(baba | |)2( bababa bababa 反向時，與當 ；同向時，與當 是非零向量、設 ba 第11頁/共24頁 六、平面向量的數(shù)量積的運算律： (1) (2)()()() (3)() a bb a aba bab abca cb c 交換律 數(shù)乘結合律 分配律 其中， cba 、是任意三個向量， R 注： )()(cbacba 第12頁/共24頁 ONM 證明運算律(3) a b ab c c a b ab c 向量 、 、 在 上的投影的數(shù)量分 別是OM、MN、 ON, 則 = ON

6、 = (OM + MN) = OM + MN = ()abc c c c a cb c 第13頁/共24頁 例 2：求證： 22 2 (1)()2abaa bb 22 (2)()ababab ） （ 2 1)ababab （ ）證明：（ ()()abaabb a aa bb ab b 22 2aa bb 第14頁/共24頁 例3、 2 ) (3 )2 ) (3 )abababab 求求（。 |6,|4,|6,|4,abababab 已已知知與與 60 ,60 , o o 的夾角為 解:(2 ) (3 )abab 6a aa bb b 22 6aa bb 22 cos6aa bb 22 66 4

7、 cos606 4 72 第15頁/共24頁 6,4,60.abababab 已知與 的夾角為，求和 變式二 2 ()abab 解： 22 2aa b b 22 62 6 4 cos604 762 19 2 7ab 同理可得 第16頁/共24頁 .| 3,| 4,abk akbakb 例4已知當且僅當 為何值時， 向量與互相垂直？ 解：akba kb 與互相垂直的條件是 akbakb （） （）=0 22 2 0.ak b 即 22 22 39,416,ab 2 9 160.k 3 4 k 3 k= 4 akbakb 因此，當時，與互相垂直. 第17頁/共24頁 夾角的范圍 運算律 性 質 數(shù)

8、量積 0 (3) (ab) c = acbc aa=|a|2（簡寫 a2 = |a|2） aaa |或 重點知識回顧: cos|baba (2)()()(bababa (1) a b= b a (交換律 ) (分配律) 0a bab 第18頁/共24頁 問題 課堂小結 第19頁/共24頁 檢測： 是非零向量與1.已知： ba () ( ) ( ) () () 的結果還是一個向量b a ) 1( ) 2 |)2(aaa | ) 3(baba baba0)4( 0)5(baba |/)6(bababa 第20頁/共24頁 2、判斷下列說法的正誤，并說明理由 。是銳角，則中，若在ABC0BCABABC) 1 ( 。是鈍角，則中，若在ABC0BCABABC)2( 。是直角，則中，若在ABC0BCABABC)3( 錯誤 正確 正確 第21頁/共24頁 同向時，48 反向時，-48 0cos048 180cos18048 a ba ba b a ba ba b 解： 和