2、狹義相對(duì)論中萬(wàn)有引力也是保守力

1、 2、狹義相對(duì)論中萬(wàn)有引力也是保守力自然界中的許多力，例如重力彈性力靜電力等都是保守力，摩擦力流體的粘性力等都是非保守力。引力是保守力，這是引力最重要的一個(gè)物理性質(zhì)，這個(gè)性質(zhì)在牛頓力學(xué)里已被證明了?，F(xiàn)在有一個(gè)問(wèn)題，引力是保守力這一性質(zhì)，在相對(duì)論的情況下，還能夠成立嗎？對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，我們可以證明一個(gè)定理。定理1：任意一個(gè)靜態(tài)球?qū)ΨQ星球的引力場(chǎng)是一個(gè)保守力場(chǎng)，這一結(jié)論，無(wú)論是對(duì)牛頓力學(xué)還是對(duì)相對(duì)論，都是正確的。證明：首先證明在牛頓力學(xué)的情況下定理1成立。給定一個(gè)質(zhì)量為M，半徑為R的星球，并假設(shè)星球的質(zhì)量是均勻分布的，再給定一個(gè)靜止質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)，M，下面研究質(zhì)點(diǎn)在星球引力作用下的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，由于我們討

2、論的引力場(chǎng)是球?qū)ΨQ的情況，因此可進(jìn)一步假設(shè)質(zhì)點(diǎn)只在星球的徑向做直線運(yùn)動(dòng)。首先將球坐標(biāo)系固定在星球M上，并令坐標(biāo)原點(diǎn)與星球球心相重合。在牛頓力學(xué)中，質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量是一個(gè)常量，根據(jù)牛頓第二定律和萬(wàn)有引力定律，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程為： (1)牛頓引力場(chǎng)的能量守恒方程 (2),從能量守恒方程（2）可以得出，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)其動(dòng)能與勢(shì)能之和等于常數(shù)，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)只同質(zhì)點(diǎn)的起始和終了位置有關(guān)，而同質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑無(wú)關(guān)。這表明在牛頓力學(xué)情況下，引力場(chǎng)是一個(gè)保守力場(chǎng)。下面討論相對(duì)論的情況。我們知道，牛頓理論只能用于質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度遠(yuǎn)小于光速的情況。當(dāng)引力場(chǎng)很強(qiáng)時(shí)，在引力作用下的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度與光速相比不再是一個(gè)可忽略的小量，此時(shí)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量也

3、不再是一個(gè)常量，而是一個(gè)隨速度變化的變量。在這種情況下，需要對(duì)牛頓力學(xué)的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程（1）進(jìn)行修正，我們需要把狹義相對(duì)論中質(zhì)量隨速度變化的規(guī)律考慮進(jìn)去，我們可以得出如下形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程： （3），根據(jù)狹義相對(duì)論的質(zhì)量公式： (4),將公式（4）代入公式（3），整理后可得： (5),公式（5）是考慮了相對(duì)論效應(yīng)后，質(zhì)點(diǎn)在星球引力作用下的運(yùn)動(dòng)方程，我們可將公式（3-5）的右端理解為萬(wàn)有引力在相對(duì)論中的推廣，即： (6),公式（6）中的F，實(shí)際上并不全是引力，其中也包括由質(zhì)量變化引起的慣性附加力，不過(guò)根據(jù)相對(duì)論中的等效原理，慣性力可以等效于引力，因此，今后我們將F稱為等效引力。由于在靜態(tài)球?qū)ΨQ情況

4、下，速度u只是r的函數(shù)，因此我們有： (7),將（7）代入（5）可得： （8）,對(duì)上式積分，同時(shí)代入邊界條件：r =時(shí)，u=0積分后可得： (9),由公式（9）可得 (10),將公式（10）代到公式（5）中 (11),將公式（10）代入公式（6），我們又可以得到等效引力的另一種形式 (12) 從引力公式（12）可以看出，F(xiàn)只是位置r的函數(shù)，因此也存在一個(gè)等效引力勢(shì)，它應(yīng)滿足：（13），對(duì)上式積分，并引入邊界條件r =時(shí)，=0于是得到： （14）,將（13）代入到運(yùn)動(dòng)方程（11）中，則相對(duì)論引力場(chǎng)中的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程為： （15）,對(duì)上式進(jìn)行積分，利用公式（7）并注意邊界條件：r =時(shí)， = 0,

5、= 0,最后得到： (16).方程(16)就是考慮了相對(duì)論效應(yīng)后的能量守恒方程，它與牛頓力學(xué)的能量守恒方程在形式上是相同的，二者的區(qū)別僅在于，這里用相對(duì)論的引力勢(shì)代替了牛頓引力勢(shì)。我們知道，牛頓引力場(chǎng)是一個(gè)保守力場(chǎng)。現(xiàn)在，由（16）我們不難得出，相對(duì)論的引力場(chǎng)也是一個(gè)保守力場(chǎng)。在牛頓力學(xué)里，能量守恒方程的含義是，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)其動(dòng)能與勢(shì)能之和等于常數(shù)，在相對(duì)論情況下則變成，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的等效動(dòng)能與等效勢(shì)能之和等于常數(shù)。總之，對(duì)于靜態(tài)球?qū)ΨQ的相對(duì)論引力場(chǎng)，我們可以證明其能量守恒方程與牛頓力學(xué)的方程在形式上完全相同。因此，任意靜態(tài)球?qū)ΨQ星球的引力場(chǎng)是一個(gè)保守力場(chǎng)，這個(gè)結(jié)論無(wú)論是牛頓力學(xué)還是相對(duì)論均成立，于

6、是定理1得證。引力是保守力是本書(shū)給出的一個(gè)重要結(jié)果，因此，有必要對(duì)這一結(jié)果做一些物理解釋。當(dāng)質(zhì)點(diǎn)在一個(gè)星球的引力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，我們可以把質(zhì)點(diǎn)和星球看作一個(gè)系統(tǒng)。由于這個(gè)系統(tǒng)沒(méi)有受到外力的作用，因此外力所作的功等于零。另一方面，質(zhì)點(diǎn)在引力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，沒(méi)有光電熱等其他形式的能量產(chǎn)生，因此，這是一個(gè)機(jī)械能守恒的系統(tǒng)。對(duì)于質(zhì)點(diǎn)而言，機(jī)械能守恒的含義是，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，其等效動(dòng)能與等效勢(shì)能之和（機(jī)械能）等于常數(shù)，注意這里所說(shuō)的等效動(dòng)能等于，這個(gè)結(jié)論，無(wú)論是牛頓力學(xué)還是相對(duì)論，都是成立的。以上我們從理論上論證了引力是保守力，實(shí)際上這個(gè)結(jié)果是有天文觀測(cè)依據(jù)的。我們知道，宇宙中有大量的行星圍繞著恒星運(yùn)行，宇宙中還存在著大量的雙星。如果引力場(chǎng)不是保守力場(chǎng)，那么，行星每運(yùn)行一周，就要損失一部分能量，因此，無(wú)需多久行星必然墜落到恒星表面。同樣道理，如果引力場(chǎng)不是保守力場(chǎng)，那么無(wú)需多久，兩個(gè)圍繞質(zhì)心運(yùn)行的雙星必