方形鏡共焦腔的自再現(xiàn)模-ReadPPT課件

1、 什么是對(duì)稱(chēng)共焦腔什么是對(duì)稱(chēng)共焦腔 對(duì)稱(chēng)共焦腔 兩個(gè)兩個(gè)球面球面鏡鏡的曲率半的曲率半徑徑相等且等于腔相等且等于腔長(zhǎng)長(zhǎng)的的諧諧振腔振腔稱(chēng)為稱(chēng)為 對(duì)稱(chēng)對(duì)稱(chēng)共焦腔。共焦腔。 此此時(shí)兩個(gè)鏡時(shí)兩個(gè)鏡面的焦點(diǎn)重合且面的焦點(diǎn)重合且處處于腔的中心。于腔的中心。 0 01 212121 gg R L ggLRR，滿(mǎn)足， 什么是對(duì)稱(chēng)共焦腔什么是對(duì)稱(chēng)共焦腔 對(duì)稱(chēng)共心腔 （-1,-1） 平平腔 （1,1） g2 g1 -1 -1 1 0 1 對(duì)稱(chēng)共焦腔 考慮一個(gè)由線度為考慮一個(gè)由線度為2a 2a的正方形球面鏡構(gòu)成的對(duì)稱(chēng)共焦腔的正方形球面鏡構(gòu)成的對(duì)稱(chēng)共焦腔 R=L 方形球面鏡共焦腔方形球面鏡共焦腔的的模式模式 2 2

2、a L L a aL ，滿(mǎn)足條件 x 2 P 1 P ) , ( 2 yxP ),( 1 yxP 21 L aa a a a a y 12121122 ( , , ,) x y x yPPP PP PP P 由于是軸對(duì)稱(chēng)關(guān)系，用直角坐標(biāo)系（x,y,z)討論。 方形球面鏡共焦腔方形球面鏡共焦腔的的模式模式 2 P 1 P ) , ( 2 yxP ),( 1 yxP 21 L aa 方形球面鏡共焦腔方形球面鏡共焦腔的的模式模式 L yy L xx L L yy L xx L yy L xx L L yy L xx L LyyxxPP 2 ) ( 2 ) ( 8 1 8 1 2 1 2 1 1 1

3、) () ( 22 4422 22 222 21 其中 L yx LyxL RyxRPP 2 )( )(1 22 222 222 11 L yx PP 2 22 222 同理 方形球面鏡共焦腔方形球面鏡共焦腔的的模式模式 2 P 1 P ) , ( 2 yxP ),( 1 yxP 21 L aa 方形球面鏡共焦腔方形球面鏡共焦腔的的模式模式 L yyxx L L yx L yx L yy L xx L yxyx 2 22 ) ( 2 ) ( ) , , 222222 （ ) , ( ),( dydxeyxve L i yxv L yyxx ika a a a mn ikL mn mn 為所應(yīng)滿(mǎn)

4、足的積分方程式方形鏡共焦腔自在現(xiàn)模 方形球面鏡共焦腔方形球面鏡共焦腔的的模式模式 ) , (),( 1 dseyx L i yx S ik mnmnmn N L a L ka c a c yY a c xX 22 , 22 法進(jìn)行變數(shù)代換，取按照傅伊德和戈登的方 方形球面鏡共焦腔方形球面鏡共焦腔的的模式模式 nm mn nm 1 (Y)(X)G F),( yxvmn令 dd 2 (1) YXeYFeXF ie YGXF c c c c iYY n iXX m ikL nmnm 式，得代入 方形球面鏡共焦腔方形球面鏡共焦腔的的模式模式 行變量分離的交錯(cuò)乘積項(xiàng)，可以進(jìn)和式中不存在YX d) 2 (

5、 d) 2 ( 1/2 1/2 c c iYY n ikL nn c c iXX m ikL mm YeYGe i YG XeXFe i XF 題下述兩個(gè)積分本征值問(wèn)求解方程式等價(jià)于求解 方形球面鏡共焦腔方形球面鏡共焦腔的的模式模式 .) 1 ,() 1 ,( )2( 0,1,2,.n ) 1 ,( 2c 0,1,2,.m ) 1 ,( 2c (1)(1) (1) n (1) m 為徑向長(zhǎng)橢球函數(shù)和 其中 cRcR cRi cRi onom on n om m ) 1 ( ),( )2/( nmnmnm kLiikL mn eie yxv 相對(duì)應(yīng)的本征值為：與 方形球面鏡共焦腔方形球面鏡共焦腔

6、的的模式模式 ) 1 ,() 1 ,(4 ,2 ) 1 ,() 1 ,( 2c ,(1)(2) 2 )1( (1)(1) 2 1 (1)(1) nmkLi onomnm i ikLnm onomnm ecRcNR eiNc eicRcR 又 得中代入將 方形球面鏡共焦腔方形球面鏡共焦腔的的模式模式 為角向長(zhǎng)橢球函數(shù)。 其中： ) a y (c,S)c(c,Y/S ) a x (c,S)c(c,X/S onon omom ,., ,n m, cc,Y/Scc,X/S (Y) (X)GF(x,y) v c onom nmmn 210 (4) 為為有限值時(shí)，本征函數(shù)在 方形球面鏡共焦腔方形球面鏡共焦

7、腔的的模式模式 可以證明，當(dāng)N1時(shí)，角向長(zhǎng)橢球函數(shù)可表示 為厄米多項(xiàng)式和高斯函數(shù)的乘積 厄米厄米高斯近似高斯近似 ) 2 () 2 ( )()(),( / 2 )( 22 2 22 L yx nmmn a yxc nmmnmn ey L Hx L HC ey a c Hx a c HCyxv 鏡面上的自再現(xiàn)模式： 其中，Cmn為常系數(shù) 方形球面鏡共焦腔方形球面鏡共焦腔的的模式模式 ， ）（ 階厄米多項(xiàng)式為 210 )2( )!2( ! !) 1( 1 )( )( 2 0 2 2 2 m X kmk m e dX d eXH mXH m k km k X m m Xm m m 厄米多項(xiàng)式厄米多項(xiàng)

8、式 方形球面鏡共焦腔自再現(xiàn)模的特征方形球面鏡共焦腔自再現(xiàn)模的特征 鏡面上場(chǎng)的振幅分布鏡面上場(chǎng)的振幅分布 ),( 1,(X)H0,nm / 0000 0 22 L yx eCyxv 得出基模的場(chǎng)分布函數(shù)因?yàn)槿?處 在離中心的距離為 / 22 Lyxr 場(chǎng)的振幅下降到中心值的場(chǎng)的振幅下降到中心值的1/e 的光斑半徑為共焦腔基模在鏡面上定義/ 0 L s 方形球面鏡共焦腔自再現(xiàn)模的特征方形球面鏡共焦腔自再現(xiàn)模的特征 舉例 mm25. 0m6328. 0cm30NeHe mm84. 1m6 .10m1CO 0 02 s s L L ，激光器： ，激光器： 方形球面鏡共焦腔自再現(xiàn)模的特征方形球面鏡共焦腔

9、自再現(xiàn)模的特征 2 0 22 2 2 0, 00, 00, 00, 0 s yx ecEEI 鏡面上的光強(qiáng)分布鏡面上的光強(qiáng)分布 2 22 2 22 22 ) 22 ) 0101 1010 os os yx os yx os mn yeC(x,yv xeC(x,yv TEM 的振幅分布同樣可得出高階橫模的 高階橫模高階橫模 2 22 2 22 2 4) )2 2 4() 1111 2 2020 os os yx os yx os xe xy C(x,yv xe x C(x,yv X X X 1 0 XH XXH2 1 24 2 2 XXH XH m XXX 2 X e 2 2 )( eHE m

10、X XX 高階橫模高階橫模 2 : EI 光強(qiáng) XXX 厄米高斯光束厄米高斯光束 a）厄米多項(xiàng)式的零點(diǎn)決定了場(chǎng)的節(jié)線； b）厄米多項(xiàng)式的正負(fù)交替的變化與高斯函數(shù)隨x,y 增大而單調(diào)下降的特性，決定了場(chǎng)分布的外形輪廓 由于m階厄米多項(xiàng)式有m個(gè)零點(diǎn)，因此模 沿x方向有m條節(jié)線，沿y方向有n條節(jié)線。 mn TEM 高階橫模高階橫模-厄米高斯光束厄米高斯光束 12 , 12 0 0 n m sns sms 斑半徑：鏡面上的高階橫模的光 高階橫模高階橫模-厄米高斯光束厄米高斯光束 鏡面上場(chǎng)的相位分布由自再現(xiàn)模的幅角argvmn(x,y)決定 因?yàn)殚L(zhǎng)橢球函數(shù)是實(shí)函數(shù)，所以argvmn(x,y)=0，各點(diǎn)場(chǎng)

11、 的相位相同，共焦腔反射鏡本身構(gòu)成場(chǎng)的一個(gè)等相位 面。 鏡面上場(chǎng)的相位分布鏡面上場(chǎng)的相位分布 利用自在現(xiàn)的概念理解！利用自在現(xiàn)的概念理解！ 2 1 0 1 0 2 1 0 1 0 2 2 2 1141 11 2 1 1 1 1 c,Rc,NR c,Rc,R c TEM )( n )( m )( n )( m nm mn mn mn 模的單程功率損耗為：共焦腔自再現(xiàn)模 單程損耗單程損耗 的增加而迅速的下降；隨，單值地由菲涅耳數(shù)確定 而的具體幾何尺寸無(wú)關(guān)，）共焦腔模的損耗與腔 的損耗大得多； 腔模面腔模的損耗又比共焦現(xiàn)模的損耗大得多；平 衍射損耗比平面腔自再均勻平面波的夫瑯和費(fèi) N mn 2 )

12、1 增大。 的增高而迅速隨相同時(shí)，不同橫模的） , 3 nmN mn 單程損耗單程損耗 arg 1 arg : nm mn mn 的總相移為共焦腔在腔內(nèi)一次渡越 的整數(shù)倍不同橫模的相移之差為 ：附加相位超前量； 幾何相移；：其中 2 2 ) 1( nm kL mn 2 ) 1( nmkL 單程單程相移和諧振頻率相移和諧振頻率 : 22 1 (1) 22 mn mnq q c qmn L 由諧振條件 得諧振頻率為 屬于同一橫模的相鄰兩個(gè)縱模之間的頻率間隔為 L c mnqqmnq 2 1 而屬于同一縱模的相鄰兩個(gè)橫模之間的頻率間隔則為 qmnq)qnmn qmnq)nqmm L c L c 2

13、1 22 1 2 1 22 1 1( 1( 單程單程相移和諧振頻率相移和諧振頻率 )1)(1(qnm )1()1(qnm qnm)1( nqm)1( )1( qmn )(2qmn mnq )1( -qmn 單程單程相移和諧振頻率相移和諧振頻率 損損耗耗上上并并不不簡(jiǎn)簡(jiǎn)并并。頻頻率率上上簡(jiǎn)簡(jiǎn)并并, ,: :注注# # . , : )1)(3)(1( )1()2()1)(2()1)(1( 等 qnm qnmqnmqnmmnq TEM TEMTEMTEMTEM eg 共焦腔模在頻率上是高度簡(jiǎn)并的,(2q+m+n)相同 的所有模式都具有相同的諧振頻率,都是簡(jiǎn)并模。 單程單程相移和諧振頻率相移和諧振頻率

14、 方形球面鏡共焦腔的行波場(chǎng)方形球面鏡共焦腔的行波場(chǎng) 考察方形鏡共焦腔中任意一點(diǎn)的場(chǎng) 已知鏡面上 的場(chǎng)分布 菲涅耳基爾 霍夫衍射積分 腔內(nèi)任意 點(diǎn)的場(chǎng) zyxizw yx nmmnmn mn y zw x zwzw w EAzyxE ,)( 0 0 ee 2 H 2 H, 2 22 式中 f z nm zf zyx zkzyx f L w L z w f z wzw mn arctg1 2 , 2 2 11 22 22 0 2 0 2 0 方形球面鏡共焦腔的行波場(chǎng)方形球面鏡共焦腔的行波場(chǎng) 對(duì)比 zyxizw yx nmmnmn mn y zw x zwzw w EAzyxE ,)( 0 0 ee

15、 2 H 2 H, 2 22 行波場(chǎng)行波場(chǎng) 腔鏡位置的場(chǎng)分布腔鏡位置的場(chǎng)分布 22 / 22 ( , )()() xy L mnmnmn vx yC Hx Hy e LL 0 /wL 為共焦腔基模在鏡面上的光斑半徑 22 2 0 00 22 ( , )()() xy w mnmnmn vx yCHx Hy e ww 電場(chǎng)強(qiáng)度 處的模在腔內(nèi)任一點(diǎn)：其中 ),(TEM),( mn zyxzyxEmn 化常數(shù)：與模階次有關(guān)的歸一 ：與坐標(biāo)無(wú)關(guān)的常量 mn A E0 為鏡的焦距 ：共焦腔長(zhǎng) 2 L f L 方形球面鏡共焦腔的行波場(chǎng)方形球面鏡共焦腔的行波場(chǎng) 振幅分布振幅分布 方形球面鏡共焦腔行波場(chǎng)的振幅

16、分布為 )(0 0 2 22 e 2 H 2 H, zw yx nmmnmn y zw x zwzw w EAzyxE 其中基模的振幅分布為 )(0 00000 2 22 e, zw yx zw w EAzyxE 1 2 2 2 0 2 f z w zw 振幅分布振幅分布 0 0 0 0 1,z0 0 22 2 : 2 s s wL ww w L zf L wfw ）在共焦腔中心 即處，光斑最小： （ ） ：。 ）在共焦腔鏡面上，時(shí) （） 高高斯斯光光束束的的束束腰腰半半徑徑 討論討論 定義：某一模式在腔內(nèi)所擴(kuò)展的空間范圍稱(chēng)為模體積 模體積模體積 對(duì)稱(chēng)共焦腔的基模模體積為 2 0 2 2 0

17、2 2 2 0 20 00 3 2 3 2 )1 ( 2 2)(2 s LL wLLdz f zL dzzwV 高階模模體積則為 0 00 2 0 0 12121212 3 2 3 2 VnmwnmLwwLV snsmsmn 舉例舉例 共焦腔CO2激光器：L=1m，2a=2cm，=10.6m 22 cm314 LaV激活介質(zhì)的體積為 220 00 cm1 . 7 3 2 LV基模體積為 %26. 2 0 00 V V 等相位面分布等相位面分布 0 ,0,0,zzyx f z nm zf yxz zkzyx mn arctg1 2 , 22 22 代入 0 22 0 2 0 22 2 22 0

18、2 22 zR yx z f z yx z f z yx zz 拋物面拋物面 2 0 00 1 z f zzR 等相位面分布等相位面分布 討論討論 00 00101 00 0 2 0 000 zzz zz z f zzRz 時(shí)，當(dāng) ，得時(shí)，由）當(dāng) 因此，等相面是凹面向著腔中心的球面 Lf L R L fz 2 2 2 2 0 時(shí)，）當(dāng) 此時(shí)，等相面與反射鏡面重合 Rz Rz 時(shí)，當(dāng) 時(shí)，）當(dāng) 00 3 0 0 此處，等相面是平面 fz z f zR 0 2 0 0 014，得）由 因此，反射鏡是曲率最大的等相面 討論討論 討論討論 定義：基模遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)散角是雙曲線的兩根漸近線之基模遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)散角是雙曲線的兩根漸近線之 間的夾角。間的夾角。 z z z )