魏振國復(fù)數(shù)教案

1、高中課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)選修223.1.1數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的概念一、教學(xué)內(nèi)容和內(nèi)容解析 教學(xué)內(nèi)容：數(shù)系的擴(kuò)充，虛數(shù)的引入，復(fù)數(shù)的概念 教學(xué)內(nèi)容解析：數(shù)的概念發(fā)展的動(dòng)力來自于兩方面，一方面是生產(chǎn)、生活的需要，另一方面是數(shù)學(xué)知識(shí)的本身發(fā)展和研究的需要。復(fù)數(shù)的引入是中學(xué)階段數(shù)系的又一次擴(kuò)充，它一方面解決了數(shù)學(xué)中負(fù)數(shù)不能開偶次方問題，另一方面也解釋了許多自然現(xiàn)象（如光學(xué)中的復(fù)振幅等）通過分析、概括、類比、發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造的過程引入復(fù)數(shù)以后，這不僅可以使學(xué)生對于數(shù)的概念有進(jìn)一步的、較完整的認(rèn)識(shí)，更能使學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)研究的方法，感受到數(shù)學(xué)文化的魅力。二、教學(xué)目標(biāo)和目標(biāo)解析教學(xué)目標(biāo)：通過數(shù)系的擴(kuò)充過程使學(xué)生了解推動(dòng)數(shù)系發(fā)

2、展的兩個(gè)主要原因，逐步明確復(fù)數(shù)的引入主要解決負(fù)數(shù)不能開偶次方問題，從而得出虛數(shù)單位的定義及性質(zhì)，在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步掌握復(fù)數(shù)的定義及復(fù)數(shù)的分類 教學(xué)目標(biāo)解析：在學(xué)習(xí)本節(jié)課的過程中，數(shù)系的擴(kuò)充過程是學(xué)生認(rèn)知的基礎(chǔ)，復(fù)數(shù)的引入是本節(jié)課的關(guān)鍵。因?yàn)閷W(xué)生只有明確復(fù)數(shù)解決什么問題，才能定義虛數(shù)的概念，進(jìn)而得到復(fù)數(shù)的概念。因此要通過設(shè)置問題，幫助學(xué)生自己意識(shí)到引入復(fù)數(shù)的必要性，自己發(fā)現(xiàn)復(fù)數(shù)要解決的問題，從而學(xué)生積極主動(dòng)地建構(gòu)虛數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的分類，體會(huì)人類理性思維在數(shù)系擴(kuò)充中的作用。復(fù)數(shù)的概念是整個(gè)復(fù)數(shù)內(nèi)容的基礎(chǔ)，復(fù)數(shù)的有關(guān)概念都是圍繞復(fù)數(shù)的代數(shù)表示形式展開的。虛數(shù)單位、實(shí)部、虛部的命名，復(fù)數(shù)相

3、等的充要條件，以及虛數(shù)、純虛數(shù)等概念的理解，都應(yīng)促進(jìn)對復(fù)數(shù)實(shí)質(zhì)的理解，即復(fù)數(shù)實(shí)際上是一有序?qū)崝?shù)對。三、教學(xué)問題診斷分析學(xué)生可能會(huì)在兩個(gè)地方存在問題，第一，在現(xiàn)實(shí)生活中沒有任何事物支持虛數(shù)，學(xué)生會(huì)懷疑引入虛數(shù)的必要性，難道就是為了方程有解，就讓負(fù)數(shù)可以開方嗎？就引入虛無飄渺的數(shù)嗎？第二，學(xué)生對數(shù)系擴(kuò)充的知識(shí)不熟悉，不會(huì)借鑒前面數(shù)集的擴(kuò)充方式，并加以推廣，因此將實(shí)數(shù)系擴(kuò)充到復(fù)數(shù)系的過程有一定的困難，也就是對虛數(shù)單位的引入難以理解，以及虛數(shù)單位和實(shí)數(shù)進(jìn)行四則運(yùn)算也不容易接受。四、教學(xué)支持條件分析從小學(xué)到現(xiàn)在，學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷過三次數(shù)系的擴(kuò)充，對于數(shù)的發(fā)展有一些初步的認(rèn)識(shí)，但是還沒有形成完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)，通

4、過師生共同的回顧三次數(shù)系的擴(kuò)充，幫助學(xué)生再認(rèn)識(shí)數(shù)的發(fā)展歷程，并引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)每一次數(shù)系的擴(kuò)充都解決了原有數(shù)系中某種運(yùn)算不是永遠(yuǎn)可以實(shí)施的矛盾，從而得到虛數(shù)引入的起點(diǎn)和方法。五、教學(xué)過程設(shè)計(jì)（一）教學(xué)基本流程數(shù)系擴(kuò)充的歷史虛數(shù)的引入復(fù)數(shù)的定義及其性質(zhì)目標(biāo)檢測了解復(fù)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用 （二）教學(xué)情景1數(shù)系擴(kuò)充的歷史問題1：結(jié)合材料和自己認(rèn)識(shí)數(shù)的過程，回顧數(shù)的發(fā)展歷程。概括：（1）（2） R Q ZN設(shè)計(jì)意圖：明確數(shù)的發(fā)展過程，以及數(shù)集之間的關(guān)系，為新課作好鋪墊。問題2：試著分析自然數(shù)產(chǎn)生的原因。每一次引入新數(shù)，擴(kuò)大數(shù)系的原因又是什么呢？概括：（1）生產(chǎn)實(shí)踐推動(dòng)數(shù)的發(fā)展（2）每一次引入新數(shù)，都相應(yīng)的有一些新

5、的記號(hào)表示新數(shù)。設(shè)計(jì)意圖：使學(xué)生了解數(shù)的概念是從實(shí)踐中產(chǎn)生和發(fā)展起來的。正如同學(xué)們所說的，數(shù)的概念是從實(shí)踐中產(chǎn)生和發(fā)展起來的，其實(shí)，數(shù)的這種不斷發(fā)展也是數(shù)學(xué)本身的一種需要。人類智慧的卓越之處就在于他們通過一些運(yùn)算建立了數(shù)與數(shù)之間的聯(lián)系，如果沒有運(yùn)算，數(shù)不過是一些孤立的符號(hào)，毫無意義。那么我們不妨從運(yùn)算的角度，再來看數(shù)的不斷擴(kuò)充。問題3：在以下這幾個(gè)數(shù)集中，任意兩個(gè)數(shù)對于加、減、乘、除、乘方、開方這六種運(yùn)算，所得的結(jié)果是否仍然屬于這個(gè)數(shù)集呢？請你把結(jié)論填入下面的表格。 運(yùn)算數(shù)集加法減法乘法除法乘方開方正整數(shù)集是否是否是否整數(shù)集是是是否是否有理數(shù)集是是是是是否實(shí)數(shù)集是是是是是否設(shè)計(jì)意圖：使學(xué)生了解

6、數(shù)的發(fā)展也是由于數(shù)學(xué)本身的一種需要。問題4：觀察表格，你能從運(yùn)算的角度，來說明引入負(fù)數(shù)，分?jǐn)?shù)，以及無理數(shù)有什么意義嗎？發(fā)現(xiàn)：數(shù)集不斷擴(kuò)大，但是原有的運(yùn)算律仍然適用，引入新數(shù)后使得原來的某種不可以實(shí)施的運(yùn)算變得可行。設(shè)計(jì)意圖：從數(shù)學(xué)本身發(fā)展的需要，來探究數(shù)系擴(kuò)充的原因。2虛數(shù)的引入問題5：在實(shí)數(shù)集中，還有什么運(yùn)算問題不能徹底解決呢？能解決嗎？怎么解決？ 討論：負(fù)數(shù)開偶次方的問題，引入新數(shù)虛數(shù)。設(shè)計(jì)意圖：從運(yùn)算的角度讓學(xué)生意識(shí)到需要引入新數(shù)，將實(shí)數(shù)集加以擴(kuò)充。負(fù)數(shù)可以開方了，那么這樣的數(shù)都有意義了，由于虛數(shù)仍適用原有的運(yùn)算律，那么又可以把表示成的形式問題6：那么首先應(yīng)該引入哪一個(gè)虛數(shù)？ 概括：（1

7、）；（2）設(shè)計(jì)意圖：每一種新數(shù)的引入，同時(shí)也帶來了新的記號(hào)，那么虛數(shù)的記號(hào)是什么呢？任何一個(gè)負(fù)數(shù)的平方根都可以表示成的形式。不妨把看作虛數(shù)單位，記作，即，規(guī)定。問題7：你還能說出其他的虛數(shù)嗎？怎么得到的呢？能用一個(gè)統(tǒng)一的方式來表示這些虛數(shù)嗎？ 歸納：通過運(yùn)算律得到，虛數(shù)的代數(shù)表示設(shè)計(jì)意圖： 讓學(xué)生體會(huì)，引入了虛數(shù)以后，負(fù)數(shù)可以開方了還不夠，對于一個(gè)虛數(shù)來說，它可以和實(shí)數(shù)進(jìn)行四則運(yùn)算，即實(shí)數(shù)系擴(kuò)充以后，原有的四則運(yùn)算仍然適用。正是由于這些運(yùn)算，建立了實(shí)數(shù)與虛數(shù)的關(guān)系，從而得出虛數(shù)的表示方法，任何一個(gè)虛數(shù)都可以表示成的形式。3復(fù)數(shù)的定義問題8：將這些虛數(shù)添加到實(shí)數(shù)集中，就完成了數(shù)系的又一次擴(kuò)充。新

8、的數(shù)系，我們把它稱作復(fù)數(shù)系，這些數(shù)組成的集合叫做復(fù)數(shù)集，記作，該怎樣用描述法表示集合呢？歸納：復(fù)數(shù)的定義，表示形式設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生類比之前數(shù)系的擴(kuò)充，自主探究復(fù)數(shù)的一般形式。在復(fù)數(shù)集中，既又有實(shí)數(shù)又有虛數(shù)，那么這個(gè)形式應(yīng)該包含這樣兩類數(shù)， 從而得出結(jié)論形如 的數(shù)，我們把它們叫做復(fù)數(shù)，其中叫做復(fù)數(shù)的實(shí)部，叫做復(fù)數(shù)的虛部。問題9：實(shí)數(shù)與虛數(shù)組成了復(fù)數(shù)，那么這種形式，什么時(shí)候表示實(shí)數(shù)，什么時(shí)候表示虛數(shù)呢？歸納：設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生對復(fù)數(shù)進(jìn)行分類，鞏固定義。4目標(biāo)檢測例題1.判斷下列各數(shù)哪些是實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)，并指出它們各自的實(shí)部和虛部。例題2當(dāng)取何實(shí)數(shù)時(shí)，復(fù)數(shù)是：（1）實(shí)數(shù) （2） 虛數(shù) （3）純虛數(shù)

9、（4）零設(shè)計(jì)意圖：夯實(shí)定義，讓學(xué)生清楚復(fù)數(shù)的分類，以及復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，并總結(jié)結(jié)論：問題10： 思考成立的充要條件設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生問題轉(zhuǎn)化能力。問題轉(zhuǎn)化成，得到結(jié)論問題11：已知，求：（1）；（2）。設(shè)計(jì)意圖：通過問題引出虛數(shù)發(fā)展的歷史，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)系擴(kuò)充的必要性。5復(fù)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用經(jīng)過許多數(shù)學(xué)家的深入研究與探索，復(fù)數(shù)理論越來越完善，它的重要性也越來越明顯。在處理很多數(shù)學(xué)問題，如代數(shù)、分析、幾何與數(shù)論等問題中，皆可看到復(fù)數(shù)的蹤跡。它不僅對于數(shù)學(xué)本身的發(fā)展有著極其重要的意義，而且復(fù)數(shù)還廣泛的應(yīng)用于物理學(xué)的各個(gè)分支，比如電學(xué)，工程力學(xué)，光學(xué)中的光的復(fù)振幅等。在電磁場和物質(zhì)的相互作用中，復(fù)數(shù)的虛部表