勾股定理與方程完整版

1、 B C A 直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方 a b c 22 abc 2 勾股定理的常見表達式和變形式勾股定理的常見表達式和變形式 在直角三角中，如果已知兩邊的長，在直角三角中，如果已知兩邊的長， 利用勾股定理就可以求第三邊的長；利用勾股定理就可以求第三邊的長； 那么如果已知一條邊長及另兩邊的那么如果已知一條邊長及另兩邊的 數(shù)量關(guān)系，能否求各邊長呢？數(shù)量關(guān)系，能否求各邊長呢？ 感受感受新知新知1 （二）例題（二）例題 【問題問題1】如何在實際問題中，利用勾股定理解決問題呢？如何在實際問題中，利用勾股定理解決問題呢？ 例例1 .有一個水池,

2、水面是一個邊長為l0尺的 正方形.在水池正中央有一根蘆葦.它高出 水面l尺.如果把這根蘆葦拉向水池一邊的 中點,它的頂端恰好到達池邊的水面.水的 深度與這根蘆葦?shù)拈L度分別是多少? 例例1 .有一個水池,水面是一個邊長為l0尺的正方形.在水池正中 央有一根蘆葦.它高出水面l尺.如果把這根蘆葦拉向水池一邊的 中點,它的頂端恰好到達池邊的水面.水的深度與這根蘆葦?shù)拈L 度分別是多少? 設計意圖：設計意圖： 1.能利用勾股定理解決簡單的實際問題；能利用勾股定理解決簡單的實際問題； 2.通過用代數(shù)式、方程等表述數(shù)量關(guān)系的過程，體通過用代數(shù)式、方程等表述數(shù)量關(guān)系的過程，體 會模型的思想，建立符號意識；會模型

3、的思想，建立符號意識； 3.初步學會在具體的情境中從數(shù)學的角度發(fā)現(xiàn)問題和初步學會在具體的情境中從數(shù)學的角度發(fā)現(xiàn)問題和 提出問題，并綜合運用數(shù)學知識和方法等解決簡單的提出問題，并綜合運用數(shù)學知識和方法等解決簡單的 實際問題，增強應用意識，提高實踐能力；實際問題，增強應用意識，提高實踐能力； 4.本題是我國古代數(shù)學著作本題是我國古代數(shù)學著作九章算術(shù)九章算術(shù)中的問題中的問題 ，展現(xiàn)我國古人在勾股定理應用研究方面的成果，展現(xiàn)我國古人在勾股定理應用研究方面的成果. 222 x+ x +5 =x+ x=12 + = 13 解：設水深為x尺，則蘆葦長為（1）尺， 由勾股定理，得 （1） 蘆葦長：12 1 1

4、3 答：水深12尺，蘆葦長為尺. X+1 X 5 C B D A 解決與勾股定理有關(guān)的實際問題時，先解決與勾股定理有關(guān)的實際問題時，先 要抽象出幾何圖形，從中找出直角三角形，再要抽象出幾何圖形，從中找出直角三角形，再 設未知數(shù)，找出各邊的數(shù)量關(guān)系，最后根據(jù)勾設未知數(shù)，找出各邊的數(shù)量關(guān)系，最后根據(jù)勾 股定理求解股定理求解. 222 x+ x +5 =x+ x=12 + = 13 解：設水深為x尺，則蘆葦長為（1）尺， 由勾股定理，得 （1） 蘆葦長：12 1 13 答：水深12尺，蘆葦長為尺. 小結(jié)：小結(jié)： X+1 X 5 C B D A E D BC A AB的中垂線的中垂線DE交交BC于點于

5、點D AD=BD BC=3BD+CDAD+CD= 3 如圖，在如圖，在RtABC中，中，C=90, AC=1， BC=3. AB的中垂線的中垂線DE交交BC于點于點D, 連結(jié)連結(jié)AD， 則則AD的長為的長為. x 3-x 感受新知感受新知2 在直角三角形在直角三角形 中（已知兩邊中（已知兩邊 的數(shù)量關(guān)系）的數(shù)量關(guān)系） 設其中設其中 一邊為一邊為x 利用勾股定理利用勾股定理 列方程列方程 解解 方方 程程 求各邊長求各邊長 如圖，有一張直角三角形紙片，兩直角邊如圖，有一張直角三角形紙片，兩直角邊 AC=6cm，BC=8cm, 現(xiàn)將直角邊沿直線現(xiàn)將直角邊沿直線AD 折疊，使點折疊，使點C落在斜邊落

6、在斜邊AB上的點上的點E，求，求CD 的長的長. C B A D E 6 6 例例 1 解：解：在在RtRtABCABC中中 AC=6cmAC=6cm，BC=8cmBC=8cm AB=10cm AB=10cm 設設CDCDDEDExcmxcm，則，則BDBD（8-x8-x）cmcm 由折疊可知由折疊可知AEAEACAC6cm6cm，CDCDDE,DE, C= C= AED=90AED=90 解得解得x x3 3 CD=DE=3cm CD=DE=3cm BEBE10-610-64cm, 4cm, BED=90BED=90 在在RtRtBDEBDE中中 由勾股定理可得（由勾股定理可得（8-x8-x

7、）2 2 x x2 2+4+42 2 C B A D E 6 6 例例 1 【問題問題2】如果一道題目中有多個直角三角形，我們?nèi)缛绻坏李}目中有多個直角三角形，我們?nèi)?何選擇在哪個直角三角形中利用勾股定理求解呢？何選擇在哪個直角三角形中利用勾股定理求解呢？ 例例2.已知矩形ABCD沿直線BD折疊，使點C落在 同一平面內(nèi)C處，B C與AD交于點E，AD=8， AB=4，求DE的長. E C D A B C 例例2.已知矩形ABCD沿直線BD折疊，使點C落在同一平面內(nèi)C處，B C與 AD交于點E，AD=8，AB=4，求DE的長. 方法一 222 / / 13 23 1= 2 t +-x=x x=5

8、 5. ABCD ADBC BCDBDBC D BCDBC D BEDE DE 解： 四邊形為矩形 沿折疊得到 設DE為x，則BE=x，AE=8-x, 在RABE中，由勾股定理得， 4（8） 答：長為 方法二方法二 490 4=90 90 4= 5 ABCD CDABAC BCDBDBC D BCDBC D C DCDCC AEBC ED AC ABC D AEBC ED BEDE 解： 四邊形為矩形 ， 沿折疊得到 ， 在和中 222 t +-x=x x=5 5.DE 設DE為x，則BE=x，AE=8-x, 在RABE中，由勾股定理得， 4（8 ） 答：長為 例例2.已知矩形ABCD沿直線B

9、D折疊，使點C落在同一 平面內(nèi)C處，B C與AD交于點E，AD=8，AB=4，求 DE的長. E C D A B C 1.如果一道題目中有多個直角三角形，要選擇能夠用如果一道題目中有多個直角三角形，要選擇能夠用 一個未知數(shù)表示出三條邊的直角三角形（邊也可為常一個未知數(shù)表示出三條邊的直角三角形（邊也可為常 數(shù)），在這個三角形中利用勾股定理求解數(shù)），在這個三角形中利用勾股定理求解. 2.解決折疊問題的關(guān)鍵：在動、靜的轉(zhuǎn)化中找出不變量解決折疊問題的關(guān)鍵：在動、靜的轉(zhuǎn)化中找出不變量. 小結(jié)： 例例2.已知矩形ABCD沿直線BD折疊，使點C落在同一 平面內(nèi)C處，B C與AD交于點E，AD=8，AB=4，

10、求 DE的長. E C D A B C注意： 1.基本圖形：基本圖形：“平行、角平分線、等腰三角形平行、角平分線、等腰三角形”知二推一知二推一 2.折疊問題：折疊圖形前后兩個圖形全等，最好折疊問題：折疊圖形前后兩個圖形全等，最好 在圖中標出相等的線段和角在圖中標出相等的線段和角. 練習練習 思考思考1 1、如圖，鐵路上、如圖，鐵路上A，B兩點相距兩點相距25km，C，D為為 兩村莊，兩村莊，DAAB于于A，CBAB于于B，已知，已知 DA=15km，CB=10km，現(xiàn)在要在鐵路，現(xiàn)在要在鐵路AB上上 建一個土特產(chǎn)品收購站建一個土特產(chǎn)品收購站E，使得，使得C，D兩村到兩村到 E站的距離相等，則站

11、的距離相等，則E站應建在離站應建在離A站多少站多少km 處？處？C A E B D 解：解： 設設AE= x km，則，則 BE=（25-x）km 根據(jù)勾股定理，得根據(jù)勾股定理，得 AD2+AE2=DE2 BC2+BE2=CE2 又又 DE=CE AD2+AE2= BC2+BE2 即：即：152+x2=102+（25-x）2 x=10 答：答：E站應建在離站應建在離A站站10km處。處。 x 25-x C A E B D 1510 思考思考1 在一棵樹在一棵樹BD的的5m高高A處有兩只處有兩只 小猴子，其中一只猴子爬到樹頂小猴子，其中一只猴子爬到樹頂D 后跳到離樹后跳到離樹10m的地面的地面C

12、處，另外處，另外 一只猴子爬下樹后恰好也走到地一只猴子爬下樹后恰好也走到地 面面C處，如果兩個猴子經(jīng)過的距離處，如果兩個猴子經(jīng)過的距離 相等，問這棵樹有多高？相等，問這棵樹有多高？ A B C D 5m 10m 思考思考2 A B C D 解：如圖，解：如圖，D為樹頂，為樹頂，AB=5 m,BC=10 m. 設設AD長為長為x m，則樹高為，則樹高為(x+5)m. AD + DC = AB + BC, DC = 10 + 5 x = 15 - x. 在在RtABC中，根據(jù)勾股定理得中，根據(jù)勾股定理得 解得解得x=2.5 答：樹高為答：樹高為7.5米。米。 5m 10m x+5=2.5+5=7.

13、5 10 2+ (5 + x )2= (15 x)2 思考思考2 例例3. 已知：如圖，ABC中，AB=16，AC=14， BC=6，求ABC的面積. 【問題問題3】如果題目中既沒有直角三角形，也沒有如果題目中既沒有直角三角形，也沒有 直角，怎么利用勾股定理求解？直角，怎么利用勾股定理求解？ A B C 設計意圖：設計意圖： 經(jīng)歷對幾何圖形的觀察、分析，初步掌握經(jīng)歷對幾何圖形的觀察、分析，初步掌握 利用分割圖形構(gòu)造直角三角形的方法，了解特利用分割圖形構(gòu)造直角三角形的方法，了解特 殊與一般的轉(zhuǎn)化思想殊與一般的轉(zhuǎn)化思想; 例例3. 已知：如圖，ABC中，AB=16，AC=14，BC=6 ，求ABC

14、的面積. 22222 2222 22 14(16)6 3 633 3 11 16 3 324 3 22 24 3. ABC ADCDBCDB CD SAB CD 解：作CDAB于D，設DB=x， 則AD=16-x，由勾股定理得， AC xx x 答： ABC的面積為 方法一： DA B C 例例3. 已知：如圖，ABC中，AB=16，AC=14，BC=6 ，求ABC的面積. 方法二： 222 222 2222 14(16) = 6= 14(16)6 +=0 =3 解：作CDAB于D， 設DB=x，CD=y，則AD=16-x， 由勾股定理得， xy （1） xy（2） （1） （2），得 xx

15、x 222 2 =3 6= =27 =3 3=3 3 1 2 1 16 3 324 3 2 24 3. ABC SAB CD 把x代入（2）得， 3y y y或y（舍去） 答： ABC的面積為 DA B C 例例3. 已知：如圖，ABC中，AB=16，AC=14，BC=6 ，求ABC的面積. 小結(jié)小結(jié)： 1.題目中既沒有直角三角形，也沒有直角，可題目中既沒有直角三角形，也沒有直角，可 考慮利用作垂線段，分割圖形的方法，構(gòu)造直考慮利用作垂線段，分割圖形的方法，構(gòu)造直 角三角形角三角形; 2. “斜化直斜化直”即：斜三角形化為直角三角形求解即：斜三角形化為直角三角形求解. DA B C 例例3.

16、已知：如圖，ABC中，AB=16，AC=14，BC=6 ，求ABC的面積. 注意： 1.本題可選擇列方程或方程組求解，當列方程本題可選擇列方程或方程組求解，當列方程 組求解時，要注意開平方時，是兩種情況，要組求解時，要注意開平方時，是兩種情況，要 舍去負值；當列方程求解舍去負值；當列方程求解CD時，最好寫時，最好寫“ ”，可以省去后面的討論，可以省去后面的討論; CD 2.本題也可以過本題也可以過A或或B作對邊的高作對邊的高. DA B C 120 3 35 3 ABCABAD BCCDABCD 例4.一塊四邊形的土地，其中， ，求這塊土地的面積. 【問題問題4】如果題目中沒有直角三角形，但存

17、在直角，如果題目中沒有直角三角形，但存在直角， 怎么利用勾股定理求解？怎么利用勾股定理求解？ D C B A 設計意圖：設計意圖： 120 3 3 5 3 ABC ABADBCCDAB CD 例4.一塊四邊形的土地，其中， ， ，求這塊土地的面積. 【問題問題4】如果題目中沒有直角三角形，但存在直角， 怎么利用勾股定理求解？ D C B A 1.經(jīng)歷對幾何圖形的觀察、分析，初步掌握利用經(jīng)歷對幾何圖形的觀察、分析，初步掌握利用“補補” 圖形構(gòu)造直角三角形的方法，了解特殊與一般的轉(zhuǎn)圖形構(gòu)造直角三角形的方法，了解特殊與一般的轉(zhuǎn) 化思想化思想; 2.題目中設置的已知量并不是整數(shù)，意在增強學生題目中設置

18、的已知量并不是整數(shù)，意在增強學生 的計算能力的計算能力. 120 3 3 5 3 ABC ABADBCCDAB CD 例4.一塊四邊形的土地，其中， ， ，求這塊土地的面積. D C B A 120 3 3 5 3 ABC ABADBCCDAB CD 例4.一塊四邊形的土地，其中， ， ，求這塊土地的面積. 小結(jié)：小結(jié)： 題目中沒有直角三角形，但存在直角題目中沒有直角三角形，但存在直角 ，可以考慮，可以考慮“補補”出直角三角形求解出直角三角形求解.實際上實際上 ，本題利用，本題利用“割割”也有多種做法也有多種做法. D C B A 小結(jié)： 題目中沒有直角三角形，但存在直角題目中沒有直角三角形，

19、但存在直角 ，可以考慮，可以考慮“補補”出直角三角形求解出直角三角形求解.實際上實際上 ，本題利用，本題利用“割割”也有多種做法也有多種做法. 120 3 3 5 3 ABC ABADBCCDAB CD 例4.一塊四邊形的土地，其中， ， ，求這塊土地的面積. 注意： 1.本題的解法很多，但是解法上卻有的簡單，本題的解法很多，但是解法上卻有的簡單， 有的復雜，要選擇好方法有的復雜，要選擇好方法; 2.注意不要跳步注意不要跳步.不能直接用結(jié)論：不能直接用結(jié)論：“含有含有30 的直角三角形的三邊的比為：的直角三角形的三邊的比為： ”; 如：要求如：要求CE，需先求，需先求DE，再由勾股定理求，再由

20、勾股定理求 CE. 1 32： ： D C B A 【問題5】如果將勾股定理中如果將勾股定理中“直角三角形直角三角形”改改 為為“斜三角形斜三角形”， 的關(guān)系會是怎樣呢的關(guān)系會是怎樣呢 ？ 222 abc與 思考題：思考題：在ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若 C=90，如圖，根據(jù)勾股定理，則 ， 若ABC不是直角三角形，如圖和圖，請你類 比勾股定理，試猜想 的關(guān)系，并證明你 的結(jié)論. 222 =abc 222 abc與 思考題：在思考題：在ABC中，中，BC=a，AC=b，AB=c，若，若C=90，如圖，如圖，根據(jù)，根據(jù) 勾股定理，則勾股定理，則 ，若，若ABC不是直角三角形，如圖不是直角三角形，如圖和圖和圖，請你，請你 類比勾股定理，試猜想類比勾股定理，試猜想 的關(guān)系，并證明你的結(jié)論的關(guān)系，并證明你的結(jié)論. 222 =abc 222 abc與 設計意圖：設計意圖： 1.從證明方法角度看，通過利用從證明方法角度看，通過利用“割割”、“補補”圖形圖形 構(gòu)造直角三角形的方法，得出類似勾股定理的結(jié)構(gòu)造