最新考研數(shù)學(xué)二模擬題及答案資料.doc

1、精品文檔2016 年考研數(shù)學(xué)模擬試題（數(shù)學(xué)二）參考答案一、選擇題（本題共8 小題，每小題4 分，滿分32 分，每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)）1.設(shè) x0 是多項(xiàng)式 P( x) x4ax3bx2cxd 的最小實(shí)根，則（） .（A ） P ( x0 )0 （ B） P ( x0 )0 （C） P ( x0 )0 （ D） P (x0 ) 0解選擇 A.由于 lim P( x)，又 x0 是多項(xiàng)式 P(x) 的最小實(shí)根，故P (x0 )0 .xx02.limf ( x)f (a)f ( x)在點(diǎn) xa （）.1則函數(shù)設(shè)x a3xa（A ）取極大值（ B

2、 ）取極小值（ C）可導(dǎo)（ D）不可導(dǎo)選擇 D. 由極限的保號(hào)性知，存在U (a) ，當(dāng) xU (a) 時(shí)，f ( x)f (a)，當(dāng) x a解30xa時(shí)， f ( x)f (a) ，當(dāng) xa 時(shí)， f ( x)f (a) ，故 f ( x) 在點(diǎn) xa 不取極值 .limf ( x)f (a)f ( x)f (a)1，所以 f ( x) 在點(diǎn) x a 不可導(dǎo) .xalim332x ax axa( x a)3.設(shè) f ( x, y) 連續(xù)，且滿足f ( x,y)f ( x, y) ，則f (x, y) dxdy（） .x2y2111x211y2（A） 20 dx0f ( x, y)dy（B）

3、20 dy1 y2 f ( x, y)dx11x211y 2（C） 20 dx1 x2f ( x, y)dy（D） 20 dy0f ( x, y)dx解選擇 B. 由題設(shè)知11y2f ( x, y)dxdy2f ( x, y)dxdy20dy1y2 f (x, y)dx .x2 y2 1x2 y2 1, y 04.微分方程y2 yx e2x 的特解 y* 形式為（） .(A)y*(axb)e 2x(B)y*ax e2 x(C)y*ax2 e2x(D)y*(ax2bx)e 2 x精品文檔精品文檔解選擇 D. 特征方程 r 22r0 ，特征根 r0, r2 ，2 是特征根，特解y* 形式為y*x(

4、ax b) e2 x .5.設(shè)函數(shù) f ( x) 連續(xù)，則下列函數(shù)中，必為偶函數(shù)的是（）.xx2 (t) dt（A ）f (t 2 )dt（ B）f00xxf ( t ) dt（C）t f (t ) f ( t )dt（ D） t f (t )00選擇 C. 由于 t f (t )xt f (t) f ( t)dt 為偶函數(shù) .解f ( t) 為奇函數(shù)，故06. 設(shè)在全平面上有f ( x, y)x條件是（）（A ） x1x2 ， y1y2 .（C） x1x2 ， y1y2 .f ( x, y)解選擇A.0xf ( x, y)0f (x, y) 關(guān)于y0 ， f ( x, y)0 ，則保證不等式

5、 f ( x1 , y1)f ( x2 , y2 ) 成立的y（B ） x1x2 ， y1y2 .（D ） x1x2 ， y1y2 .f ( x, y) 關(guān)于 x 單調(diào)減少，y 單調(diào)增加，當(dāng) x1x2 ， y1y2 時(shí)， f ( x1 , y1)f ( x2 , y1 )f ( x2 , y2 ) .7.設(shè) A 和 B 為實(shí)對稱矩陣，且A 與 B 相似，則下列結(jié)論中不正確的是（）.(A) AE與 BE相似(B)A與B合同(C)AEBE(D)AEBE解 選擇 D. A 與 B 相似可以推出它們的多項(xiàng)式相似， 它們的特征多項(xiàng)式相等， 故 A ，C 正確，又 A 和 B 為實(shí)對稱矩陣，且 A 與 B

6、 相似，可以推出 A 與 B 合同，故 B 正確 .8.AAm n ， R( A)r ， b 為 m 維列向量，則有（）.(A) 當(dāng) r m 時(shí)，方程組 Ax b 有解(B) 當(dāng) r n 時(shí)，方程組 Ax b 有唯一解(C) 當(dāng) m n 時(shí)，方程組 Ax b 有唯一解(D) 當(dāng) rn 時(shí)，方程組Axb 有無窮多解精品文檔精品文檔解選擇 A.當(dāng) rm 時(shí)， rA,br ( A) ，方程組 Axb 有解 .二、 填空題（本題共6 小題，每小題4 分，滿分24 分，把答案填在題中橫線上）19.lim(1 x) xe.xx 0解 答案為e.211ln(1x)1x)1(1x) xeexeln(1ex1l

7、imxlimxelimxx0x0x 01x)111ln(1ln(1x)xeelimxxelim2elim 1x 0xx0xx02x210 設(shè) f有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，uf (x, xy, xyz) ，則2u.z y解答案為 xf3x2 yf32x2 yzf33 .uxyf3z2uxf3xy ( f 32 xf33xz)xf 32yf322yzf33z yxx11.設(shè)微分方程 yy( x ) 的通解為 yx，則( x).xyln Cx解答案為1.將 yx代入微分方程，得(ln Cx)11.x2ln，故 (x)x2ln Cx2 Cx12.數(shù)列n.n中最大的項(xiàng)為3解答案為3 .【將數(shù)列的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的

8、問題，以便利用導(dǎo)數(shù)解決問題】111設(shè) f (x)xx x xex ln x， f ( x)ex ln x 1 ln x0xe ，x2xe 時(shí)， f (x)0 ， f (x) 單調(diào)增加，故ne 時(shí)， f ( n)n2 最大，n 遞增，xe 時(shí)， f (x)0 ， f (x) 單調(diào)減少，故ne 時(shí)， f ( n)n3n 遞減，3 最大，精品文檔精品文檔366n3又 3982 ，數(shù)列n 的最大項(xiàng)為 3 .xdt0 在區(qū)間 (0,1) 內(nèi)的實(shí)根個(gè)數(shù)為.13.方程 5x 2t80 1dtdt解 答案為 1. 令 f (x)5xx， f (0) 20, f (1)310，2t 80 1t 80 1由零點(diǎn)定

9、理知，此方程在區(qū)間(0,1) 內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根，又f (x)510 ， f ( x) 單x81調(diào)增加，故此方程在區(qū)間(0,1) 內(nèi)有且僅有一個(gè)實(shí)根 .14.設(shè) n階矩陣 A 的秩為 n2， 1,2 ,3 是非齊次線性方程組Axb 的三個(gè)線性無關(guān)的解，則 Axb 的通解為.解 答案為 1 k1 (21 )k2 ( 31 ) ， k1, k2 為任意常數(shù) .1 , 2 , 3 是非齊次線性方程組Axb 的三個(gè)線性無關(guān)的解，則21,3 1 是 Ax 0的兩個(gè)解，且它們線性無關(guān)，又nr ( A)2，故 21,31 是 Ax0 的基礎(chǔ)解系，所以 Ax b 的通解為1k1 (21 )k2 (3 1).三、

10、 解答題（本題共9 小題，滿分94 分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）115.（本題滿分(1x) xesin ln(1x)9 分） 求極限 lim1x sin x1.x 0解(11esin ln(1 x)(11e1 ln(1 x)e1 ln(1x) 1x) xx) xexex1lim1xsin x 12limx2limx2elimxx0x 0x0x01 ln(1x) 1ln(1x)x11elimx2elim 1xe2elim2x 0xx 0xx02x16.（本題滿分 9分 ） 設(shè) f ( x) 單 調(diào) 且 具 有 一 階 連 續(xù) 導(dǎo) 數(shù) ， zf (x( y) 滿 足zz( y )0

11、，求可導(dǎo)函數(shù) ( y) .xy解zf ， zf( y) ，代入方程 ( y) zz0 ，得 ( y)f f( y) 0 ，xyxy精品文檔精品文檔即( y)( y) ，解得( y)C ex ，其中 C 為任意常數(shù) .17. （本題滿分 9 分）12y2223計(jì)算積分dyy2 (xysin y) dx111解畫出二重積分區(qū)域D ， D1 是 D 的第一象限部分，由對稱性，得12y2x2y2sin 3 y)dx( x2y2sin 3 y)dxdydy1y2(11D2(x2y2)dxdy24 d2cosr 2 dr2D1024 (8cos 322) d2022309318. （本題滿分 11 分）求

12、微分方程 ya( y )20(a0) 滿足初始條件 yx 00 ， yx 01的特解 .解令 yp, ydp，代入原方程，得dxdpap 20 ，dpadx ，dpadx ，1ax C1 ，dxp2p2p由 x 0, y 0, yp1，得 C11 ，1ax1 ， p1，即 y1，paxax 11故 y1dx1 ln(ax1)C2 ，ax1a1 ln( ax 1)由 x0, y0得 C20 ，所以 y.a19. （本題滿分 11 分）設(shè) f ( x) 和 g(x) 在區(qū)間 (a, b) 可導(dǎo)，并設(shè)在 (a,b)內(nèi) f (x)g ( x) f ( x)0 ，證明在 (a,b) 內(nèi)至多存在一點(diǎn)，使得

13、 f ( )0 .證 設(shè) (x)f ( x)e g ( x ) ，則( x)e g( x) ( f (x)f (x)g ( x) .若在 (a, b) 內(nèi)存在兩個(gè)不同的點(diǎn)1, 2 ，使得 f ( 1 )f ( 2 )0 ，則由羅爾定理知，至少存在一點(diǎn)介于1, 2 之間，使( )0 ，精品文檔精品文檔即 e g () ( f ( ) f () g ( )0 ，于是有f()f () g ( )0，與題設(shè)矛盾，故在 (a,b) 內(nèi)至多存在一點(diǎn)，使得 f ( )0 .20.（本題滿分11 分）設(shè)有拋物線： yabx2 ，試確定常數(shù)a, b 的值，使得與直線 yx1 相切；與 x 軸所圍圖形繞y 軸旋轉(zhuǎn)

14、所得旋轉(zhuǎn)體的體積最大 .解設(shè)切點(diǎn)為 ( x0 , y0 ) ， y2bx ，切線斜率 k2bx01x01 , y0a1，2b4b1114(1a) .代入切線方程，得 a2b14bb又旋轉(zhuǎn)體體積 Vaaa y dyaay dy2( a2a3 ) ，x2dy000bb2V2(2 a3a2 )0 ，解得 a0或者 a， V2 (26a) ，3V(0)40,V ( 2)40 ，故 a2時(shí)，體積 V 最大，33將 a23，所以 a23代入得 b4， b.33421.（本題滿分11 分）一質(zhì)量為 m 的物體以速度v0 從原點(diǎn)沿 y 軸正方向上升，假設(shè)空氣阻力與物體的運(yùn)動(dòng)速度平方成正比（比例系數(shù) k 0 ）

15、，試求物體上升的高度所滿足的微分方程及初始條件，并求物體上升的最大高度 .解根據(jù)牛頓第二定律，物體上升的高度yy(t ) 所滿足的微分方程為d 2 ydym2mg kdtdt2，初始條件為 y(0)0, y (0)v0 .vdy 代入方程，得 m dvmgkv2 ， dvgkv 2，dtdtdtm記 a2g,b2 k， dva2b2 v2 ，dvdt ，mdta2b2v2積分得 1 arctan bvtC ， t0 時(shí)， vv0，故 C1 arctan bv0 ，abaaba精品文檔精品文檔1arctanbvt1arctan bv0 ，abaaba1bv0令 v 0 ，得上升到最高點(diǎn)的時(shí)間為t

16、1abarctanaarctan bvab(t1t ) ， va tan ab(t1 t )abt1t22ya tan ab(t1 t)dt12 ln cos ab(t1 t)12 ln(1b v20 ) .上升的最大高度為010bb2ba22. （本題滿分 11 分）TT,TTT設(shè)1 1,2,3,1 , 21,1,2, 131,3,a,3 , 43,5,7, 1 ,0,1,1,b .當(dāng) a, b 滿足什么條件時(shí)，可由1,2 ,3, 4 線性表示，且表示式唯一？當(dāng) a,b 滿足什么條件時(shí)，可由1, 2 , 3 , 4 線性表示，且表示式不唯一？并求出的表示式 .解 設(shè) x1 1 x2 2 x3

17、 3x4 4，其增廣矩陣1113011130(1,2,3, 42135101111, )2a710a 4103011 31 b0002 b 2當(dāng) a4 時(shí)， r ( 1,2 ,3 , 4 ,)r ( 1,2 , 3 , 4 )4，方程組有唯一解，即可由1 ,2 ,3 ,4 線性表示，且表示式唯一.11130當(dāng) a 4 時(shí)， ( 1 , 2 , 3, 4 ,01111) 001，000000b2故當(dāng) a4, b2 時(shí)， r ( 1, 2 ,3, 4,)r ( 1,2 ,3 ,4 ) 3 ，方程組有無窮多解，即可由1, 2,3 , 4 線性表示，且表示式不唯一，精品文檔精品文檔10201x112x3(1,2, 3, 401101x21x3, ) 0010，同解方程組為x3，0x300000x40通解為 (1, 1,0,0) Tk ( 2,1,1,0) T，故的表示式為(1 2k) 1( k1