小船過河matlab實(shí)現(xiàn)

1、（一）問題分析一只小船要渡過一條寬為d的河流，目標(biāo)是起點(diǎn)A正對(duì)著的另一岸B點(diǎn)。已知河水的流速v1與船在靜水中的速度v2之比為k。（1） 建立小船的航線模型，并求其解析解。（2） 設(shè)d=100m，v1=1m/s，v2=2m/s,用數(shù)值解法求渡河所需時(shí)間，任意時(shí)刻小船的位置及航行曲線，作圖，并于解析解比較；（3） 若流速v1=0，0.5，1.5，2(m/s),結(jié)果如何。這個(gè)問題涉及的主要變量有：船在靜水中的速度v2,河水的速度v1，v1與v2速度之比為k，船的航行時(shí)間t，船在任意時(shí)刻的位置x，y。由于k未知，所以船過河的具體航線有多種情況，但針對(duì)本題過河問題為了更好的解決問題，不妨做以下假設(shè)：（1

2、）船的速度方向始終指向終點(diǎn)B；（2）船在航行的過程中任意時(shí)刻的總速度與航線相切。通過以上假設(shè)，小船過河問題就簡(jiǎn)化為：速度求曲線軌跡問題，微分方程問題。（二）建立數(shù)學(xué)模型建立直角坐標(biāo)系，為方便起見，將B點(diǎn)設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，河岸為x軸，垂直于河岸方向?yàn)閥軸，如圖所示。設(shè)在t時(shí)刻，小船的位置為（x,y）,船頭指向與水平方向的夾角為a。則此時(shí)水平方向的速度為v1-v2*cos(a),豎直方向的速度為v2*sin(a)。又由于水平方向的速度為dx/dt,豎直方向的速度為dy/dt。則可列出小船航線的微分方程：dx/dt=v1-v2*cos(a)dy/dt v2*sin(a)又由于cos(a)=x/sqrt(

3、x2+y2),sin(a)=-y/sqrt(x2+y2)。則微分方程為：dx/dt=v1-v2* x/sqrt(x2+y2)dy/dt=-v2* y/sqrt(x2+y2)初始條件為：x(0)=0,y(0)=-100;6以上就是小船航線的數(shù)學(xué)模型。（三）求解模型的數(shù)學(xué)方法（解析解與數(shù)值解）(1)解析解的得出，matlab算法的具體實(shí)現(xiàn)，以及解析解的圖形根據(jù)dx/dt=v1-v2* x/sqrt(x2+y2)dy/dt=-v2* y/sqrt(x2+y2)兩式相除得到dy/dx=v2*y/(v1* sqrt(x2+y2)-v2)分離變量得到：dx/x=du/(-u*v1*sqrt(1+u2)/(

4、v1*sqrt(1+u2)-v2)其中u=y/x;然后利用微分方程得到x關(guān)于y的解析表達(dá)式：x=1/2*c(-k)*y(1-k)-1/2*ck*y(k+1)然后根據(jù)初始條件：x(0)=0,y(0)=-d,d=100;得到：c=-0.01.則小船航線的解析數(shù)學(xué)表達(dá)式為：x=1/2*(-0.01)(-k)*y(-k+1)-1/2*(-0.01)(k)*y(k+1).解析解的matlab程序：xiaochuan.mfunction x=xiaochuan(y)k=0.3;x=1/2*(-0.01).(-k).*y.(-k+1)-1/2.*(-0.01).(k).*y.(k+1); hangxing.

5、my=0:-0.1:-100;for i=0:1:1000 x(:,i+1)=xiaochuan(-i/10);end plot(x,y);title(小船過河1)xlabel(x軸);ylabel(y軸); hangxing.m（2）數(shù)值解法的具體實(shí)現(xiàn)與matlab算法：根據(jù)此模型的微分方程：dx/dt=v1-v2* x/sqrt(x2+y2)dy/dt=-v2* y/sqrt(x2+y2)并且初始條件：x(0)=0,y(0)=-d通過龍格庫(kù)塔方程求其數(shù)值解：由于該模型的參數(shù)為：河寬d，船在靜水中的速度v2，河水流速v1，船在任意時(shí)刻的位置（x，y），時(shí)間t，船在a點(diǎn)時(shí)t=0。則小船航線的微

6、分方程的matlab算法如下：xiaochuan1.m:function dx=xiaochuan1(t,x,v1,v2)s=(x(1)2+x(2)2)0.5;%x(1),x(2)表示x,ydx=v1-v2*x(1)/s;-x(2)*v2/s;%以列向量的形式表示小船過河的微分方程在編寫運(yùn)行程序時(shí)設(shè)定時(shí)間t的起終點(diǎn)和中間的等分點(diǎn)，終點(diǎn)時(shí)間根據(jù)船在靜水中速度和水的流速設(shè)為150s,時(shí)間間隔為0.01s。lv.mts=0:0.01:150;d=input(輸入河寬d=);x0=0,-d;opt=odeset(reltol,1e-6,abstol,1e-9);v1=input(輸入河水流速v1=);

7、v2=input(輸入船在靜水中速度v2=);t,x=ode15s(xiaochuan1,ts,x0,opt,v1,v2);t,xsubplot(1,2,1),plot(t,x),title(xt圖),gtext(t軸),gtext(x軸);grid;subplot(1,2,2),plot(x(:,1),x(:,2),title(小船過河圖2);gtext(x軸),gtext(y軸);grid;（四）計(jì)算所得結(jié)果(1)當(dāng)v1=1m/s，v2=2m/s，d=100m時(shí) lv輸入河寬d=100輸入河水流速v1=1輸入船在靜水中速度v2=2t,x,y值如下：15.2600 12.6707 -69.6

8、313 15.2700 12.6771 -69.6116 15.2800 12.6835 -69.5919 15.2900 12.6899 -69.5723 15.3000 12.6963 -69.5526. 66.5700 0.0970 -0.0004 66.5800 0.0870 -0.0003 66.5900 0.0770 -0.0002 66.6000 0.0670 -0.0002 66.6100 0.0570 -0.0001 66.6200 0.0470 -0.0001 66.6300 0.0370 -0.0001 66.6400 0.0270 -0.0000 66.6500 0.0

9、170 -0.0000 66.6600 0.0070 -0.0000則當(dāng)d=100m，v1=1m/s，v2=2m/s時(shí)t=66.64s時(shí)小船到達(dá)對(duì)岸b點(diǎn)，渡河所需時(shí)間t=66.64s,小船任意時(shí)刻的位置如xt圖所示，航線如“小船過河圖2”所示（2）d=100m, v1=0, 0.5, 1.5, 2m/s; v2=2m/s時(shí)所得結(jié)果當(dāng)d=100，v1=0，v2=2時(shí)， lv輸入河寬d=100輸入河水流速v1=0輸入船在靜水中速度v2=2t,x值如下： 47.1200 0 -5.7600 47.1300 0 -5.7400 47.1400 0 -5.7200 47.1500 0 -5.7000 4

10、7.1600 0 -5.6800 47.1700 0 -5.6600.49.9400 0 -0.1200 49.9500 0 -0.1000 49.9600 0 -0.0800 49.9700 0 -0.0600 49.9800 0 -0.0400 49.9900 0 -0.0200 50.0000 0 -0.0000此時(shí)由于t=100，v1=0，v2=2，t=100/2=50,小船過河時(shí)間t=50s, 小船任意時(shí)刻的位置如xt圖所示，航線如“小船過河圖2”所示，結(jié)果與解析解相符合。當(dāng)d=100，v1=0.5，v2=2時(shí)， lv輸入河寬d=100輸入河水流速v1=0.5輸入船在靜水中速度v2=

11、2t,x值如下： 0 0 -100.0000 0.0100 0.0050 -99.9800 0.0200 0.0100 -99.9600 0.0300 0.0150 -99.9400 0.0400 0.0200 -99.92000.0500 0.0250 -99.9000. 53.2600 0.1071 -0.0283 53.2700 0.0928 -0.0233 53.2800 0.0783 -0.0185 53.2900 0.0638 -0.0141 53.3000 0.0493 -0.0099 53.3100 0.0346 -0.0062 53.3200 0.0199 -0.0029 5

12、3.3300 0.0050 -0.0005則根據(jù)t=53.33s時(shí)小船到達(dá)對(duì)岸，小船任意時(shí)刻的位置如xt圖所示，航線如“小船過河圖2”所示，結(jié)果與解析解相符合。當(dāng)d=100,v1=1.5,v2=2時(shí) lv輸入河寬d=100輸入河水流速v1=1.5輸入船在靜水中速度v2=2t,x值如下：62.2500 25.4391 -7.2507 62.2600 25.4349 -7.2452 62.2700 25.4307 -7.2397 62.2800 25.4264 -7.2342 62.2900 25.4222 -7.2288 62.3000 25.4180 -7.2233 62.3100 25.41

13、37 -7.2178 62.3200 25.4095 -7.2124.111.5700 1.3581 -0.0001 111.5800 1.3531 -0.0001 111.5900 1.3481 -0.0001 111.6000 1.3431 -0.0001 111.6100 1.3381 -0.0001 111.6200 1.3331 -0.0001 111.6300 1.3281 -0.0000 111.6400 1.3231 -0.0000 111.6500 1.3181 -0.0000 111.6600 1.3131 -0.0000此時(shí)由于d=100，v1=0，v2=1.5，t=111.63, 小船任意時(shí)刻的位置如xt圖所示，航線如“小船過河圖2”所示，結(jié)果與解析解相符合當(dāng)d=100,v1=2,v2=2時(shí) lv輸入河寬d=100輸入河水流速v1=2輸入船在靜水中速度v2=2t,x值如下：96.1800 49.9382 -3.5161 96.1900 49.9383 -3.5147 96.2000 49.9383 -3.5133 96.2100 49.9384 -3.5119 96.2200 49.9384 -3.5105 96.2300 49.9385 -3.5091 96.2400 4