高等物理光學(xué)-2-1-無限大均勻各向同性介質(zhì)中的光波場

1、高等物理光學(xué)高等物理光學(xué) 無限大均勻各向同性介質(zhì)無限大均勻各向同性介質(zhì) 中的光波場中的光波場 平面波、球面波、柱面波平面波、球面波、柱面波 (2-1) 無限大均勻各向同性介質(zhì)中的光波場無限大均勻各向同性介質(zhì)中的光波場 本章的研究內(nèi)容：本章的研究內(nèi)容： 由電磁波動方程及相應(yīng)的物質(zhì)方程，原則上可以由電磁波動方程及相應(yīng)的物質(zhì)方程，原則上可以 得到任意邊界條件下光波場的解。任何復(fù)雜形式的光得到任意邊界條件下光波場的解。任何復(fù)雜形式的光 波場總是由一些簡單形式的光波場的線性疊加構(gòu)成，波場總是由一些簡單形式的光波場的線性疊加構(gòu)成， 如平面波，球面波。因此討論電磁場的平面波解和球如平面波，球面波。因此討論電

2、磁場的平面波解和球 面波解具有非常重要的意義。本章討論了在均勻各項面波解具有非常重要的意義。本章討論了在均勻各項 同性介質(zhì)的無限大空間中，平面波及球面波的傳播特同性介質(zhì)的無限大空間中，平面波及球面波的傳播特 性。性。 利用波動微分方程，可求出利用波動微分方程，可求出E、B的多種形式的解。如平的多種形式的解。如平 面波、球面波和柱面波。根據(jù)傅里葉變換，可將解分解成面波、球面波和柱面波。根據(jù)傅里葉變換，可將解分解成 各種頻率的簡諧波及其疊加。下面以平面波為例求解波方各種頻率的簡諧波及其疊加。下面以平面波為例求解波方 程。程。 （一）波動方程的平面波解（一）波動方程的平面波解 平面電磁波是在與傳播方

3、向正交的平面上各點電場或磁場平面電磁波是在與傳播方向正交的平面上各點電場或磁場 具有相同值的波。設(shè)平面波沿直角坐標(biāo)系的具有相同值的波。設(shè)平面波沿直角坐標(biāo)系的Z Z向傳播，則向傳播，則E、 B僅是僅是z z和和t t的函數(shù)。即波動方程變?yōu)椋旱暮瘮?shù)。即波動方程變?yōu)椋?2222 222222 11 0 0 , EEBB zvtzvt zz tt vv 用行波法求解,令代入上式積分得到 波動方程通解. 1.1 平面電磁波平面電磁波 1212 12 11 , zzzz EftftBftft vvvv zz fftt vv zz EftBft vv 為兩個分別以和為自變量的任意函數(shù), 表示以速度v沿z軸正

4、負(fù)方向傳播的平面波.取z正向時: 這正是行波的表達(dá)式。表明源點的振動經(jīng)過一定的時這正是行波的表達(dá)式。表明源點的振動經(jīng)過一定的時 間推遲才傳播到場點。表明電磁場是逐點傳播的。間推遲才傳播到場點。表明電磁場是逐點傳播的。 （二）平面簡諧電磁波的波動公式（二）平面簡諧電磁波的波動公式 上面求出的的波動方程的通解，其特解將取決于源的波動上面求出的的波動方程的通解，其特解將取決于源的波動 形式，現(xiàn)取簡形式，現(xiàn)取簡諧振動作為波動方程的特解，則平面簡諧電諧振動作為波動方程的特解，則平面簡諧電 磁波的波動公式為：磁波的波動公式為： 平面簡諧電磁波的波動公式為：平面簡諧電磁波的波動公式為： cos() cos(

5、) , () zz EAtBAt vv A A z vt v 其中分別為電場和磁場的振幅矢量,表明平面波的偏振方向和大小. 是平面波在介質(zhì)中的傳速, 是角頻率,為相位,它是時間和空 間的函數(shù),表明不同時刻平面波在空間各點的振動狀態(tài). 0 0 22T vT cT n （介質(zhì)中） （真空中） 利用物理量之間的關(guān)系：利用物理量之間的關(guān)系： ()() () FrequencyT Period Wavelength 是振動頻率，為振動周期， 為光波波長. 引入波傳播方向上的波矢量引入波傳播方向上的波矢量 k vk 2 其大小其大小k k（稱為空間角頻率或波數(shù)）為：（稱為空間角頻率或波數(shù)）為： )(cos

6、tkzAE 所以，波動公式可寫成所以，波動公式可寫成 此即為一個具有單一頻率，在時間和空間上無限延續(xù)的波。此即為一個具有單一頻率，在時間和空間上無限延續(xù)的波。 當(dāng)當(dāng)t t一定時，則一定時，則E是以波長是以波長為周期的周期分布，可以用與為周期的周期分布，可以用與 有關(guān)的物理量來描述它的周期性。有關(guān)的物理量來描述它的周期性。 當(dāng)當(dāng)z z一定時，則波在該點是以時間周期一定時，則波在該點是以時間周期T T為周期的一個周期振為周期的一個周期振 動，可以用與動，可以用與T T有關(guān)的物理量來描述其周期性。有關(guān)的物理量來描述其周期性。 而且空間周期性和時間周期性之間通過傳播速度而且空間周期性和時間周期性之間通

7、過傳播速度v由下式相由下式相 聯(lián)系：聯(lián)系： vk 2 復(fù)數(shù)形式的平面簡諧電磁波的波動公式：復(fù)數(shù)形式的平面簡諧電磁波的波動公式： exp () exp () EAi k rt BAi k rt 單色光波波動公式最顯著的特點是它的單色光波波動公式最顯著的特點是它的時間周期時間周期 性和空間周期性性和空間周期性，它表示單色光波是一種時間無，它表示單色光波是一種時間無 限延續(xù)、空間無限延伸的波動，而任何時間周期限延續(xù)、空間無限延伸的波動，而任何時間周期 性和空間周期性的破壞，都意味著單色光波單色性和空間周期性的破壞，都意味著單色光波單色 性的破壞。性的破壞。 1/ k 在空間域中（時間軸為某 一時刻）

8、，參量： 、 和空間角頻率。 、及角頻率、參量： ）在時間域中（空間某點 T corv cT vT 0 k P(x,y,z) x y z r o s=r k tzyxkAE tAE coscoscoscos )cos( rk 沿空間任一方向k傳播的平面波 )(exptiAErk 平面波的復(fù)數(shù)形式： 復(fù)振幅：只關(guān)心光波在 空間的分布。 )exp(rk iAE 復(fù)振幅： 亥姆霍茲亥姆霍茲( (德國德國182l-1894)182l-1894) 生于波茨坦。生于波茨坦。1838-18421838-1842年在柏林弗雷德里克威廉年在柏林弗雷德里克威廉 皇家醫(yī)學(xué)院學(xué)習(xí)?；始裔t(yī)學(xué)院學(xué)習(xí)。1843-18481

9、843-1848年在波茨坦任軍醫(yī)。年在波茨坦任軍醫(yī)。18491849 年成為柯尼斯堡大學(xué)生理學(xué)教授。年成為柯尼斯堡大學(xué)生理學(xué)教授。18551855年任波恩大學(xué)年任波恩大學(xué) 解剖學(xué)和生理學(xué)教授。解剖學(xué)和生理學(xué)教授。18591859年任海德堡大學(xué)生理學(xué)教年任海德堡大學(xué)生理學(xué)教 授。授。18711871年任柏林大學(xué)物理學(xué)教授。年任柏林大學(xué)物理學(xué)教授。18881888年任夏洛滕年任夏洛滕 堡物理技術(shù)研究所所長。堡物理技術(shù)研究所所長。18601860年被選為英國皇家學(xué)會年被選為英國皇家學(xué)會 會員，會員，18731873年獲該會科普利獎?wù)?。還是愛丁堡皇家學(xué)年獲該會科普利獎?wù)?。還是愛丁堡皇家學(xué) 會和其他一些

10、學(xué)會的會員。會和其他一些學(xué)會的會員。 亥姆霍茲在許多科學(xué)領(lǐng)域取得重要成就。亥姆霍茲在許多科學(xué)領(lǐng)域取得重要成就。18471847年年 發(fā)表關(guān)于能量守恒和轉(zhuǎn)換定律的重要著作發(fā)表關(guān)于能量守恒和轉(zhuǎn)換定律的重要著作論力的守論力的守 恒恒，成為能量守恒學(xué)說的創(chuàng)立者之一。研究人眼的，成為能量守恒學(xué)說的創(chuàng)立者之一。研究人眼的 光學(xué)結(jié)構(gòu)，色視覺和色盲，發(fā)明了檢眼鏡。正確解釋光學(xué)結(jié)構(gòu)，色視覺和色盲，發(fā)明了檢眼鏡。正確解釋 耳骨的機(jī)制，研究耳蝸功能。把最小作用原理應(yīng)用到耳骨的機(jī)制，研究耳蝸功能。把最小作用原理應(yīng)用到 電動力學(xué)中，發(fā)展了電學(xué)理論，并研究電在導(dǎo)體中的電動力學(xué)中，發(fā)展了電學(xué)理論，并研究電在導(dǎo)體中的 運動。

11、對熱力學(xué)也有貢獻(xiàn)，首先把熱力學(xué)原理應(yīng)用于運動。對熱力學(xué)也有貢獻(xiàn)，首先把熱力學(xué)原理應(yīng)用于 化學(xué)方面?；瘜W(xué)方面。 亥姆霍茲除上述著作外，還有亥姆霍茲除上述著作外，還有生理光學(xué)手冊生理光學(xué)手冊。 1.1 平面電磁波平面電磁波 平面波的特點是其場量平面波的特點是其場量E和和B在在 垂直于傳播方向的平面上各點的振垂直于傳播方向的平面上各點的振 幅和相位取相同值。見圖，若設(shè)單幅和相位取相同值。見圖，若設(shè)單 色平面波沿色平面波沿x軸方向傳播，則軸方向傳播，則E和和B僅僅 與與x和和t有關(guān)，而與有關(guān)，而與y,z無關(guān)，帶入亥無關(guān)，帶入亥 姆霍茲方程得：姆霍茲方程得： 0 d d 2 2 2 xEkxE x 上式

12、的一個解為上式的一個解為： ikx eExE 0 或或 * 0 xEeExE ikx x k y,z 等相位面和等振幅面等相位面和等振幅面 1.1 平面電磁波平面電磁波 ikx eExE 0 推廣推廣 rik eErE 0 rkErEcos 0 考慮到時間變化部分：考慮到時間變化部分： rkti eErE 0 rktErEcos 0 x y z r k p(x,y,z) 單色平面波的等相面與相速度單色平面波的等相面與相速度 波矢量k與位置坐標(biāo)矢量r的點乘k.r反映了電磁波在空間傳播 過程中的相位延遲大小，故通常將k.r- t = 常數(shù)的空間點的集 合稱為等相等相(位位)面面。等相面沿其法線方向

13、移動的速度 稱為相 速度，其大小為： 由于平面波的等相面在空間是一簇平行平面，且與波矢量k 方向處處正交，故其相速度的方向與k相同，大小為： 由此可見，平面波的相速度就是波動方程中出現(xiàn)的光速v， 不過需要注意的是，只有在各向同性的均勻介質(zhì)中，光速才和只有在各向同性的均勻介質(zhì)中，光速才和 相速度相等。相速度相等。 v dt dr v kdt dr v 1）平面波）平面波：波前或等相面為平面，且波沿等相面法線即波矢方向傳播。在同：波前或等相面為平面，且波沿等相面法線即波矢方向傳播。在同 一時刻，相位一時刻，相位kx=常數(shù)常數(shù)RS，滿足此關(guān)系的，滿足此關(guān)系的x構(gòu)成等相面，即與構(gòu)成等相面，即與k垂直的

14、平面垂直的平面S。 00 00 () () ( , )( ) ( , )( ) i tik xi ti k xt i tik xi ti k xt E x tE x eE eeE e B x tB x eB eeB e 亥姆霍茲方程解出的亥姆霍茲方程解出的E和和B有各種形式有各種形式，其中，其中最簡最簡 單、最基本的形式為平面波解單、最基本的形式為平面波解。因亥姆霍茲方程。因亥姆霍茲方程 導(dǎo)出的前提是頻率一定，所以這里所說的平面波導(dǎo)出的前提是頻率一定，所以這里所說的平面波 實質(zhì)是實質(zhì)是平面單色波。研究平面波解的意義平面單色波。研究平面波解的意義：簡簡 單、直觀、物理意義明顯；一般形式的波都可單

15、、直觀、物理意義明顯；一般形式的波都可 視為不同頻率平面波的線性疊加。視為不同頻率平面波的線性疊加。遠(yuǎn)離輻射天遠(yuǎn)離輻射天 線區(qū)域的電磁波都可看作平面波。線區(qū)域的電磁波都可看作平面波。 k s R x S o 1.1 平面電磁波平面電磁波 2)平面波的特性平面波的特性 a.波長與周期：波長波長與周期：波長相位差為相位差為2 的兩個等相面間的距離的兩個等相面間的距離 波長、波速、頻率間的關(guān)系：波長、波速、頻率間的關(guān)系： b.橫波特性橫波特性(TEM波）：由單色波的麥克斯韋方程波）：由單色波的麥克斯韋方程 E=0、B=0 ()22 / ss k RRkk 1212 , =, kT Tf v v v

16、v 00 =00 0 00 =00 0 =()() 00 =()() 00 ik xik xik x ik x ik xik xik x ik x EE eEeeE iek Ek E BB eBeeB iek Bk B （） （） 表示電場、磁場表示電場、磁場 波動均是橫波，波動均是橫波， E、B可在垂直于可在垂直于 k的任意方向上的任意方向上 振蕩，稱為橫電振蕩，稱為橫電 磁波。磁波。 c.B與與E的關(guān)系的關(guān)系 () 0 | | i k xt iik BEE eE kE BE v v E k B B與與E同相位；同相位；E、B、k構(gòu)構(gòu) 成右手螺旋關(guān)系；成右手螺旋關(guān)系；E/B為為 波速波速 概

17、括平面電磁波的特性如下：概括平面電磁波的特性如下： 1.電磁波為橫波，電磁波為橫波，E和和B都與傳播方向垂直；都與傳播方向垂直； 2.E和和B互相垂直，互相垂直，E B沿波矢沿波矢k方向；方向； 3.E和和B同相，振幅比為同相，振幅比為v 式中式中 r和和 r分別代表介質(zhì)的相對電容率和相對磁導(dǎo)率，由于它們分別代表介質(zhì)的相對電容率和相對磁導(dǎo)率，由于它們 是頻率是頻率 的函數(shù)，因此在介質(zhì)中不同頻率的電磁波有不同的相速的函數(shù)，因此在介質(zhì)中不同頻率的電磁波有不同的相速 度，這就是介質(zhì)的色散現(xiàn)象。度，這就是介質(zhì)的色散現(xiàn)象。 00 11 rrrr c v v 當(dāng)電磁波在真空中傳播時，其傳播速度為當(dāng)電磁波在

18、真空中傳播時，其傳播速度為 00 1 c 電磁波在真空中的傳播速度為電磁波在真空中的傳播速度為 smc/1099794. 2 8 這一數(shù)值與實驗測定的光在真空中的傳播速度一致，說這一數(shù)值與實驗測定的光在真空中的傳播速度一致，說 明光波是電磁波。明光波是電磁波。 電磁波具有與光波相同的反射、折射、相干、衍射和偏電磁波具有與光波相同的反射、折射、相干、衍射和偏 振特性，它的傳播速度等于光速。振特性，它的傳播速度等于光速。 在介質(zhì)中，引入相對介電常數(shù)在介質(zhì)中，引入相對介電常數(shù) 0 r 和相對磁導(dǎo)率和相對磁導(dǎo)率 0 r 得電磁波的速度得電磁波的速度 rr c v 稱電磁波在真空中的速度與介質(zhì)中速度的比

19、值為介質(zhì)對電稱電磁波在真空中的速度與介質(zhì)中速度的比值為介質(zhì)對電 磁波的折射率：磁波的折射率： rr vcn 3800 紫紫 7600 紅紅 380450500550600650760nm 紫紫 藍(lán)藍(lán) 綠綠 黃黃 橙橙 紅紅 可見光可見光, ,即能引起人的視覺的電磁波。即能引起人的視覺的電磁波。 它的頻率在它的頻率在3.83.8101014 14 7.67.6101014 14Hz Hz之間之間, ,相應(yīng)真空中的相應(yīng)真空中的 波長在波長在7600760038003800之間。之間。 不同頻率的光，顏色也不同。頻率與顏色如下表所示。不同頻率的光，顏色也不同。頻率與顏色如下表所示。 沿空間任意方向傳

20、播的平面波沿空間任意方向傳播的平面波 x y z r k p(x,y,z) 平面波的空平面波的空 間頻率間頻率 1.2 平面波的空間頻率平面波的空間頻率 O x0 k z C x A D X B cos/X cos/Y cos/Z 定義：定義： /cos x f /cos y f /cos z f 1 2 2 2 2 2 2 zyx fff 單色平面波的空間頻率單色平面波的空間頻率 如圖所示，若以( )表示某一單色平面光波波矢量 k的方向余弦， 表示其在3個坐標(biāo)軸上的投影分量，則 有： cos,cos,cos zyx kkk, 現(xiàn)引入一個矢量f f ，并令 ， 則矢量f f 及其坐標(biāo)分量的大小

21、可分別 表示為： 2/kf 平面波在平面波在x-y面上的等位相線面上的等位相線Cyxcoscos 空間頻率空間頻率的物理意義的物理意義 傳播矢量傳播矢量 位于位于 平面的平面波在平面的平面波在 平面上的空間頻率平面上的空間頻率 。 kzx , yx, 對照振動周期T和頻率v的關(guān)系可以看出，矢量 f f 的大小 等于波長的倒數(shù)，反映了波動的空間頻率(波長即空間周期)， 故稱為平面光波的空間頻率矢量空間頻率矢量。需要注意的是，與振動頻 率不同，這里的空間頻率f f 是矢量，其方向代表該平面光波 的傳播方向。波長相同但傳播方向不同的平面光波，其空間 頻率矢量f f 也不同。 利用空間頻率的概念，也可

22、以 將平面光波的電場強(qiáng)度矢量表示 為下面的形式： 空間頻率空間頻率 “高頻信號高頻信號” 沿沿 , 角較小的方向傳播的分角較小的方向傳播的分 量量 “低頻信號低頻信號” 沿沿 , 角較大的方向傳播的分角較大的方向傳播的分 量量 “零頻信號零頻信號” 沿沿 z 軸方向傳播的分量軸方向傳播的分量 = = 900 分析分析 平面電磁波在自由空平面電磁波在自由空 間中的傳播間中的傳播 coscoscosexp exp, zyxjka rjkazyxU 設(shè)波矢量設(shè)波矢量k k表示光波的傳播方向，其大小為表示光波的傳播方向，其大小為： 2k 方向余弦為：方向余弦為： coscos 在任意時刻，與波矢量相垂

23、直的平面上振幅和位相在任意時刻，與波矢量相垂直的平面上振幅和位相 為常數(shù)的光波稱為平面波。為常數(shù)的光波稱為平面波。若空間某點若空間某點P(x,y,z)的位置的位置 矢量矢量r，則平面波傳播到則平面波傳播到P點的位相為點的位相為k r,該點的復(fù)振幅該點的復(fù)振幅 一般表達(dá)式為：一般表達(dá)式為： cos 1coscoscos 222 22 coscos1cos coscosexp coscos1exp, 22 yxjk jkzazyxU 由于由于 故故 物理含義物理含義 平面電磁波在自由空平面電磁波在自由空 間中的傳播間中的傳播 rkiEEexp 0 復(fù)習(xí)概念：復(fù)習(xí)概念： 單色平面波復(fù)振幅的復(fù)數(shù)表達(dá)式

24、單色平面波復(fù)振幅的復(fù)數(shù)表達(dá)式 令初相位令初相位00，上式可寫為：，上式可寫為： 8 . 3 )exp( 0 0 ikz eEE ikzEE zyx zyxzzyyxx zeyexer eeekekekekk 且 )coscos(cos coscoscosexp exp 0 0 zyxikE zkykxkiEE zyx 傳播方向與傳播方向與z 方向一致時方向一致時 1cos 0cos 0cos 單色平面波復(fù)振幅的復(fù)數(shù)表達(dá)式單色平面波復(fù)振幅的復(fù)數(shù)表達(dá)式 rkiEEexp 0 8 . 3 )exp( 0 0 ikz eEE ikzEE coscoscosexp exp 0 0 zyxikE zkyk

25、xkiEE zyx 1.3 1.3 平面電磁波場中能量的傳播平面電磁波場中能量的傳播 1 能流密度能流密度坡印廷坡印廷(Poynting)矢量矢量 2 平均能流密度平均能流密度光強(qiáng)度光強(qiáng)度 電磁場是一種物質(zhì)，它具有能量。在一定區(qū)電磁場是一種物質(zhì)，它具有能量。在一定區(qū) 域內(nèi)電磁場發(fā)生變化時，其能量也隨著變化。能域內(nèi)電磁場發(fā)生變化時，其能量也隨著變化。能 量按一定方式分布于場內(nèi)，由于是運動著的，場量按一定方式分布于場內(nèi)，由于是運動著的，場 能量也隨著場的運動而在空間傳播。能量也隨著場的運動而在空間傳播。描述電磁場描述電磁場 能量的兩個物理量：能量的兩個物理量： 能量密度能量密度w表示場內(nèi)單位體積的

26、能量，是空表示場內(nèi)單位體積的能量，是空 間位置間位置x和時間和時間t的函數(shù)，的函數(shù)，w=w (x,t)； 能流密度能流密度S描述能量在場內(nèi)的傳播，描述能量在場內(nèi)的傳播，S在數(shù)值在數(shù)值 上等于單位時間內(nèi)垂直流過單位橫截面的能量，上等于單位時間內(nèi)垂直流過單位橫截面的能量， 其方向代表能量傳播的方向。其方向代表能量傳播的方向。 光強(qiáng)是和電磁場的能流有關(guān)的物理量。電磁波的能量守恒光強(qiáng)是和電磁場的能流有關(guān)的物理量。電磁波的能量守恒 表現(xiàn)為單位時間內(nèi)流出（入）閉合體積的電磁波能量等于單位表現(xiàn)為單位時間內(nèi)流出（入）閉合體積的電磁波能量等于單位 時間內(nèi)閉合體積內(nèi)的能量減少（增多）。時間內(nèi)閉合體積內(nèi)的能量減少（

27、增多）。 表示場內(nèi)單位體積的能量，是空間位置表示場內(nèi)單位體積的能量，是空間位置x和時間和時間t的函數(shù)，的函數(shù)，w=w (x,t)；電場能量與磁場能量體密度分別為：；電場能量與磁場能量體密度分別為： 2 0 2 1 2 1 EEDw re 2 0 2 1 2 1 HHBw rm 電磁場能量體密度為：電磁場能量體密度為： 22 2 1 2 1 HEwww me 它表示電磁場的能量的傳播，即垂直通過單位它表示電磁場的能量的傳播，即垂直通過單位 面積的功率。其大小代表電磁波波強(qiáng)，這里指光強(qiáng)面積的功率。其大小代表電磁波波強(qiáng)，這里指光強(qiáng) ( intensity of light )。其方向為光能量傳播的方

28、向。其方向為光能量傳播的方向。 S輻射強(qiáng)度（能流密度）單位時間內(nèi)，通過垂輻射強(qiáng)度（能流密度）單位時間內(nèi)，通過垂 直于波的傳播方向的單位面積的輻射能。直于波的傳播方向的單位面積的輻射能。 考慮到：考慮到： = EH Sw=v =E 1 2 2 H 1 2 +() 12 =v 1 ， EH = = 2 1 EH EH () + = 2 1 EH EH () + 22 2 1 2 1 HEwww me EkE i B 1 S = EH + S E H EH = 在在各向同性介質(zhì)各向同性介質(zhì)中坡印廷矢量中坡印廷矢量S的方向與的方向與 光波矢量光波矢量 k 的方向（相位傳播方向）一致。的方向（相位傳播方

29、向）一致。 但在但在各向異性介質(zhì)各向異性介質(zhì)中，二者的方向不同。中，二者的方向不同。 S = EH 光波屬高頻電磁波，其頻率為光波屬高頻電磁波，其頻率為V1015Hz數(shù)量級，即其數(shù)量級，即其 振動的時間周期為振動的時間周期為T=10-15s數(shù)量級。人眼的響應(yīng)能力最小數(shù)量級。人眼的響應(yīng)能力最小 可達(dá)可達(dá)t10-1s，感光膠片，感光膠片t10-8s，而目前最好的光電探，而目前最好的光電探 測器的測器的時間響應(yīng)能力時間響應(yīng)能力也跟不上。也跟不上。 我們需要了解的是我們需要了解的是同一波場中不同空間位置的能流同一波場中不同空間位置的能流 的強(qiáng)弱的強(qiáng)弱，則不必考慮瞬時能流值，而只需求能流對時間，則不必考

30、慮瞬時能流值，而只需求能流對時間 的平均值以突出其空間分布。的平均值以突出其空間分布。 光強(qiáng)度：光強(qiáng)度：即接收器觀測到光波在一個比振動周期大得即接收器觀測到光波在一個比振動周期大得 多的觀測時間內(nèi)的平均能流密度。多的觀測時間內(nèi)的平均能流密度。 平面波的能量密度與能流密度平面波的能量密度與能流密度 均勻各向同性介質(zhì)中平面光波的能量密度為： 上式表明，盡管電矢量與磁矢量的振幅相差很大，但平面電 磁波的電場能量與磁場能量相等，各占總能量的一半。 對于瞬態(tài)平面光波場，其瞬時能量密度為： 相應(yīng)地在一個時間周期T內(nèi)的平均值為： 式中符號表示對時間周期求平均值。 同理，根據(jù)能流密度矢量的定義式，可得平面光波

31、的能流密度 表達(dá)式為： 上式表明：在自由空間中，平面光波的能流密度S的大小等于其 能量密度乘以其相速度，方向與波矢量k一致。 另一方面，可得平面光波的平均能流密度大小為： 上式表明：自由空間中，平面光波的平均能流密度正比于電場 強(qiáng)度振幅的平方。在光頻波段，通常把平均能流密度稱作光強(qiáng)在光頻波段，通常把平均能流密度稱作光強(qiáng) 度度，并以 I 表示。 wvkEEkES 2 1 )( 1 我們知道，對于光頻波段及非鐵磁介質(zhì)： 因此，平面光波的強(qiáng)度表示為： 1 r 2 n r 在同一介質(zhì)中且只關(guān)心光強(qiáng)度的相對分布時，上式中的比例系 數(shù)可以不予考慮，此時往往把光的強(qiáng)度 I 以相對強(qiáng)度表示，即 寫成電場強(qiáng)度振

32、幅的平方： 但是，在比較兩種介質(zhì)中光的強(qiáng)度大小時，則必須注意到，比 例系數(shù)中還有一個與介質(zhì)有關(guān)的量折射率n。 ， 2.1 2.1 單色球面波單色球面波 平面波只是平面波只是亥姆霍茲方程亥姆霍茲方程是一種最簡單的解，對是一種最簡單的解，對 于二階線性偏微分方程式，可以分別求出于二階線性偏微分方程式，可以分別求出E 和和 H 的多種形式的解。另一種最簡單的解或最簡單的的多種形式的解。另一種最簡單的解或最簡單的 波是球面波，即在以波源為中心的球面上有相同波是球面波，即在以波源為中心的球面上有相同 的場強(qiáng)，而且場強(qiáng)變化沿徑向傳播的波。這種波的場強(qiáng)，而且場強(qiáng)變化沿徑向傳播的波。這種波 的場強(qiáng)分布只與離波

33、源的距離的場強(qiáng)分布只與離波源的距離r 和時間和時間t 有關(guān)，而有關(guān)，而 與傳播方向無關(guān)。因此，當(dāng)以標(biāo)量波考慮時，亥與傳播方向無關(guān)。因此，當(dāng)以標(biāo)量波考慮時，亥 姆霍茲方程的球面波解可以寫為如下形式：姆霍茲方程的球面波解可以寫為如下形式： E=E(r) 簡諧波是波動方程的解，有兩類重要的基本解，即平面波簡諧波是波動方程的解，有兩類重要的基本解，即平面波 和球面波。和球面波。點光源發(fā)出的光波可認(rèn)為是球面波。點光源發(fā)出的光波可認(rèn)為是球面波。 2 2 2 2 1 t E c E 可得可得)( 1 )( 2 2 22 2 rE tc rE r 球面波采用球面坐標(biāo)系。把球心取作坐標(biāo)系的原點，則球面波采用球面

34、坐標(biāo)系。把球心取作坐標(biāo)系的原點，則 k 與與 r 的方向永遠(yuǎn)相同，的方向永遠(yuǎn)相同，E的大小只與半徑的大小只與半徑 r及時間及時間 t 有關(guān)，有關(guān)， 所以可寫成所以可寫成 E = E（r，t），），把它代入把它代入 單色球面波單色球面波 單色球面波的推導(dǎo)單色球面波的推導(dǎo) 222 zyxr 選取波源位于直角坐標(biāo)源點，則有：選取波源位于直角坐標(biāo)源點，則有： 2 2 2 2 2 2 2 z E y E x E E 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 1 ) 11 ( 1 ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 )( )( )( r E r x r E r x r E r r E rr E rr x

35、 r E r x r r E rr x r E r r E rx x r E rr E r x xx E r x r E x r r rE x E 單色球面波的推導(dǎo)單色球面波的推導(dǎo) 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 1 1 1 r E r z r E r z r E ry E r E r y r E r y r E ry E r E r x r E r x r E rx E )( 1 2 3 2 2 2 2 2 2 2 222 3 222 2 rE rr r E r E r r E r zyx r E r zyx r E r E 單

36、色球面波的推導(dǎo)單色球面波的推導(dǎo) 0 22 EkE 0 2 2 2 rEkrE r 0 2 2 2 zEk dz zEd rE rr E 2 2 2 1 tkziEtzEexp, 0 )(exp),( 0 0 tkri r E trE 0= 0 ikr e r E rE 0 )( rrEzE 亥姆霍茲方程： 這一矢量方程的解應(yīng)具有如下兩種可能形式： ikr e r E rE 0 )( *0 )()(rEe r E rE ikr (a) (b) (a)式描述的是一個自源點向外發(fā)散發(fā)散的球面波； (b)式描述的是一個向源點會聚會聚的球面波。 兩個球面波的復(fù)振幅(相位)互為共軛，故稱 為一對相位共軛波

37、相位共軛波。 球面波在自由空間中的傳播球面波在自由空間中的傳播 球面波在自由空間中的傳播球面波在自由空間中的傳播 21 2 0 2 0 2 2 0 2 0 1 z yy z xx z zyyxxr 21 2 0 2 0 21 2 0 2 0 1 1exp exp, z yy z xx z z yy z xx jkzA jkr r A zyxE 球面波在自由空間中的傳播球面波在自由空間中的傳播 00, yyzxxz 2 0 2 0 2 1 2 1 1 z yy z xx zr 21 2 0 2 0 2 2 0 2 0 1 z yy z xx z zyyxxr 球面波在自由空間中的傳播球面波在自由

38、空間中的傳播 條件條件 2 0 2 0 2 exp exp ,yyxx z k j z jkzA zyxE 21 2 0 2 0 21 2 0 2 0 1 1exp exp, z yy z xx z z yy z xx jkzA jkr r A zyxE 球面波在自由空間中的傳播球面波在自由空間中的傳播 位相相同的點的軌跡，即等位相線方程為同心圓族位相相同的點的軌跡，即等位相線方程為同心圓族 Cyyxx 2.2 柱面波與高斯光束柱面波與高斯光束 由一個振幅相同且無限長的線光源發(fā)出的光波場，其等相位 面和等幅面均為對稱于軸線的圓柱面，故稱為柱面波柱面波。 求解柱面波場宜采用圓柱面坐標(biāo)，并且由于其

39、軸對稱性，相 應(yīng)的亥姆霍茲方程變?yōu)椋?上式可進(jìn)一步簡化為一個貝塞爾方程，并且當(dāng)r足夠大時，其 解有如下兩種可能形式： 顯然，這也是一對 相位共軛波，其中 “+”、“”分別表 示發(fā)散和會聚柱面 波。 高斯球面波高斯球面波 如果在柱面坐標(biāo)系中，一列偏振方向恒定的單色光波的電 矢量復(fù)振幅分布具有軸對稱性，即僅與徑向位置r和軸向位置z 有關(guān)，與周向方位角 無關(guān)，并且沿軸向緩慢變化，則相應(yīng)的 亥姆霍茲方程具有如下標(biāo)量形式： 假設(shè)光波能流主要沿z方向傳播，考慮到其電場強(qiáng)度矢量 的復(fù)振幅E沿z軸緩慢變化，且在與z軸垂直的平面內(nèi)沿徑向非 均勻分布，則上述方程的解可近似表示為： 將此解代入上述方程，并略去對坐標(biāo)

40、z的二階導(dǎo)數(shù)，得到： 求解此方程，可以得到如下形式的解： 式中參數(shù)R(z)、W(z)、 分別表示為：)(z 因此，得到光波電矢量的標(biāo)量表達(dá)式： 此即由穩(wěn)定激光諧振腔發(fā)出的沿z軸方向傳播的基模光束的 電矢量復(fù)振幅分布?？梢钥闯?，該復(fù)振幅沿徑向呈圓高斯分布， 自中心向外平滑地衰減，故稱之為基模高斯光束基模高斯光束。 參數(shù)w(z)定義為高斯光束的光斑半徑光斑半徑，其大小等于自光束軸 線到振幅降至軸線處的 點的距離，W(z)隨軸向坐標(biāo) z 按雙 曲線規(guī)律擴(kuò)展，且在z=0 處， ，達(dá)到最小值，定義為 基模高斯光束的束腰半徑束腰半徑。也就是說基模高斯光束在空間以束 腰為對稱向兩側(cè)呈發(fā)散狀。 1 e 0 )0(WW 參數(shù) 定義為激光諧振腔 的共焦參數(shù)，表示光斑半 徑等于束腰半徑的 倍處 的位置。 0 z 2 高斯光束的傳播特性高斯光束的傳播特性 平面電磁波具有確定的傳播方向，但卻廣平面電磁波具有確定的傳播方向，但卻廣 延于全空間。而從激光器發(fā)射出來的光束一般延于全空間。而從激光器發(fā)射出來的光束一般 是很狹窄的光束。研究這種有限寬度的波束在是很