第八章向量代數與空間解析幾何教案(同濟大學版高數)24頁

1、第八章 向量代數與空間解析幾何第一節(jié) 向量及其線性運算教學目的：將學生的思維由平面引導到空間，使學生明確學習空間解析幾何的意義和目的。使學生對（自由）向量有初步了解，為后繼內容的學習打下基礎。教學重點：1.空間直角坐標系的概念2.空間兩點間的距離公式3.向量的概念4.向量的運算教學難點：1.空間思想的建立 2.向量平行與垂直的關系教學內容：一、向量的概念1向量：既有大小，又有方向的量。在數學上用有向線段來表示向量，其長度表示向量的大小，其方向表示向量的方向。在數學上只研究與起點無關的自由向量（以后簡稱向量）。2 量的表示方法有: 、等等。3 向量相等：如果兩個向量大小相等，方向相同，則說（即經

2、過平移后能完全重合的向量）。4 量的模：向量的大小，記為、。模為1的向量叫單位向量、模為零的向量叫零向量。零向量的方向是任意的。5 量平行：兩個非零向量如果它們的方向相同或相反。零向量與如何向量都平行。6 負向量：大小相等但方向相反的向量，記為二、向量的線性運算1加減法： 加法運算規(guī)律：平行四邊形法則（有時也稱三角形法則），其滿足的運算規(guī)律有交換率和結合率見圖742 即3向量與數的乘法：設是一個數，向量與的乘積規(guī)定為時，與同向，時，時，與反向，其滿足的運算規(guī)律有：結合率、分配率。設表示與非零向量同方向的單位向量，那么定理1：設向量a0，那么，向量b平行于的充分必要條件是：存在唯一的實數，使b例

3、1：在平行四邊形ABCD中，設，試用和b表示向量、和，這里M是平行四邊形對角線的交點。（見圖75） 圖74解：，于是由于， 于是又由于，于是由于， 于是三、空間直角坐標系1將數軸（一維）、平面直角坐標系（二維）進一步推廣建立空間直角坐標系（三維）如圖71，其符合右手規(guī)則。即以右手握住軸，當右手的四個手指從正向軸以角度轉向正向軸時，大拇指的指向就是軸的正向。2 間直角坐標系共有八個卦限，各軸名稱分別為：軸、軸、軸，坐標面分別為面、面、面。坐標面以及卦限的劃分如圖72所示。圖71右手規(guī)則演示 圖72空間直角坐標系圖 圖73空間兩點的距離圖3空間點的坐標表示方法。通過坐標把空間的點與一個有序數組一一

4、對應起來。注意：特殊點的表示a)在原點、坐標軸、坐標面上的點；b)關于坐標軸、坐標面、原點對稱點的表示法。4空間兩點間的距離。 若、為空間任意兩點， 則的距離（見圖73），利用直角三角形勾股定理為：而 所以特殊地：若兩點分別為，例1：求證以、三點為頂點的三角形是一個等腰三角形。證明: 由于 ，原結論成立。例2：設在軸上，它到的距離為到點的距離的兩倍，求點的坐標。解：因為在軸上，設P點坐標為 所求點為：，四、利用坐標系作向量的線性運算1向量在坐標系上的分向量與向量的坐標通過坐標法，使平面上或空間的點與有序數組之間建立了一一對應關系，同樣地，為了溝通數與向量的研究，需要建立向量與有序數之間的對應關

5、系。設a =是以為起點、為終點的向量，i、j、k分別表示 圖75沿x，y，z軸正向的單位向量，并稱它們?yōu)檫@一坐標系的基本單位向量，由圖75，并應用向量的加法規(guī)則知：i + j+k或a = ax i + ayj + azk上式稱為向量a按基本單位向量的分解式。有序數組ax、ay、az與向量a一一對應，向量a在三條坐標軸上的投影ax、ay、az就叫做向量a的坐標，并記為 a ax，ay，az。上式叫做向量a的坐標表示式。于是，起點為終點為的向量可以表示為特別地，點對于原點O的向徑注意：向量在坐標軸上的分向量與向量在坐標軸上的投影有本質區(qū)別。向量a在坐標軸上的投影是三個數ax、ay、az，向量a在坐

6、標軸上的分向量是三個向量ax i 、 ayj 、 azk.2向量運算的坐標表示設，即，則(1) 加法： 減法： 乘數： 或 平行：若a0時，向量相當于，即也相當于向量的對應坐標成比例即五、向量的模、方向角、投影設，可以用它與三個坐標軸的夾角（均大于等于0，小于等于）來表示它的方向，稱為非零向量a的方向角，見圖76，其余弦表示形式稱為方向余弦。1 模2 方向余弦由性質1知，當時，有 任意向量的方向余弦有性質： 與非零向量a同方向的單位向量為：例：已知兩點M1(2,2,)、M2(1,3,0)，計算向量的模、方向余弦、方向角以及與同向的單位向量。解：1-2，3-2，0-=-1，1，-，設為與同向的單

7、位向量，由于即得3 向量在軸上的投影(1) 軸上有向線段的值：設有一軸，是軸上的有向線段，如果數滿足，且當與軸同向時是正的，當與軸反向時是負的，那么數叫做軸上有向線段的值，記做AB，即。設e是與軸同方向的單位向量，則(2) 設A、B、C是u軸上任意三點，不論三點的相互位置如何，總有(3) 兩向量夾角的概念：設有兩個非零向量和b，任取空間一點O，作，規(guī)定不超過的稱為向量和b的夾角，記為(4) 空間一點A在軸上的投影：通過點A作軸的垂直平面，該平面與軸的交點叫做點A在軸上的投影。(5) 向量在軸上的投影：設已知向量的起點A和終點B在軸上的投影分別為點和，那么軸上的有向線段的值叫做向量在軸上的投影，

8、記做。2投影定理性質1：向量在軸上的投影等于向量的模乘以軸與向量的夾角的余弦：性質2：兩個向量的和在軸上的投影等于兩個向量在該軸上的投影的和，即 性質3：向量與數的乘法在軸上的投影等于向量在軸上的投影與數的乘法。即小結：本節(jié)講述了空間解析幾何的重要性以及向量代數的初步知識，引導學生對向量（自由向量）有清楚的理解，并會進行相應的加減、乘數、求單位向量等向量運算，空間直角坐標系（軸、面、卦限），空間兩點間距離公式。本節(jié)介紹了向量在軸上的投影與投影定理、向量在坐標軸上的分向量與向量的坐標（注意分向量與向量的坐標的區(qū)別）、向量的模與方向余弦的坐標表示式等概念。作業(yè)：第二節(jié) 數量積向量積教學目的：讓學生

9、搞清楚數量積與向量積的概念及其應用，掌握向量平行、垂直等重要的結論，為空間曲面等相關知識打好基礎。教學重點：1. 數量積、向量積的概念及其等價的表示形式 2.向量平行、垂直的應用 教學難點：1.活學活用數量積、向量積的各種形式 2.向量平行與垂直的相應結論教學內容：一、數量積：a) 定義：，式中為向量a與b的夾角。b) 物理上：物體在常力F作用下沿直線位移s，力F所作的功為其中為F與s的夾角。c) 性質：.兩個非零向量a與b垂直的充分必要條件為：. . . 為數d) 幾個等價公式：.坐標表示式：設，則.投影表示式：.兩向量夾角可以由式求解e) 例子：已知三點M(1,1,1)、A(2,2,1)和

10、B(2,1,2)，求提示：先求出向量及，應用上求夾角的公式。二、向量積：a) 概念：設向量是由向量a與b按下列方式定義：的模，式中為向量a與b的夾角。 的方向垂直與a與b的平面，指向按右手規(guī)則從a轉向b。注意：數量積得到的是一個數值，而向量積得到的是向量。b) 公式：f) 性質：.兩個非零向量a與b平行ab的充分必要條件為：. . . 為數c) 幾個等價公式：.坐標表示式：設，則.行列式表示式：d) 例子：已知三角形ABC的頂點分別為：A(1,2,3)、B(3,4,5)和C(2,4,7)，求三角形ABC的面積。解：根據向量積的定義，由于2,2,2，1,2,4因此于是小結： 向量的數量積（結果是

11、一個數量）向量的向量積（結果是一個向量）（注意共線、共面的條件）作業(yè)：第三節(jié) 平面及其方程教學目的：介紹最簡單也是非常常用的一種曲面平面，平面是本書非常重要的一節(jié)，本節(jié)讓學生了解平面的各種表示方法，學生在學習時領會各種特殊位置平面的表示方法，會求出各種位置上的平面，了解平面與其法向量之間的關系。教學重點：1.平面方程的求法 2.兩平面的夾角教學難點：平面的幾種表示及其應用教學內容：一、平面的點法式方程1平面的法線向量定義：垂直于一平面的非零向量叫做平面的法線向量。平面內的任一向量均與該平面的法線向量垂直。2平面的點法式方程已知平面上的一點和它的一個法線向量，對平面上的任一點，有向量n，即n代入

12、坐標式有：（1）此即平面的點法式方程。例1：求過三點（2，1，4）、（1，3，2）和（0，2，3）的平面方程。解：先找出這平面的法向量，由點法式方程得平面方程為即：二、 平面的一般方程任一平面都可以用三元一次方程來表示。平面的一般方程為：幾個平面圖形特點：1）D0：通過原點的平面。2）A0：法線向量垂直于軸，表示一個平行于軸的平面。同理：B0或C0：分別表示一個平行于軸或軸的平面。3）AB0：方程為，法線向量，方程表示一個平行于面的平面。同理：和分別表示平行于面和面的平面。 4）反之：任何的三元一次方程，例如：都表示一個平面，該平面的法向量為例2：設平面過原點及點，且與平面垂直，求此平面方程。

13、解：設平面為，由平面過原點知由平面過點知， 所求平面方程為三兩平面的夾角定義：兩平面法向量之間的夾角稱為兩平面的夾角。設平面， 按照兩向量夾角余弦公式有：三、幾個常用的結論設平面1和平面2的法向量依次為和1) 兩平面垂直：（法向量垂直）2) 兩平面平行：（法向量平行）3) 平面外一點到平面的距離公式：設平面外的一點，平面的方程為 ，則點到平面的距離為例3：研究以下各組里兩平面的位置關系：解：(1)，兩平面相交，夾角(2) ， 兩平面平行兩平面平行但不重合。（3）兩平面平行所以兩平面重合小結：平面的方程三種常用表示法：點法式方程，一般方程，截距式方程。兩平面的夾角以及點到平面的距離公式。作業(yè)：第

14、四節(jié) 空間直線及其方程教學目的：介紹空間曲線中最常用的直線，與平面同為本章的重點教學重點：1.直線方程 2.直線與平面的綜合題教學難點：1.直線的幾種表達式 2.直線與平面的綜合題教學內容：一、空間直線的一般方程空間直線可以看成是兩個平面的交線。故其一般方程為：二、空間直線的對稱式方程與參數方程平行于一條已知直線的非零向量叫做這條直線的方向向量。已知直線上的一點和它的一方向向量，設直線上任一點為，那么與s平行，由平行的坐標表示式有：此即空間直線的對稱式方程（或稱為點向式方程）。（寫時參照書上注釋）如設就可將對稱式方程變成參數方程（t為參數）三種形式可以互換，按具體要求寫相應的方程。例1：用對稱

15、式方程及參數方程表示直線 解：在直線上任取一點，取解得，即直線上點坐標因所求直線與兩平面的法向量都垂直取對稱式方程為：參數方程：例2 一直線過點，且和軸垂直相交，求其方程 解：因為直線和軸垂直相交,所以交點為取，所求直線方程：一 兩直線的夾角兩直線的方向向量的夾角（通常指銳角）叫做兩直線的夾角。設兩直線和的方向向量依次為和，兩直線的夾角可以按兩向量夾角公式來計算兩直線和垂直： （充分必要條件）兩直線和平行：（充分必要條件）例3：求過點且與兩平面和的交線平行的直線方程解：設所求直線的方向向量為，根據題意知直線的方向向量與兩個平面的法向量都垂直，所以可以取所求直線的方程三、直線與平面的夾角當直線與

16、平面不垂直時，直線與它在平面上的投影直線的夾角稱為直線與平面的夾角，當直線與平面垂直時，規(guī)定直線與平面的夾角為。設直線的方向向量為，平面的法線向量為，直線與平面的夾角為，那么直線與平面垂直：s/n 相當于（充分必要條件）直線與平面平行：sn 相當于（充分必要條件）平面束方程： 過平面直線的平面束方程為四、雜例：例1：求與兩平面x4z3和2xy5z1的交線平行且過點（3，2，5）的直線方程。解：由于直線的方向向量與兩平面的交線的方向向量平行，故直線的方向向量s一定與兩平面的法線向量垂直，所以因此，所求直線的方程為例2：求過點（2，1，3）且與直線垂直相交的直線方程 解：先作一平面過點（2，1，3

17、）且垂直于已知直線（即以已知直線的方向向量為平面的法線向量），這平面的方程為再求已知直線與這平面的交點。將已知直線改成參數方程形式為x= -1+3ty=1+2tz=-t并代入上面的平面方程中去，求得t，從而求得交點為以此交點為起點、已知點為終點可以構成向量s即為所求直線的方向向量故所求直線方程為例3：求直線 在平面上的投影直線的方程 解：應用平面束的方法 設過直線的平面束方程為即這平面與已知平面垂直的條件是解之得代入平面束方程中得投影平面方程為yz10所以投影直線為小結：本節(jié)介紹了空間直線的一般方程，空間直線的對稱式方程與參數方程，兩直線的夾角（注意兩直線的位置關系），直線與平面的夾角（注意直

18、線與平面的位置關系）。作業(yè)：第五節(jié) 曲面及其方程教學目的：介紹各種常用的曲面，為下學期學習重積分、線面積分打下基礎。學生應該會寫出常用的曲面方程，并對已知曲面方程能知道所表示曲面的形狀。教學重點：1.球面的方程 2.旋轉曲面的方程教學難點：旋轉曲面 教學內容：一、曲面方程的概念1. 實例：水桶的表面、臺燈的罩子面等，曲面在空間解析幾何中被看成是點的幾何軌跡。2. 曲面方程的定義：如果曲面S與三元方程（1）有下述關系：（1） 曲面上任一點的坐標都滿足方程（1）（2） 不在曲面上的點的坐標都不滿足方程（1）那么，方程（1）就叫做曲面的方程，而曲面就叫做方程（1）的圖形。3幾種常見曲面（1）球面例1

19、：建立球心在、半徑為R的球面的方程。 解：設是球面上的任一點，那么即：或：特別地：如果球心在原點，那么球面方程為（討論旋轉曲面）（2）線段的垂直平分面（平面方程）例2：設有點和，求線段的垂直平分面的方程。 解：由題意知道，所求平面為與和等距離的點的軌跡，設是所求平面上的任一點，由于，那么化簡得所求方程研究空間曲面有兩個基本問題：（1） 已知曲面作為點的軌跡時，求曲面方程。（2）已知坐標間的關系式，研究曲面形狀。i. 旋轉曲面定義：以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周所成的曲面叫做旋轉曲面，旋轉曲線和定直線依次叫旋轉曲面的母線和軸。二、旋轉曲面的方程設在yoz坐標面上有一已知曲線C，它的方程為f（y，z）0把這曲線繞z軸旋轉一周，就得到一個以z軸為軸的旋轉曲面，設為曲線C上的任一點，那么有f（y1，z1）0（2）當曲線C繞z軸旋轉時，點M1也繞z軸旋轉到另一點，這時zz1保持不變，且點M到z軸的距離將z1z，代入（2）式，就有螺旋曲面的方程為旋轉曲面圖繞哪個軸旋轉，該變量不變，另外的變量將缺的變量補上改成正負二者的完全平方根的形式。常用旋轉曲面：錐面（直線繞直線旋轉，兩直線的夾角（00）雙曲拋物面（鞍形曲面）方程為（p與q同號）當p 0， q 0時，其形狀如圖所示。2雙曲面單葉雙曲面方程為雙葉雙曲面方程為各種圖形注意規(guī)律特點，可以寫出其它的方程表達式。小結：曲面方程的概