第1章 利息的度量

1、第一章：利息的基本概念 1.1、利息的度量 基本概念： 利息、 本金、積累值（或終 值）、期 定義1.1：用a(t)表示初始投資為1單位的投資經(jīng)過 時(shí)間t后的價(jià)值，稱a(t)為積累函數(shù)（t期積累因 子）。顯然：a(0)=1 t期折現(xiàn)因子或折現(xiàn)函數(shù)： a-1(t) 折現(xiàn)因子： a-1(1)記為v 定義 1.2：一般情況，本金為k,用A(t)表 示初始投資經(jīng)過時(shí)間t后的價(jià)值，稱A(t)為 總量函數(shù)。 總量函數(shù)和積累函數(shù)有著如下簡單的關(guān)系： A(t)= A(0)a(t)=ka(t) 第n期的利息： In= A(n) A(n-1) 現(xiàn)值、當(dāng)前值、積累值 1.1.1實(shí)際利率 度量期內(nèi)得到的利息與此度量期

2、開始的本金之比 實(shí)際利率可以表示為： 21 12 1 ( )( ) ( , ) ( ) a ta t i tt a t 1 ( )(1) (1) n n n IA nA n i A nA 例1.1：某人到銀行存入1000元，第一年末他存折 上的余額為1050元，第二年末他存折上的余額為 1100元，問：第一年、第二年的實(shí)際利率分別是多 少？ 解：顯然，A(0)=1000， A(1)=1050， A(2)=1100，因此， I1= A(1) A(0)50, I2= A(2) A(1)50, i1= I1/ A(0)=5%， i2= I2/ A(1)=4.762%， 故，第一年的實(shí)際利率為5%，第

3、二年的實(shí)際利率 為4.762% 1.1.2 單利與復(fù)利 前面討論的實(shí)際利率I是針對某一個(gè)度量期而 言的，若投資期為多個(gè)或非整數(shù)個(gè)度量期，如何 來進(jìn)行利息的度量呢？實(shí)務(wù)中有兩種最重要的度 量方式：單利和復(fù)利。 考慮投資一單位的本金： （1）如果其在t時(shí)的積累值為： a(t) =1+it 那么，我們就說該筆投資以每期單利i計(jì)息,并將這 樣產(chǎn)生的利息稱為單利。實(shí)際上，所謂單利 就是只有本金生息，本金產(chǎn)生的利息并不積累 生息。 （2）如果單位投資在t時(shí)的積累值為： a(t)=(1+i)t 那么，則稱該筆投資以每期復(fù)利i計(jì)息,并將 這樣產(chǎn)生的利息稱為復(fù)利。實(shí)際上，復(fù)利就是 指民間俗稱的“利滾利”，即當(dāng)其

4、產(chǎn)生的利息 計(jì)入本金，在下一期可以生息。 例題1.2 若銀行以單利計(jì)息，年息為6%。某人存入 5000元，問5年后的積累值是多少？復(fù)利計(jì) 息呢？ 1.1.3 實(shí)際貼現(xiàn)率 一個(gè)度量期的實(shí)際貼現(xiàn)率為該度量期內(nèi)取得的 利息金額與期末的投資可收回金額之比，通常用d 來表示： 即，d=(a(t)-a(t-1)/a(t) 實(shí)際貼現(xiàn)率d同實(shí)際利率i的定義十分相似，在 實(shí)務(wù)中，它們反映了同一個(gè)問題的兩個(gè)不同的側(cè) 面。實(shí)際利率度量了借款人到期償還利息額大小， 而實(shí)際貼現(xiàn)率度量了借款人為了到期清償本金， 而在借款之初支付的利息。 為了幫助理解，我們來看一個(gè)例子。假設(shè)，張三 到一家銀行以年實(shí)際利率為6%向銀行借款1

5、00 元，為期一年。銀行將付給張三100元，一年 后，張三將還給銀行貸款本金100元，外加6元 的利息，共計(jì)106元。 假如不是以年實(shí)際利率6%,而是以年實(shí)際貼現(xiàn)率 6%向銀行借款，為期一年，則銀行將預(yù)收6% （即6元）的利息，僅付給張三94元。一年后， 張三將還給銀行100元。 由此可見，實(shí)際利率和實(shí)際貼現(xiàn)率反映的是 一個(gè)先后付息的問題。 貼現(xiàn)金額=期末可收回資金金額貼現(xiàn)率 利息金額=期初投資金額利率 第n期的實(shí)際貼現(xiàn)率，復(fù)利條件下是常數(shù)： ( )(1) ( )(1) ( )1 n n a ni a na ni d a ni 上例中哪個(gè)借款成本低？ 第二種的實(shí)際利率=6/94=6.383%

6、如果對給定的投資金額，在同樣長的時(shí)期 內(nèi)，他們產(chǎn)生同樣的積累值，則稱兩個(gè) “率”是“等價(jià)”的。 上例中年實(shí)際貼現(xiàn)率6%和年實(shí)際利率 6.383%等價(jià) 一般,若某人以實(shí)際貼現(xiàn)率d借款1，則實(shí)際本 金為1-d,若這筆業(yè)務(wù)實(shí)際利率為i,則 , 11 , 11 ,1, dd id dd ii di ii d iv vd i d id 表明與 等價(jià)的實(shí)際利率為 還可得到：表明與等價(jià)的實(shí)際貼現(xiàn)率為 還有： t期貼現(xiàn) 單貼現(xiàn)： 復(fù)貼現(xiàn)： 1 1 ( ) 1,0a tdtt d 1( ) (1) tt a tvd 1.1.4 名義利率和名義貼現(xiàn)率 前面我們討論了實(shí)際利率和實(shí)際貼現(xiàn)率，“實(shí)際”一 詞的主要汗以在

7、于利息為每個(gè)度量期支付一次，或在其初， 或在期末，視具體境況而定。然而，實(shí)際問題中，往往有 很多在一個(gè)度量期中利息支付不至于一次或在多個(gè)度量期 利息才支付一次的情況。這是，成相應(yīng)的一個(gè)度量期的利 率和貼現(xiàn)率為“名義的”。用符號i(m)表示每一度量期付m 次利息的名義利率。 m一般為大于1的整數(shù)。所謂名義利 率i(m)，是指每1/ m個(gè)度量期支付利息一次，而在每1/ m 個(gè)度量期上的實(shí)際利率為i(m)/m。 也就是說，每一度量期的實(shí)際利率等價(jià)于每1/m度量期 i(m)/m實(shí)際利率。 由等價(jià)的定義，還可以得到i(m)與等價(jià)的實(shí) 際利率i之間的關(guān)系： 根據(jù)入上的關(guān)系，在已知實(shí)際利率i和計(jì)息 次數(shù)m，

8、可以求得等價(jià)的名義利率i(m)，或者已 知名義利率i(m)和計(jì)息次數(shù)m可以求得相應(yīng)的實(shí) 際利率i。 () () 1 () 11 11 (1)1 m m m m m m i i m i i m imi 類似的，還可以定義名義貼現(xiàn)率d(m)，名義貼現(xiàn)率 d(m)是一種在每1/m個(gè)度量期初支付的利息的度量。由 等價(jià)性定義可以推導(dǎo)d(m) 和d之間的關(guān)系： 根據(jù)入上的關(guān)系，在已知實(shí)際利率i和計(jì)息次數(shù)m， 可以求得等價(jià)的名義利率i(m)，或者已知名義利率i(m)和 計(jì)息次數(shù)m可以求得相應(yīng)的實(shí)際利率i。 () () 1 () 11 1 1 1 (1) m m m m m m d d m d d m dmd

9、 有等價(jià)性的定義，我們還可以推導(dǎo)出名義利 率和名義貼現(xiàn)率之間的關(guān)系： 1 () () ()() (1)1 (1)(1) 1(1) (1)(1) m m m m mm mm id i i m d d m id mm 故，= 例、（1）求與實(shí)際利率8%等價(jià)的每年計(jì)息兩 次得年名義利率，以及每年計(jì)息4次的年名義 貼現(xiàn)率； （2）已知每年計(jì)息12次的年名義貼現(xiàn)率為 8%，求等價(jià)的實(shí)際利率。 解：（1） (2) (2)1/2 (4) 4 (4)1/4 111 8% 2 (1 8%)1 27.85% (1)11.08 4 41 (1.08)7.623% i i i d i d （2） (12) 12 12

10、 11 12 8% (1) 12 1.0836 8.36% d i i 故 例：求1萬元按每年計(jì)息4次的 年名義利率6%投資三年的積 累值 1.1.5 利息強(qiáng)度 前面定義的各種利息度量方式都是用來度量在規(guī)定的 時(shí)間區(qū)間內(nèi)的利息。實(shí)際利率和實(shí)際貼現(xiàn)率度量的是一個(gè) 度量期內(nèi)的利息，而名義利率和名義貼現(xiàn)率則用來度量在 1/m個(gè)度量期內(nèi)的利息。 在很多情形下，我們還希望能度量在每一時(shí)間點(diǎn)上的 利息，也就是在無窮小區(qū)間上的利息。這種對利息在各個(gè) 時(shí)間點(diǎn)上的度量叫做利息強(qiáng)度。 利息強(qiáng)度 定義如下： ( )( ) ( )( ) t A ta t A ta t t 稱 該投資在t時(shí)的利息強(qiáng)度，即 為利息在時(shí)刻

11、t一種 度量，通過如上定義可將 表示為如下形式： 對兩邊積分可得， 從而有， t t t ln( )ln ( ) t dd A ta t dtdt 0 00 ( ) ln( )ln( )|ln (0) tt t s A t dsdA sA s A 0 ( )( ) ( ) (0)(0) t sdsA ta t ea t Aa 這樣我們便得到了利息強(qiáng)度和積累函數(shù)之間的關(guān)系。 如果已知各個(gè)時(shí)刻利息強(qiáng)度，便可以求得 這一時(shí)刻的 積累函數(shù)。 例、如果 確定投資1000元在第 一年末的積累值和第二年內(nèi)的利息金額。 解： 0.01 ,02, t tt 1 0 (1)1000 (1)10001005 tdt

12、 Aae 元 2 0 0.01 2 0.020.005 (2)(1)1000(1) 1000()15.2 tdt IAAeA ee 元 理論上，利息強(qiáng)度可以隨時(shí)變化，但在實(shí)際中，利息 強(qiáng)度經(jīng)常保持為常數(shù)或者在各個(gè)度量期內(nèi)保持為常數(shù)。 說明利息力在某時(shí)間區(qū)間上為常數(shù)，那么該時(shí)間區(qū)間 上的實(shí)際利率也是常數(shù) ,1 tn ntn 若 12 12 0011 12 ( ) 1 tt st t t n dsdsdsds n a tee e ee n ie 那么 第 個(gè)時(shí)期的實(shí)際利率 L L 一般地，有 總結(jié)，常用重要關(guān)系式總結(jié)，常用重要關(guān)系式（1.1.33） ln(1) i 1ie ( ) t a te 例

13、、已知年度實(shí)際利率為8%，求等價(jià)的利息強(qiáng) 度。 解： 例、一筆業(yè)務(wù)按利息強(qiáng)度6%計(jì)息，求投資500 元、經(jīng)過8年的積累值。 解： ln(1)ln(1.08)7.7%i 8 (8)500808.04Ae 元 1.2 利息問題求解 1.2.1 價(jià)值等式 利息問題的四個(gè)基本量： 1、最初投資的本金 2、投資時(shí)期的長度 3、利率 4、本金在投資期末的積累值 兩個(gè)概念： 貨幣時(shí)間價(jià)值 價(jià)值等式： 衡量多個(gè)時(shí)刻付款的總價(jià)值時(shí)，先選取一 個(gè)比較日期，然后分別將各次付款積累或 折現(xiàn)到比較日期，得到的和就是總價(jià)值， 得到的等式叫做“價(jià)值等式” 例題： 某人為了能在第7年末得到一筆1萬元的款 項(xiàng)，愿意在第一年末付

14、出1000元，在第三 年末付出4000元，并在第8年末付出一筆錢 ，如果年利率為6%，問他在第8年末應(yīng)付 多少？ 1.2.2投資期的確定 通常， 一般，投資期不足一個(gè)度量期的情況下， 用單利計(jì)息，則利息=金額利率年數(shù) 投資期天數(shù) 年數(shù) 基礎(chǔ)天數(shù) 將天數(shù)轉(zhuǎn)化成年數(shù)的主要方法： 1、嚴(yán)格單利法（英國法） 2、常規(guī)單利法（歐洲大陸法） 3、銀行家規(guī)則（歐洲貨幣法） 年數(shù)=實(shí)際/360 212121 360)30()() /360 YYMMDD 天數(shù)（ 年數(shù)天數(shù) 例題 在3月13日存入1000元，到同年的11月27 日取出，利率為單利8%。求利息金額。 （1）按英國法 （2）按銀行家規(guī)則 （3）常規(guī)單利法 1.2.3 未知時(shí)間問題 只有一次付款的未知時(shí)間問題 例：以每月記息的年名義利率12%投資1萬 元，若欲積累到3萬元，問要幾年時(shí)間？ 不同時(shí)刻的多次付款被數(shù)值上等于這些付 款之和的一次性付款所替代。 精確方法 等時(shí)間法 例題:預(yù)定在第一、三、五、八年末分別付 款200、400、300、600元，假設(shè)實(shí)際利