著名不等式公式(供知識拓展)

1、三角形內角的嵌入不等式三角形內角的嵌入不等式，在不至于引起歧義的情況下簡稱嵌入不等式。該不等式指出，若A、B、C是一個三角形的三個內角，則對任意實數 x、y、z，有：算術-幾何平均值不等式在數學中，算術-幾何平均值不等式是一個常見而基本的不等式，表現了兩類平均數：算術平均數和幾何平均數之間恒定的不等關系。設為 n 個正實數，它們的算術平均數是，它們的幾何平均數是 。算術-幾何平均值不等式表明，對任意的正實數，總有：等號成立當且僅當 。算術-幾何平均值不等式僅適用于正實數，是對數函數之凹性的體現，在數學、自然科學、工程科學以及經濟學等其它學科都有應用。算術-幾何平均值不等式經常被簡稱為平均值不等

2、式（或均值不等式），盡管后者是一組包括它的不等式的合稱。例子在 n = 4 的情況，設: ， 那么.可見。歷史上的證明歷史上，算術-幾何平均值不等式擁有眾多證明。n = 2的情況很早就為人所知，但對于一般的 n，不等式并不容易證明。1729年，英國數學家麥克勞林最早給出了一般情況的證明，用的是調整法，然而這個證明并不嚴謹，是錯誤的。 柯西的證明1821年，法國數學家柯西在他的著作分析教程中給出了一個使用逆向歸納法的證明1：命題Pn：對任意的 n 個正實數，1. 當 n=2 時，P2 顯然成立。2. 假設 Pn 成立，那么 P2n 成立。證明：對于2n 個正實數，3. 假設Pn成立，那么Pn 1

3、成立。證明：對于n - 1 個正實數，設，那么由于Pn成立， 。但是 ， ，因此上式正好變成綜合以上三點，就可以得到結論：對任意的自然數 ，命題 Pn 都成立。這是因為由前兩條可以得到：對任意的自然數 k，命題 都成立。因此對任意的 ，可以先找 k 使得 ，再結合第三條就可以得到命題 Pn 成立了。 歸納法的證明使用常規(guī)數學歸納法的證明則有喬治克里斯托（George Chrystal）在其著作代數論（algebra）的第二卷中給出的2：由對稱性不妨設 xn + 1 是 中最大的，由于 ，設 ，則 ，并且有 。根據二項式定理，于是完成了從 n 到 n + 1 的證明。此外還有更簡潔的歸納法證明3

4、：在 n 的情況下有不等式 和 成立，于是：所以 ，從而有。 基于琴生不等式的證明注意到幾何平均數 實際上等于 ，因此算術-幾何平均不等式等價于：。由于對數函數是一個凹函數，由琴生不等式可知上式成立。此外還有基于排序不等式、伯努利不等式或借助調整法、輔助函數求導和加強命題的證明。 推廣算術-幾何平均不等式有很多不同形式的推廣。 加權算術-幾何平均不等式不僅“均勻”的算術平均數和幾何平均數之間有不等式，加權的算術平均數和幾何平均數之間也有不等式。設 和 為正實數，并且 ，那么：。加權算術-幾何平均不等式可以由琴生不等式得到。 矩陣形式算術-幾何平均不等式可以看成是一維向量的系數的平均數不等式。對

5、于二維的矩陣，一樣有類似的不等式： 對于系數都是正實數的矩陣設 ，那么有：也就是說：對 k 個縱列取算術平均數，它們的幾何平均大于等于對 n 個橫行取的 n 個幾何平均數的算術平均。 極限形式也稱為積分形式：對任意在區(qū)間0,1上可積的正值函數 f，都有這實際上是在算術-幾何平均值不等式取成 后，將兩邊的黎曼和中的 n 趨于無窮大后得到的形式。伯努利不等式數學中的伯努利不等式是說：對任意整數，和任意實數，；如果是偶數，則不等式對任意實數x成立?？梢钥吹皆趎 = 0,1，或x = 0時等號成立，而對任意正整數和任意實數，有嚴格不等式：。伯努利不等式經常用作證明其他不等式的關鍵步驟。編輯 證明和推廣

6、伯努利不等式可以用數學歸納法證明：當n = 0,1，不等式明顯成立。假設不等式對正整數n，實數時成立，那么。下面是推廣到實數冪的版本：如果x 1，那么：若或，有；若，有。這不等式可以用導數比較來證明：當r = 0,1時，等式顯然成立。在上定義f(x) = (1 + x)r (1 + rx)，其中， 對x微分得f(x) = r(1 + x)r 1 r， 則f(x) = 0當且僅當x = 0。分情況討論：1 0 r 0，f(x) 0；對 1 x 0。因此f(x)在x = 0時取最大值0，故得。2 r 1，則對x 0，f(x) 0；對 1 x 0，f(x) 0，都有。佩多不等式幾何學的佩多不等式，是

7、關連兩個三角形的不等式，以唐佩多(Don Pedoe)命名。這不等式指出：如果第一個三角形的邊長為a,b,c，面積為f，第二個三角形的邊長為A,B,C，面積為F，那么：，等式成立當且僅當兩個三角形為一對相似三角形，對應邊成比例；也就是a / A = b / B = c / C。編輯 證明 由海倫公式，兩個三角形的面積可用邊長表示為16f2 = (a + b + c)(a + b c)(a b + c)(b + c a) = (a2 + b2 + c2)2 2(a4 + b4 + c4)16F2 = (A + B + C)(A + B C)(A B + C)(B + C A) = (A2 + B

8、2 + C2)2 2(A4 + B4 + C4),再由柯西不等式，16Ff + 2a2A2 + 2b2B2 + 2c2C2= (a2 + b2 + c2)(A2 + B2 + C2)于是，= A2(b2 + c2 a2) + B2(a2 + c2 b2) + C2(a2 + b2 c2) ，命題得證。等號成立當且僅當,也就是說兩個三角形相似。 ABC是第一個三角形，ABC是取相似后的第二個三角形，BC與BC重合 幾何證法三角形的面積與邊長的平方成正比，因此在要證的式子兩邊同乘一個系數2，使得A = a，幾何意義是將第二個三角形取相似（如右圖）。設這時A、B、C變成x、y、z，F變成F?？紤] A

9、A 的長度。由余弦公式，將,代入就變成：兩邊化簡后同時乘以，并注意到a=x，就可得到原不等式。等號成立當且僅當A與A重合，即兩個三角形相似。內斯比特不等式內斯比特不等式是數學的一條不等式，它說對任何正實數a，b，c，都有：編輯 證明此不等式證明方法很多，例如從平均數不等式我們有：，移項得出：，整理左式：，。因而不等式得證。埃爾德什莫德爾不等式 如圖，埃爾德什-莫德爾不等式說明點O到三個頂點的距離之和（綠色線段）大于到三邊距離之和（藍色線段）的兩倍在幾何學中，埃爾德什-莫德爾不等式是一個二十世紀初期發(fā)現的不等式。埃爾德什-莫德爾不等式說明了：對于任何三角形ABC和其內部的一點O，點O到三角形三條

10、邊的距離之和總是小于或等于點O到三角形的三個頂點的距離之和的一半。埃爾德什-莫德爾不等式可以認為是幾何學中的歐拉定理的一個推廣。歐拉定理聲稱三角形外接圓的半徑總是大于等于內切圓半徑的兩倍。編輯 歷史該不等式最早由埃爾德什在1935年在美國數學月刊上提出，作為第3740號問題。兩年之后，由路易斯莫德爾和D.F.巴羅證明。1957年，卡扎里諾夫提出了一個更簡捷的證明1。之后不斷有更簡潔、更基本的證明出現。1958年班考夫（Bankoff）給出了運用正交投影和相似三角形的證明，1997年和2004年出現了使用面積不等式的證明，1993年和2001年發(fā)現了根據托勒密定理的證明。編輯 證明如右圖，O為三

11、角形ABC中的一個點。O到三角形三邊的垂線分別交三條邊于D、E、F。設線段OA、OB、OC的長度分別是x、y、z，線段OD、OE、OF的長度分別是p、q、r，那么埃爾德什-莫德爾不等式為： 一個初等的證明方式是使用三角函數以及均值不等式。首先，由于OF垂直于AF，OE垂直于AE，A、F、O、E四點共圓且OA為直徑，因此線段（角A為頂點A對應的內角）。過點F、E作關于BC的垂線交BC于X、Y。過O作BC的平行線分別交FX、EY于U、V。由于OF垂直于AF，OE垂直于AE，。于是：另一方面，注意到在直角梯形中FUVE中，斜腰EF的長度大于等于直角腰UV。因此：類似地，還有：，三式相加，得到：根據均

12、值不等式，等等，于是最終得到：這就是埃爾德什-莫德爾不等式。外森比克不等式設三角形的邊長為a,b,c，面積為A，則外森比克不等式（Weitzenbcks inequality）成立。當且僅當三角形為等邊三角形，等號成立。佩多不等式是外森比克不等式的推廣。編輯 證明一除了“所有平方數非負”以外，這個證明不用到其它任何不等式。兩邊取平方根，即得證。舒爾不等式舒爾不等式說明，對于所有的非負實數x、y、z和正數t，都有：當且僅當x = y = z，或其中兩個數相等而另外一個為零時，等號“=”成立。當t是正的偶數時，不等式對所有的實數x、y和z都成立。編輯 證明由于不等式是對稱的，我們不妨設。則不等式顯然成立，這是因為左邊的每一項都是非負的。把它整理，即