高二數(shù)學(xué)復(fù) 習(xí)：二次函數(shù)綜合問(wèn)題人教實(shí)驗(yàn)版（B）

1、用心 愛(ài)心 專(zhuān)心 高二數(shù)學(xué)高二數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：二次函數(shù)綜合問(wèn)題復(fù)習(xí)：二次函數(shù)綜合問(wèn)題人教實(shí)驗(yàn)版（人教實(shí)驗(yàn)版（B B） 【本講教育信息本講教育信息】 一. 教學(xué)內(nèi)容： 高考復(fù)習(xí)：二次函數(shù)綜合問(wèn)題 二. 教學(xué)目的： 從解析式及圖象特征這兩個(gè)方面研究涉及二次函數(shù)的一些綜合問(wèn)題。 三. 知識(shí)分析： 二次函數(shù)是中學(xué)代數(shù)的基本內(nèi)容之一，它既簡(jiǎn)單又具有豐富的內(nèi)涵和外延。作為最基 本的初等函數(shù)，可以以它為素材來(lái)研究函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、最值等性質(zhì)，還可建立起 函數(shù)、方程、不等式之間的有機(jī)聯(lián)系；作為拋物線，可以聯(lián)系其它平面曲線討論相互之間 的關(guān)系。這些縱橫聯(lián)系，使得圍繞二次函數(shù)可以編制出層出不窮、靈活多變的數(shù)學(xué)問(wèn)題。

2、 同時(shí)，有關(guān)二次函數(shù)的內(nèi)容又與近、現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展緊密聯(lián)系，是學(xué)生進(jìn)入高校繼續(xù)深造的 重要知識(shí)基礎(chǔ)。因此，從這個(gè)意義上說(shuō)，有關(guān)二次函數(shù)的問(wèn)題在高考中頻繁出現(xiàn)，也就不 足為奇了。 學(xué)習(xí)二次函數(shù)，可以從兩個(gè)方面入手：一是解析式，二是圖像特征。從解析式出發(fā)， 可以進(jìn)行純粹的代數(shù)推理，這種代數(shù)推理、論證的能力反映出一個(gè)人的基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)；從 圖像特征出發(fā)，可以實(shí)現(xiàn)數(shù)與形的自然結(jié)合，這正是中學(xué)數(shù)學(xué)中一種非常重要的思想方法。 這節(jié)課我們將從這兩個(gè)方面探究涉及二次函數(shù)的一些綜合問(wèn)題。 （一）代數(shù)推理 由于二次函數(shù)的解析式簡(jiǎn)捷明了，易于變形（一般式、頂點(diǎn)式、零點(diǎn)式等） ，所以，在 解決二次函數(shù)的問(wèn)題時(shí)，常常借助其解

3、析式，通過(guò)純代數(shù)推理，進(jìn)而導(dǎo)出二次函數(shù)的有關(guān) 性質(zhì)。 1、二次函數(shù)的一般式cbxaxy 2 (a0)中有三個(gè)參數(shù)cba,。解題的關(guān)鍵在于： 通過(guò)三個(gè)獨(dú)立條件“確定”這三個(gè)參數(shù)。 【例 1】已知，滿(mǎn)足 1 且，求的取值范圍。 分析：分析：本題中，所給條件并不足以確定參數(shù)ba,的值，但應(yīng)該注意到：所要求的結(jié)論 不是2f的確定值，而是與條件相對(duì)應(yīng)的“取值范圍” ，因此，我們可以把 1 和 4) 1 (2 f當(dāng)成兩個(gè)獨(dú)立條件，先用 1f和1f來(lái)表示ba,。 解：解：由baf1， baf1可解得： )1() 1 ( 2 1 ),1() 1 ( 2 1 ffbffa （*） 將以上二式代入，并整理得 2

4、) 1( 2 1 22 xx f xx fxf， 用心 愛(ài)心 專(zhuān)心 1312fff 又，2) 1(1 f， 1025 f 【例 2】設(shè)，若， ， ， 試證明：對(duì)于任意，有。 分析：分析：同上題，可以用 1,1,0fff來(lái)表示cba,。 解：解： cfcbafcbaf0,1,1， 0),1() 1 ( 2 1 ),0211( 2 1 fcffbfffa， 2 22 10 2 1 2 1xf xx f xx fxf 。 當(dāng)01x時(shí)， . 4 5 4 5 ) 2 1 ( 1 )1 ( 22 1 22 10 2 1 2 1 2 2 2 22 2 22 2 22 x xx x xxxx x xxxx x

5、f xx f xx fxf 當(dāng)10 x時(shí)， 2 22 10 2 1 2 1xf xx f xx fxf 2 22 1 22 x xxxx )1 ( 22 2 22 x xxxx . 4 5 4 5 ) 2 1 ( 1 2 2 x xx 綜上，問(wèn)題獲證。 用心 愛(ài)心 專(zhuān)心 2、利用函數(shù)與方程根的關(guān)系，寫(xiě)出二次函數(shù)的零點(diǎn)式. 21 xxxxay 【例 3】設(shè)二次函數(shù)，方程的兩個(gè)根滿(mǎn)足。當(dāng)時(shí)，證明。 分析：分析：在已知方程兩根的情況下，根據(jù)函數(shù)與方程根的關(guān)系，可以寫(xiě)出函數(shù) xxf的表達(dá)式，從而得到函數(shù))(xf的表達(dá)式。 證明：證明：由題意可知)()( 21 xxxxaxxf。 a xxx 1 0 2

6、1 ， 0)( 21 xxxxa， 當(dāng)時(shí)，xxf)(。 又) 1)()()( 211211 axaxxxxxxxxxaxxf， , 011, 0 221 axaxaxxx且 1 )(xxf， 綜上可知，所給問(wèn)題獲證。 3、緊扣二次函數(shù)的頂點(diǎn)式, 4 4 2 2 2 a bac a b xay 利用對(duì)稱(chēng)軸、最值、判別式解 決問(wèn)題 【例 4】已知函數(shù) x x 2 a 2)x(f。 （1）將)(xfy 的圖象向右平移兩個(gè)單位，得到函數(shù))(xgy ，求函數(shù) )(xgy 的解析式； （2）函數(shù))(xhy 與函數(shù))(xgy 的圖象關(guān)于直線1y對(duì)稱(chēng)，求函數(shù))(xhy 的 解析式； （3）設(shè))()( 1 )(

7、xhxf a xF，已知)(xF的最小值是m且72m，求實(shí)數(shù) a的取值范圍。 解：解：（1） ; 2 22 2 2 x x a xfxg （2）設(shè) xhy 的圖像上一點(diǎn)yxP,，點(diǎn)yxP,關(guān)于1y的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為yxQ2 ,， 由點(diǎn) Q 在 xgy 的圖像上，所以 用心 愛(ài)心 專(zhuān)心 y a x x 2 2 2 2 2 ， 于是 , 2 22 2 2 x x a y 即 ; 2 22 2 2 x x a xh （3）2 2 ) 14( 2 4 11 )()( 1 )( x x a a xhxf a xF。 設(shè) x t2，則2 14 4 4 )( t a t a a xF。 問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：722 14 4

8、 4 t a t a a 對(duì)0t恒成立。即 0147 4 4 2 att a a 對(duì)0t恒成立。 （*） 故必有0 4 4 a a 。 （否則，若0 4 4 a a ，則關(guān)于t的二次函數(shù) 147 4 4 )( 2 att a a tu開(kāi)口向下，當(dāng)t充分大時(shí)，必有0tu；而當(dāng) 0 4 4 a a 時(shí)，顯然不能保證（*）成立。 ） ，此時(shí)，由于二次函數(shù) 147 4 4 )( 2 att a a tu的對(duì)稱(chēng)軸0 8 4 7 a a t，所以，問(wèn)題等價(jià)于0t，即 014 4 4 47 0 4 4 a a a a a ，解之得：2 2 1 a。 此時(shí)，014 , 0 4 4 a a a ，故2 14 4

9、 4 )( t a t a a xF在 a aa t 4 ) 14(4 時(shí)取 得最小值214 4 4 2 a a a m滿(mǎn)足條件。 （二）數(shù)形結(jié)合 二次函數(shù)0)( 2 acbxaxxf的圖像為拋物線，具有許多優(yōu)美的性質(zhì)，如對(duì) 稱(chēng)性、單調(diào)性、凹凸性等。結(jié)合這些圖像特征解決有關(guān)二次函數(shù)的問(wèn)題，可以化難為易， 形象直觀。 1、二次函數(shù)的圖像關(guān)于直線 a b x 2 對(duì)稱(chēng)，特別關(guān)系 a b xx 21 也反映了二次函數(shù) 用心 愛(ài)心 專(zhuān)心 的一種對(duì)稱(chēng)性。 【例 5】設(shè)二次函數(shù)，方程的兩個(gè)根滿(mǎn)足 。且函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，證明：。 解：解：由題意 cxbaxxxf) 1( 2 。 由方程的兩個(gè)根滿(mǎn)足，可

10、得 , 1 2 1 0 21 a x a b x 且 a b xx a b 2 1 2 1 21 ， a b aa b xx a b 2 11 2 1 2 1 21 ， 即 1 x a b ，故 。 2、二次函數(shù))(xf的圖像具有連續(xù)性，且由于二次方程至多有兩個(gè)實(shí)數(shù)根。所以存在實(shí) 數(shù)nm,使得nm 且0)()(nfmf在區(qū)間nm,上，必存在0)(xf的唯一的實(shí)數(shù) 根。 【例 6】 已知二次函數(shù) 2 ( )1(0)f xaxbxa，設(shè)方程xxf)(的兩個(gè)實(shí)數(shù)根 為 1 x和 2 x。 （1）如果42 21 xx，設(shè)函數(shù))(xf的對(duì)稱(chēng)軸為 0 xx ，求證：1 0 x； （2）如果2 1 x，2

11、12 xx，求b的取值范圍。 分析：分析：條件42 21 xx實(shí)際上給出了xxf)(的兩個(gè)實(shí)數(shù)根所在的區(qū)間，因此可 以考慮利用上述圖像特征去等價(jià)轉(zhuǎn)化。 解：解：設(shè)1) 1()()( 2 xbaxxxfxg，則0)(xg的二根為 1 x和 2 x。 （1）由0a及42 21 xx，可得 0)4( 0)2( g g ，即 03416 0124 ba ba ，即 , 0 4 3 2 24 , 0 4 3 2 33 aa b aa b 兩式相加得1 2 a b ，所以，1 0 x; （2）由 aa b xx 4 ) 1 ()( 22 21 ，可得 1) 1(12 2 ba。 用心 愛(ài)心 專(zhuān)心 又0 1

12、 21 a xx，所以 21,x x同號(hào)。 2 1 x，2 12 xx等價(jià)于 1) 1(12 20 2 21 ba xx 或 1) 1(12 02 2 12 ba xx ， 即 1) 1(12 0)0( 0)2( 2 ba g g 或 1) 1(12 0)0( 0)2( 2 ba g g 解之得 4 1 b或 4 7 b。 3、因?yàn)槎魏瘮?shù)0)( 2 acbxaxxf在區(qū)間 2 ,( a b 和區(qū)間), 2 a b 上 分別單調(diào)，所以函數(shù) xf在閉區(qū)間上的最大值、最小值必在區(qū)間端點(diǎn)或頂點(diǎn)處取得；函數(shù) )(xf在閉區(qū)間上的最大值必在區(qū)間端點(diǎn)或頂點(diǎn)處取得。 【例 7】已知二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，有， 求證

13、：當(dāng)時(shí)，有。 分析：分析：研究)(xf的性質(zhì)，最好能夠得出其解析式，從這個(gè)意義上說(shuō)，應(yīng)該盡量用已知 條件來(lái)表達(dá)參數(shù)cba,。確定三個(gè)參數(shù)，只需三個(gè)獨(dú)立條件，本題可以考慮) 1 (f， ) 1(f，)0(f，這樣做的好處有兩個(gè)：一是cba,的表達(dá)較為簡(jiǎn)潔，二是由于01和正 好是所給條件的區(qū)間的端點(diǎn)和中點(diǎn)，這樣做能夠較好地利用條件來(lái)達(dá)到控制二次函數(shù)范圍 的目的。 要考慮 xf在區(qū)間7 , 7上函數(shù)值的取值范圍，只需考慮其最大值，也即考慮 xf在區(qū)間端點(diǎn)和頂點(diǎn)處的函數(shù)值。 解：解：由題意知：cbafcfcbaf) 1 (,)0(,) 1(， )0(),1() 1 ( 2 1 ),0(2) 1() 1

14、 ( 2 1 fcffbfffa， 2 22 1)0( 2 ) 1( 2 ) 1 (xf xx f xx f 。 由時(shí)，有，可得 , 1) 1 (f ,11 f 10 f。 7)0(3) 1(1303113)2(fffffff， 用心 愛(ài)心 專(zhuān)心 7)0(3) 1(3103131)2(fffffff。 （1）若2 , 2 2 a b ，則 xf在2 , 2上單調(diào)，故當(dāng)2 , 2x時(shí)， )2(, )2(max()( max ffxf 此時(shí)問(wèn)題獲證。 （2）若2 , 2 2 a b ，則當(dāng)2 , 2x時(shí)， ) 2 , )2(, )2(max()( max a b fffxf 又 72 4 11 2

15、1 4 ) 1() 1 ( 2 0 2242 2 ff a b f b a b c a b c a b f， 此時(shí)問(wèn)題獲證。 綜上可知：當(dāng)時(shí)，有。 【例 8】 （2007 廣東，理 20）已知a是實(shí)數(shù)，函數(shù) 2 ( )223f xaxxa ，如果函數(shù) ( )yf x在區(qū)間11 ，上有零點(diǎn)，求a的取值范圍 解析解析 1：函數(shù)( )yf x在區(qū)間1，1上有零點(diǎn)，即方程 2 ( )223f xaxxa 0 在 1，1上有解， a0 時(shí)，不符合題意，所以 a0，方程 f（x）0 在1，1上有解 ( 1)(1)0ff或 ( 1)0 (1)0 48 (3)0 1 1.1 af af aa a 15a或 3

16、7 2 a 或5a 37 2 a 或 a1。 所以實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 37 2 a 或 a1。 解析解析 2：a0 時(shí)，不符合題意，所以 a0，又 2 ( )223f xaxxa 0 在1，1上有解， 2 (21)32xax在1，1上有 解 2 121 32 x ax 在1，1上有解，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù) 2 21 32 x y x 在1，1上的值域； 設(shè) t32x，x1，1，則23xt，t1，5， 2 1 (3)217 (6) 22 t yt tt ， 用心 愛(ài)心 專(zhuān)心 設(shè) 2 2 77 ( ). ( ) t g ttg t tt ，1, 7)t時(shí)，( )0g t ，此函數(shù) g（t）單調(diào)遞減

17、， ( 7,5t時(shí)，( )g t0，此函數(shù) g（t）單調(diào)遞增，y 的取值范圍是 73,1， 2 ( )223f xaxxa 0 在1，1上有解 1 a 73,11a或 37 2 a 。 【例 9】 （2007 江蘇，21）已知abcd，是不全為零的實(shí)數(shù)，函數(shù) 2 ( )f xbxcxd， 32 ( )g xaxbxcxd方程( )0f x 有實(shí)數(shù)根，且( )0f x 的實(shí)數(shù)根都是 ( ( )0g f x的根；反之，( ( )0g f x的實(shí)數(shù)根都是( )0f x 的根 （1）求d的值； （2）若0a ，求c的取值范圍； （3）若1a ，(1)0f，求c的取值范圍 解：解：（1）設(shè)r為方程的一個(gè)

18、根，即( )0f r ，則由題設(shè)得( ( )0g f r于是， (0)( ( )0gg f r，即(0)0gd 所以，0d （2）由題意及（1）知 2 ( )f xbxcx， 32 ( )g xaxbxcx 由0a 得bc，是不全為零的實(shí)數(shù)，且 2 ( )()g xbxcxx bxc， 則 22 ( ( )()()()()g f xx bxc bx bxccx bxc b xbcxc 方程( )0f x 就是()0 x bxc 方程( ( )0g f x就是 22 ()()0 x bxc b xbcxc （）當(dāng)0c 時(shí)，0b ，方程、的根都為0 x ，符合題意 （）當(dāng)0c ，0b 時(shí)，方程、的根都為0 x ，符合題意 （）當(dāng)0c ，0b 時(shí)，方程的根為 1 0 x ， 2 c x b ，它們也都是方程的根， 但它們不是方程 22 0b xbcxc的實(shí)數(shù)根 由題意，方程 22 0b