“平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義”教學(xué)案例.doc

1、“平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義”教學(xué)案例一、教學(xué)任務(wù)分析在前面學(xué)過(guò)的向量的線性運(yùn)算的基礎(chǔ)上， 以物理中功為背景引入向量的另一個(gè)運(yùn)算 - 數(shù)量積。教科書(shū)以物體受力做功為背景引入數(shù)量積的概念， 既使向量數(shù)量積運(yùn)算與學(xué)生已有的知識(shí)建立了聯(lián)系， 又使學(xué)生看到向量數(shù)量積與向量模的大小及夾角有關(guān)， 同時(shí)與前面的向量運(yùn)算不同，其計(jì)算結(jié)果不是向量而是數(shù)量。在建立了數(shù)量積的概念后，進(jìn)一步探究了有關(guān)的特性、幾何意義和運(yùn)算律。使學(xué)生在探究中加深對(duì)有關(guān)概念、性質(zhì)的理解和運(yùn)用。二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)： 平面向量的數(shù)量積的概念和特性；平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律的探究及應(yīng)用。難點(diǎn)：平面向量的數(shù)量積的定義及對(duì)運(yùn)算律的探究、理

2、解，平面向量數(shù)量積的應(yīng)用。三、教學(xué)情景設(shè)計(jì)教師引言： 前面我們學(xué)習(xí)了向量的相線性運(yùn)算，即向量的加法、減法和數(shù)乘運(yùn)算。 我們知道這些運(yùn)算有個(gè)共同的特點(diǎn)， 就是他們運(yùn)算的結(jié)果仍然是一個(gè)向量， 并且這些結(jié)果都有明確的幾何意義，即是一些與平行四邊形的邊、對(duì)角線、三角形的邊以及平行、共線有關(guān)的向量。下面我們一起思考這樣一個(gè)問(wèn)題。（出示思考問(wèn)題）情景 1思考：既然平面向量能進(jìn)行加減運(yùn)算，那自然會(huì)想到兩個(gè)向量能否進(jìn)行乘法運(yùn)算？假如能的話(huà)那運(yùn)算的結(jié)果又會(huì)是什么呢？ 設(shè)計(jì)意圖 由加減聯(lián)想到乘法這是個(gè)很自然的問(wèn)題，明確本節(jié)課的任務(wù)，激發(fā)學(xué)生的探求欲望。情景 2問(wèn)題假如一個(gè)物體在力F 的作用下產(chǎn)生的位移為s，那么力

3、F 所做的功w 等于多少？ 設(shè)計(jì)意圖 以物理問(wèn)題為背景，使學(xué)生從中受到啟發(fā)，為引入向量的數(shù)量積的概念做預(yù)備。 師生互動(dòng) 生：其中 是 F 和 s 夾角。師：功是一個(gè)矢量還是標(biāo)量？它的大小由那些量來(lái)確定？互動(dòng)： 功是一個(gè)標(biāo)量，它由力和位移兩個(gè)向量來(lái)確定，這給我們一個(gè)啟發(fā)：能不能將功看成是這兩個(gè)向量的一種運(yùn)算的結(jié)果呢？為此，引入平面向量的“數(shù)量積”的概念。情景 3仿照“功”的概念引入平面向量數(shù)量積的概念；并對(duì)概念進(jìn)行有關(guān)熟悉、分析和探究。 設(shè)計(jì)意圖 1、在學(xué)生已有的物理中“功”的概念的背景下，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，引入平面向量數(shù)量積的概念，突出物理背景的意義，便于學(xué)生自然過(guò)度和理解。2、通過(guò)對(duì)概念的熟悉、

4、分析和探究，使學(xué)生加深理解，熟悉、把握有關(guān)的特性及幾何意義。 師生互動(dòng) 1、首先仿照物理問(wèn)題構(gòu)建數(shù)學(xué)模型。對(duì)照功的表達(dá)式寫(xiě)出類(lèi)似的平面向量的表達(dá)式，引出平面向量數(shù)量積的概念：把數(shù)量稱(chēng)為與的數(shù)量積，記作：即=（其中 為與的夾角）。對(duì)于定義中的“非零向量”的要求為了建立對(duì)任意向量的數(shù)量積的概念，規(guī)定：（其中為任意向量）2、討論數(shù)量積的運(yùn)算與前面三種線性運(yùn)算的區(qū)別（運(yùn)算的結(jié)果是數(shù)量而不再是向量）。3、研究數(shù)量積運(yùn)算結(jié)果的符號(hào)取決于與的夾角。4、探究特性：（ =時(shí)的情況）（、為非零向量）此處可與實(shí)數(shù)進(jìn)行對(duì)比：對(duì)時(shí)而此特性給我們提供了證實(shí)有關(guān)垂直問(wèn)題的一個(gè)很好的方法。此特性給我們提供了很好的求長(zhǎng)度的方法

5、。5、投影的概念。為研究數(shù)量積的幾何意義作預(yù)備。討論：投影一定是正數(shù)嗎？師生共同完成例1，加一問(wèn)：求在方向上的投影并作圖。6、數(shù)量積的幾何意義。使學(xué)生明確數(shù)量積的運(yùn)算結(jié)果其實(shí)就是有關(guān)投影的倍數(shù)。聯(lián)系引入部分 “功 ”的概念不難理解它是力 F 在位移 s 上的投影。情景 4運(yùn)算律和運(yùn)算是緊密相關(guān)的，類(lèi)比實(shí)數(shù)運(yùn)算中的運(yùn)算律，探究平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律。 設(shè)計(jì)意圖 通過(guò)類(lèi)比、 探究使學(xué)生對(duì)數(shù)量積的概念有更深的熟悉，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度和研究問(wèn)題的能力。 師生互動(dòng) 師生共同回顧實(shí)數(shù)運(yùn)算中有關(guān)乘法的運(yùn)算律。請(qǐng)學(xué)生自己先寫(xiě)出有關(guān)的運(yùn)算律：根據(jù)上面的運(yùn)算律，類(lèi)似的改寫(xiě)出相關(guān)的數(shù)量積的式子：引導(dǎo)學(xué)生探

6、究上面運(yùn)算律的真假。學(xué)生易得真。 對(duì)的真假可由學(xué)生自主討論，然后通過(guò)交流達(dá)到統(tǒng)一熟悉的方法進(jìn)行，得到是假命題。對(duì)三個(gè)向量間的結(jié)合律不成立，若兩個(gè)向量一個(gè)實(shí)數(shù)情況會(huì)怎樣呢？引導(dǎo)學(xué)生討論：的真假。由數(shù)乘運(yùn)算的特點(diǎn)就 0； 0；=0 分別研究討論不難得到其的正確性。對(duì)的真假探究可采用分析法引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行：要探究的真假， 由數(shù)量積的概念即探究（其中、分別是與、與、與的夾角）的真假。若顯然成立，若即探究的真假。 根據(jù)投影的概念可知即探究、在方向上的投影之間的關(guān)系，利用多媒體動(dòng)畫(huà)演示易得證。從而探究出數(shù)量積的運(yùn)算律：師生共同完成例2、 3、 4。情景 5小結(jié)部分： 讓學(xué)生回顧總結(jié)本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容及研究、解決

7、問(wèn)題的方法。 設(shè)計(jì)意圖 使學(xué)生整理相關(guān)內(nèi)容，體會(huì)所學(xué)知識(shí)的引入基礎(chǔ)及研究、解決問(wèn)題時(shí)用到的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法，培養(yǎng)學(xué)生思考、解決問(wèn)題的能力。四、課后反思本節(jié)課以物理知識(shí)為背景， 建立了數(shù)學(xué)的平面向量數(shù)量積的概念和運(yùn)算。 知識(shí)系統(tǒng)完備， 使學(xué)生很好的體驗(yàn)了知識(shí)的產(chǎn)生、 發(fā)展和完善的全過(guò)程，有利于培養(yǎng)學(xué)生分析、思考、解決問(wèn)題的能力， 為進(jìn)一步形成良好的數(shù)學(xué)思想、 數(shù)學(xué)思維奠定基礎(chǔ)。 采用多媒體輔助教學(xué)使教學(xué)效果和教學(xué)內(nèi)容的容量充分的得以體現(xiàn)和展示，提高了課堂效率，取得了較好的教學(xué)效果。針對(duì)教學(xué)班級(jí)學(xué)生的具體情況可在后面的例 3、 4 中作刪減。在難點(diǎn)運(yùn)算律的探究中，應(yīng)注重主次之分，不必面面俱到。 如：對(duì)的真假探究應(yīng)