第二章 第十二節(jié)導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用及綜合應(yīng)用

1、第十二節(jié) 導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用 及綜合應(yīng)用 考向考向 1 1 利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際生活中的優(yōu)化問題利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際生活中的優(yōu)化問題 【典例【典例1 1】（20132013黃山模擬）某商場(chǎng)銷售某種商品的經(jīng)驗(yàn)表黃山模擬）某商場(chǎng)銷售某種商品的經(jīng)驗(yàn)表 明，該商品每日的銷售量明，該商品每日的銷售量y y（單位：千克）與銷售價(jià)格（單位：千克）與銷售價(jià)格x x（單位：（單位： 元元/ /千克）滿足關(guān)系式千克）滿足關(guān)系式 其中其中3x63xf(x)f(x)f(x)，對(duì)任意正實(shí)數(shù)，對(duì)任意正實(shí)數(shù)a a，則下列式子成立的是，則下列式子成立的是 ( )( ) （A A）f(a)f(a)e ea af(0) f(0) （

2、B B）f(a)f(a)e ea af(0)f(0) （C C） （D D） a f 0 f a e a f 0 f a e (2)(2012(2)(2012遼寧高考遼寧高考) )設(shè)設(shè)f(x)=ln(x+1)+ +ax+b(a,f(x)=ln(x+1)+ +ax+b(a, bR,a,bbR,a,b為常數(shù)為常數(shù)) )，曲線，曲線y=f(x)y=f(x)與直線與直線y= y= 在在(0,0)(0,0)點(diǎn)相切點(diǎn)相切. . 求求a,ba,b的值的值. . 證明證明: :當(dāng)當(dāng)0 x20 x0.a0. g(a)g(0)g(a)g(0)，即，即 即即f(a)ef(a)ea af(0)f(0) x f x e

3、 ， xx x2x fx ef x efx f x 0 (e )e ， a0 f af 0 , ee (2)(2)由由y yf(x)f(x)過過(0,0)(0,0)點(diǎn)，得點(diǎn)，得b b1.1. 由由y yf(x)f(x)在在(0,0)(0,0)點(diǎn)的切線斜率為點(diǎn)的切線斜率為 又又 得得a a0.0. 方法一：方法一： 由基本不等式，當(dāng)由基本不等式，當(dāng)x x0 0時(shí)，時(shí)， 故故 3 2， x0 x0 113 yaa x122 x1 ( ) ， 2 (x 1) 1x 1 1 x2 ， x x11. 2 記記 則則 9x h xf x x6 ， 2 1154 h x x 12 x 1 x6 2 2x 1

4、54 2 x 1 x6 2 x654 4 x1 x6 3 2 x6216 x 1 . 4 x 1x6 令令g(x)g(x)(x(x6)6)3 3216(x216(x1)1)，則當(dāng)，則當(dāng)0 0 x x2 2時(shí)，時(shí)， g(x)g(x)3(x3(x6)6)2 22162160.0. 因此因此g(x)g(x)在在(0,2)(0,2)上是減少的，又由上是減少的，又由g(0)g(0)0 0，得，得 g(x)g(x)0 0，所以，所以h(x)h(x)0.0. 因此因此h(x)h(x)在在(0,2)(0,2)上是減少的，又上是減少的，又h(0)h(0)0 0，得，得h(x)h(x)0.0. 于是當(dāng)于是當(dāng)0 0

5、 x x2 2時(shí)，時(shí)，f(x)f(x)m).m(Mm). 當(dāng)當(dāng)m m0 0時(shí)，方程時(shí)，方程f(x)=0f(x)=0有唯一一個(gè)實(shí)根；有唯一一個(gè)實(shí)根； 當(dāng)當(dāng)m m0 0時(shí)，方程時(shí)，方程f(x)=0f(x)=0有兩個(gè)實(shí)根；有兩個(gè)實(shí)根； 當(dāng)當(dāng)m0m0時(shí)，方程時(shí)，方程f(x)=0f(x)=0有三個(gè)實(shí)根；有三個(gè)實(shí)根； 當(dāng)當(dāng)M M0 0時(shí)，方程時(shí)，方程f(x)=0f(x)=0有兩個(gè)實(shí)根；有兩個(gè)實(shí)根； 當(dāng)當(dāng)M M0 0時(shí)，方程時(shí)，方程f(x)=0f(x)=0有一個(gè)實(shí)根有一個(gè)實(shí)根. . 【變式備選】【變式備選】（20132013安慶模擬）已知函數(shù)安慶模擬）已知函數(shù)f(x)=xf(x)=x3 3-3ax-1, -

6、3ax-1, a0.a0. (1)(1)求求f(x)f(x)的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間. . (2)(2)若若f(x)f(x)在在x=-1x=-1處取得極值，直線處取得極值，直線y=my=m與與y=f(x)y=f(x)的圖像有三個(gè)的圖像有三個(gè) 不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m m的取值范圍的取值范圍. . 【解析】【解析】（1 1）f(x)=3xf(x)=3x2 2-3a=3(x-3a=3(x2 2-a),-a), 當(dāng)當(dāng)a a0 0時(shí)，對(duì)時(shí)，對(duì)xRxR，有，有f(x)f(x)0,0, 故當(dāng)故當(dāng)a a0 0時(shí)，時(shí)，f(x)f(x)的遞增區(qū)間為的遞增區(qū)間為(-,+),(-,+), 當(dāng)當(dāng)a a0 0

7、時(shí)，由時(shí)，由f(x)f(x)0 0解得解得 或或 由由f(x)f(x)0 0解得解得 故當(dāng)故當(dāng)a a0 0時(shí)，時(shí)，f(x)f(x)的遞增區(qū)間為的遞增區(qū)間為 f(x) f(x)的遞的遞 減區(qū)間為減區(qū)間為 xaxa； axa ， ,a ,a, ； a, a . （2 2）因?yàn)椋┮驗(yàn)閒(x)f(x)在在x=-1x=-1處取得極值，處取得極值， 所以所以f(-1)=3f(-1)=3(-1)(-1)2 2-3a=0,a=1.-3a=0,a=1. 所以所以f(x)=xf(x)=x3 3-3x-1,f(x)=3x-3x-1,f(x)=3x2 2-3,-3, 由由f(x)=0f(x)=0解得解得x x1 1=

8、-1,x=-1,x2 2=1.=1. 由（由（1 1）中）中f(x)f(x)單調(diào)性可知，單調(diào)性可知，f(x)f(x)在在x=-1x=-1處取得極大值處取得極大值f(-1) f(-1) =1=1，在，在x=1x=1處取得極小值處取得極小值f(1)=-3.f(1)=-3. 因?yàn)橹本€因?yàn)橹本€y=my=m與函數(shù)與函數(shù)y=f(x)y=f(x)的圖像有三個(gè)不同的交點(diǎn)，的圖像有三個(gè)不同的交點(diǎn)， 結(jié)合結(jié)合f(x)f(x)的單調(diào)性可知，的單調(diào)性可知，m m的取值范圍是的取值范圍是(-3,1).(-3,1). 【滿分指導(dǎo)】【滿分指導(dǎo)】導(dǎo)數(shù)綜合問題的規(guī)范解答導(dǎo)數(shù)綜合問題的規(guī)范解答 【典例】【典例】（1212分）（分

9、）（20122012山東高考）已知函數(shù)山東高考）已知函數(shù)f(x)=f(x)= (k(k為常數(shù)，為常數(shù)，e=2.718 28e=2.718 28是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)) )，曲線，曲線y=f(x)y=f(x)在在 點(diǎn)點(diǎn)(1,f(1)(1,f(1)處的切線與處的切線與x x軸平行軸平行. . (1)(1)求求k k的值的值. . (2)(2)求求f(x)f(x)的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間. . (3)(3)設(shè)設(shè)g(x)=(xg(x)=(x2 2+x)f+x)f(x)(x)，其中，其中f f(x)(x)為為f(x)f(x)的導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù). .證明：證明： 對(duì)任意對(duì)任意x0,g(x)0,g(x)

10、1+e-2 -2. . x ln xk e 【思路點(diǎn)撥】【思路點(diǎn)撥】 已已 知知 條條 件件條條 件件 分分 析析 曲線曲線y=f(x)y=f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)(1,f(1)(1,f(1) 處的切線與處的切線與x x軸平行軸平行 得出得出f(1)=0f(1)=0即可求出即可求出k k的值的值 f(x)=f(x)= 求出求出f(x)f(x)及及f(x)=0f(x)=0的根，再判的根，再判 斷斷f(x)f(x)的符號(hào)的符號(hào) g(x)=g(x)=(x(x2 2+x)+x)f(x)f(x) 直接求直接求g(x)g(x)的最值困難，可對(duì)的最值困難，可對(duì)g(x)g(x) 放縮后，再求最值放縮后，再求最值 x

11、ln xk e 【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】(1)(1)由由f(x)= f(x)= 得得x(0,+)x(0,+)， 得 得 22分分 由曲線由曲線y=f(x)y=f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)(1,f(1)(1,f(1)處的切線與處的切線與x x軸平行可知軸平行可知 f(1)=f(1)= 解得解得k=1.3k=1.3分分 x ln xk e xx 2xx 1 ln xk ln xk eln xke x fx, ee 1 1 ln 1k 1 0 e ， (2)f(x)=(2)f(x)= 令令f(x)=0f(x)=0可得可得x=1x=1， 4 4分分 當(dāng)當(dāng)0 x10 x1x1時(shí)，時(shí)，f(x)=f(x)= 于是于是f

12、(x)f(x)在區(qū)間在區(qū)間(0(0，1)1)上是增加的；在上是增加的；在(1(1，+)+)上是減少的上是減少的. . 66分分 x 1 1 ln x x x0, e ， x 1 1 ln x x 0 e ； x 1 1 ln x x 0. e (3)g(x)=(x(3)g(x)=(x2 2+x)f(x)=(x+1) ,x(0,+)+x)f(x)=(x+1) ,x(0,+)， 因此，對(duì)任意因此，對(duì)任意x0,x0, g(x)1+eg(x)1+e-2 -2等價(jià)于 等價(jià)于1-x-xln x 1-x-xln x0,h(x)h(x)0,h(x)是增加的；是增加的； 當(dāng)當(dāng)x(ex(e-2 -2,+) ,+)

13、時(shí)，時(shí)，h(x)0,h(x)h(x)0,(x)0,(x)(x)是增加的是增加的, , (x)(x)(0)=0,(0)=0, 故故x(0,+)x(0,+)時(shí)，時(shí)，(x)=e(x)=ex x-(x+1)0,-(x+1)0, 即即 1111分分 所以所以1-x-xln x1+e1-x-xln x1+e-2 -2 (1+e 0,g(x)0,g(x)0.a0. (1)(1)求求a a的值的值. . (2)(2)若對(duì)任意的若對(duì)任意的xx0,+)0,+)，有，有f(x)kxf(x)kx2 2成立，求實(shí)數(shù)成立，求實(shí)數(shù)k k 的最小值的最小值. . (3)(3)證明證明 n i 1 2 ln 2n12 nN.

14、2i1 【解析】【解析】(1)f(x)(1)f(x)的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)?-a(-a，+).+). f(x)=f(x)= 由由f(x)=0,f(x)=0,得得x=1-ax=1-a-a.-a. 當(dāng)當(dāng)x x變化時(shí)，變化時(shí)，f(x),f(x)f(x),f(x)的變化情況如表的變化情況如表: : 1xa1 1. xaxa x x (-a(-a，1-a) 1-a) 1-a 1-a (1-a(1-a，+) +) f(x) f(x) - - 0 0 + + f(x) f(x) 極小值極小值 因此，因此，f(x)f(x)在在x=1-ax=1-a處取得最小值，處取得最小值， 故由題意故由題意f(1-a)=1-a

15、=0f(1-a)=1-a=0，所以，所以a=1.a=1. (2)(2)當(dāng)當(dāng)k0k0時(shí)，取時(shí)，取x=1x=1， 有有f(1)=1-ln2f(1)=1-ln20 0，故，故k0k0不合題意不合題意. . 當(dāng)當(dāng)k k0 0時(shí)，令時(shí)，令g(x)=f(x)-kxg(x)=f(x)-kx2 2， 即即g(x)=x-ln(x+1)-kxg(x)=x-ln(x+1)-kx2 2， g(x)=g(x)= 令令g(x)=0,g(x)=0,得得 x2kx12kx 2kx, x1x1 12 1 2k x0,x1. 2k 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 在在(0,+)(0,+)上恒成立上恒成立, ,因此因此 g(x)g(x)在在0,+

16、)0,+)上是減少的上是減少的. . 從而對(duì)于任意的從而對(duì)于任意的xx0 0，+)+)，總有，總有g(shù)(x)g(0)=0g(x)g(0)=0， 即即f(x)kxf(x)kx2 2在在0 0，+)+)上恒成立上恒成立. . 故故k k 符合題意符合題意. . 當(dāng)當(dāng)0 0k k 時(shí)，時(shí)， 對(duì)于對(duì)于 故故g(x)g(x)在在(0, )(0, )上是增加的上是增加的. . 1 k 2 1 2k 0g x0 2k ， 1 2 1 2 12k 0 2k ， 12k x(0)g x0, 2k ， 12k 2k 因此當(dāng)取因此當(dāng)取x x0 0(0, )(0, )時(shí)，時(shí)，g(xg(x0 0) )g(0)=0,g(0

17、)=0, 即即 不成立，故不成立，故 不合題意不合題意. . 綜上，綜上，k k的最小值為的最小值為 (3)(3)當(dāng)當(dāng)n=1n=1時(shí)，不等式左邊時(shí)，不等式左邊=2-ln3=2-ln32=2=右邊右邊. . 所以不等式成立，當(dāng)所以不等式成立，當(dāng)n2n2時(shí)，時(shí)， 12k 2k 2 00 f xkx 1 0k 2 1 . 2 nn i 1i 1 222 fln1 2i12i12i1 （）（） nn i 1i 1 2 ln 2i1ln 2i1 2i1 n i 1 2 ln 2n1 . 2i 1 在在(2)(2)中取中取 得得f(x) (x0)f(x) (x0)， 從而從而 所以有所以有 綜上，綜上，

18、1 k 2 ， 2 x 2 2 222 fiNi2 2i 12i32i 1 2i 1 （）， nn i 1i 1 22 ln 2n1ff 2 2i 12i 1 （） nn i 2i 2 22 f2ln3 2i 12i3 (2i 1) （） n i 2 111 2ln32ln3 12. 2i32i12n1 （） n i 1 2 ln 2n12nN . 2i 1 ， 1.1.函數(shù)函數(shù)f(x)f(x)的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)镽 R，且滿足，且滿足f(2)f(2)2 2，f(x)1f(x)1，則不等，則不等 式式f(x)f(x)x0 x0的解集為的解集為_._. 【解析】【解析】令令g(x)g(x)f(x

19、)f(x)x x， g(x)g(x)f(x)f(x)1 1， 由題意知由題意知g(x)0g(x)0，g(x)g(x)是增加的，是增加的， g(2)g(2)f(2)f(2)2 20 0， g(x)0g(x)0的解集為的解集為(2(2，) 答案：答案：(2(2，) 2 2設(shè)直線設(shè)直線x=tx=t與函數(shù)與函數(shù)f(x)=xf(x)=x2 2,g(x)=ln x,g(x)=ln x的圖像分別交于點(diǎn)的圖像分別交于點(diǎn) M,NM,N，則當(dāng)，則當(dāng)|MN|MN|達(dá)到最小時(shí)達(dá)到最小時(shí)t t的值為的值為_._. 【解析】【解析】由題意知由題意知|MN|=x|MN|=x2 2-ln x,x-ln x,x0,0, 不妨令不妨令h(x)=xh(x)=x2 2-ln x-ln x，則令，則令h(x)=h(x)= 解得解得x=x= 因因x(0, )x(0, )時(shí)，時(shí)，h(x)h(x)0 0， 當(dāng)當(dāng)x( ,+)x( ,+)時(shí)，時(shí)，h(x)h(x)0,0, 所以當(dāng)所以當(dāng)x= x= 時(shí)，時(shí)，|MN|MN|達(dá)到最小此時(shí)達(dá)到最小此時(shí)t=t= 答案：答案： 1 2x0 x ， 2 , 2 2 2 2 2 2 2 2 . 2 2 2 3.3.設(shè)設(shè)a a0 0，函數(shù)，函數(shù)f(x)=x+ g(x)=x-ln xf(x)=x+ g(x)