大學(xué)物理第5章剛體力學(xué)(動(dòng)力)

1、貓習(xí)慣于在陽臺(tái)上睡覺，因而從陽臺(tái)上掉下來的事情時(shí)有發(fā)生。長(zhǎng)期貓習(xí)慣于在陽臺(tái)上睡覺，因而從陽臺(tái)上掉下來的事情時(shí)有發(fā)生。長(zhǎng)期 的觀察表明貓從高層樓房的陽臺(tái)掉到樓外的人行道上時(shí)，受傷的程度的觀察表明貓從高層樓房的陽臺(tái)掉到樓外的人行道上時(shí)，受傷的程度 將隨高度的增加而減少，為什么會(huì)這樣呢？將隨高度的增加而減少，為什么會(huì)這樣呢？ 5.4 5.4 力矩力矩 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程 一一. . 力矩力矩 力力 改變剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)改變剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài) 剛體獲得角加速度剛體獲得角加速度 力力 F F 對(duì)對(duì)z z 軸的力矩軸的力矩 hFrFFM z )( 力矩取決于力的大小、方力矩取決于力的大

2、小、方 向和作用點(diǎn)向和作用點(diǎn) 在剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中，力矩在剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中，力矩 只有兩個(gè)指向只有兩個(gè)指向 質(zhì)點(diǎn)獲得加速度質(zhì)點(diǎn)獲得加速度改變質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)改變質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài) r F / F n F F h h F A A z 力的作用線通過轉(zhuǎn)軸或是力的作用線通過轉(zhuǎn)軸或是 平行于轉(zhuǎn)軸，無法使物體平行于轉(zhuǎn)軸，無法使物體 轉(zhuǎn)動(dòng)。轉(zhuǎn)動(dòng)。 力的大小、方向和力的作力的大小、方向和力的作 用點(diǎn)相對(duì)于轉(zhuǎn)軸位置，是用點(diǎn)相對(duì)于轉(zhuǎn)軸位置，是 決定轉(zhuǎn)動(dòng)效果的幾個(gè)重要決定轉(zhuǎn)動(dòng)效果的幾個(gè)重要 因素。因素。 F F F 力的大小與力臂乘積為力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩。用力的大小與力臂乘積為力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩。用 表示表示M sinFrFrM

3、 z P M F r d 在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)F z P M F r / F F 不在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)不在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)F 只考慮垂直與轉(zhuǎn)軸的作用力只考慮垂直與轉(zhuǎn)軸的作用力 力矩有大小和方向，是矢量力矩有大小和方向，是矢量 ( (運(yùn)動(dòng)學(xué)方程運(yùn)動(dòng)學(xué)方程) ) 力矩矢量力矩矢量 可用矢徑可用矢徑 和力和力 的矢積表示。的矢積表示。M r F FrM 即由右手螺旋法則確定。即由右手螺旋法則確定。 方向垂直于方向垂直于 和和 所構(gòu)成平面。所構(gòu)成平面。 M r F x L O M y 例例已知棒長(zhǎng) 已知棒長(zhǎng)L L, ,質(zhì)量質(zhì)量M M ，在摩擦系數(shù)為，在摩擦系數(shù)為 的桌面轉(zhuǎn)動(dòng)的桌面轉(zhuǎn)動(dòng) ( (如圖如圖 ) )

4、解解x L M mddgmfdd 根據(jù)力矩根據(jù)力矩 xgx L M Mdd MgLxgx L M M L 2 1 d 0 x dx r TTRM i T T TT 例如例如 T T RTTRM i TT 在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中，力矩可用代數(shù)值進(jìn)行計(jì)算在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中，力矩可用代數(shù)值進(jìn)行計(jì)算 求求 摩擦力對(duì)摩擦力對(duì)y y軸的力矩軸的力矩 JM kJM JM z 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)定律剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)定律 作用在剛體上所有的外力對(duì)作用在剛體上所有的外力對(duì) 定軸定軸 z z 軸的力矩的代數(shù)和軸的力矩的代數(shù)和 剛體對(duì)剛體對(duì) z z 軸軸 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 (1) (1) M M 正比于正比于 ，力矩越大力矩越大，剛體的剛體的

5、 越大越大 (2) (2) 力矩相同，若轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不同，產(chǎn)生的角加速度不同力矩相同，若轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不同，產(chǎn)生的角加速度不同 二二. . 剛體對(duì)定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)定律剛體對(duì)定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)定律 實(shí)驗(yàn)證明實(shí)驗(yàn)證明 當(dāng)當(dāng) M M 為零時(shí)，則剛體保持靜止或勻速轉(zhuǎn)動(dòng)為零時(shí)，則剛體保持靜止或勻速轉(zhuǎn)動(dòng) 當(dāng)存在當(dāng)存在 M M 時(shí)，時(shí)， 與與 M M 成正比，而與成正比，而與J J 成反比成反比 (3) (3) 與牛頓定律比較：與牛頓定律比較：amJFM, 討論討論 在國(guó)際單位中在國(guó)際單位中 k k = 1 = 1 O i r i F i f 理論推證理論推證 iiii amfF 取一質(zhì)量元取一質(zhì)量元 iiii amfF 切線方向

6、切線方向 iiiiiii ramrfrF 對(duì)固定軸的力矩對(duì)固定軸的力矩 2 iir m 對(duì)所有質(zhì)元對(duì)所有質(zhì)元 )( 2 ii i i i i rmrfrF 合內(nèi)力矩合內(nèi)力矩 = = 0合外力矩合外力矩 M剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 J i m 三三. . 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 定義式定義式 2 iir mJ 質(zhì)量不連續(xù)分布質(zhì)量不連續(xù)分布 mrJd 2 質(zhì)量連續(xù)分布質(zhì)量連續(xù)分布 計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的三個(gè)要素計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的三個(gè)要素:(1):(1)總質(zhì)量總質(zhì)量 (2)(2)質(zhì)量分布質(zhì)量分布 (3)(3)轉(zhuǎn)軸的位置轉(zhuǎn)軸的位置 例如例如:兩根等長(zhǎng)的細(xì)木棒和細(xì)鐵棒繞端點(diǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量?jī)筛乳L(zhǎng)的細(xì)木棒和細(xì)鐵棒繞端點(diǎn)軸轉(zhuǎn)

7、動(dòng)慣量 L z O x dx M 2 0 2 0 2 3 1 ddMLx L M xxxJ LL 木鐵 JJ (1) J 與總質(zhì)量與總質(zhì)量 mrJd 2 O L x dx M z 2 0 2 3 1 dMLxxJ L L O x dx M 2 2 2 2 12 1 dMLxxJ /L /L z (2) J 與轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)與轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān) 結(jié)果表明同一剛體對(duì)結(jié)果表明同一剛體對(duì) 不同轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不同轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 不同。不同。 (3) J 與質(zhì)量分布有關(guān)與質(zhì)量分布有關(guān) 例如例如圓環(huán)繞中心軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量圓環(huán)繞中心軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 例如例如圓盤繞中心軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量圓盤繞中心軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 d

8、l O RL lRmRJ 2 0 2 0 2 dd 23 2 0 2 2 2dmR R m RlR R m R O m r dr rrsd2d smdd Rm R m rr R m mrJ 0 23 2 0 2 2 d 2 d r R mr rr R m d 2 d2 22 R 四四. 平行軸定理平行軸定理 2 MLJJ z z zz C M L z J : :剛體繞任意軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體繞任意軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 z J: :剛體繞通過質(zhì)心的軸剛體繞通過質(zhì)心的軸 L : :兩軸間垂直距離兩軸間垂直距離 2 121ML/J z 2 2 3 1 2 ML L MJJ ZZ 例例 均勻細(xì)棒的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量均勻細(xì)棒

9、的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 z ML z 計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的方法計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的方法 （1 1）定質(zhì)量密度）定質(zhì)量密度 設(shè)質(zhì)量密度均勻設(shè)質(zhì)量密度均勻 一維質(zhì)量線密度一維質(zhì)量線密度 二維質(zhì)量面密度二維質(zhì)量面密度 三維質(zhì)量體密度三維質(zhì)量體密度 L M S M V M （2 2）取質(zhì)量元）取質(zhì)量元dvdmdsdmddm （3 3）計(jì)算）計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 mrJd 2 （4 4）代回質(zhì)量密度）代回質(zhì)量密度 l 軸 12 2 ml J 細(xì)棒細(xì)棒( (轉(zhuǎn)動(dòng)軸通過中心與棒垂直轉(zhuǎn)動(dòng)軸通過中心與棒垂直) ) R 軸 圓柱體圓柱體( (轉(zhuǎn)動(dòng)軸沿幾何體轉(zhuǎn)動(dòng)軸沿幾何體) ) R 軸 薄圓環(huán)薄圓環(huán)( (轉(zhuǎn)動(dòng)軸沿幾何體轉(zhuǎn)動(dòng)軸沿幾何體) )

10、 2 2 mR J 2 mRJ 球體球體( (轉(zhuǎn)動(dòng)軸沿球的任一直徑轉(zhuǎn)動(dòng)軸沿球的任一直徑) ) 5 2 2 mR J R 軸 l 軸 細(xì)棒細(xì)棒( (轉(zhuǎn)動(dòng)軸通過棒的轉(zhuǎn)動(dòng)軸通過棒的 一端與與棒垂直一端與與棒垂直) ) 3 2 ml J 1 R 軸 2 R 圓筒圓筒( (轉(zhuǎn)動(dòng)軸沿幾何軸轉(zhuǎn)動(dòng)軸沿幾何軸) ) 2 2 2 1 2 RR m J F O r (1) (1) 飛輪的角加速度飛輪的角加速度 (2) (2) 如以重量如以重量P P =98 N=98 N的物體掛在繩的物體掛在繩 端，試計(jì)算飛輪的角加速度。端，試計(jì)算飛輪的角加速度。 解解 (1) JFr 2 rad/s 239 50 2098 . .

11、 . J Fr maTmg(2) JTr ra 兩者區(qū)別兩者區(qū)別 五五. . 轉(zhuǎn)動(dòng)定律的應(yīng)用舉例轉(zhuǎn)動(dòng)定律的應(yīng)用舉例 mg T 例例 求求 一輕繩繞在半徑一輕繩繞在半徑 r r =20 cm =20 cm 的飛輪邊緣，在繩端施以的飛輪邊緣，在繩端施以F F=98 =98 N N 的拉力，飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的拉力，飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 J J=0.5 kgm=0.5 kgm2 2，飛輪與轉(zhuǎn)軸，飛輪與轉(zhuǎn)軸 間的摩擦不計(jì)，間的摩擦不計(jì)， ( (見圖見圖) ) 2 mrJ mgr 2 2 rad/s 821 201050 2098 . . . 1 m 2 m 例例: 一輕繩跨過一軸承光滑的定滑輪，滑輪視為圓盤，繩

12、一輕繩跨過一軸承光滑的定滑輪，滑輪視為圓盤，繩 的兩端分別懸有質(zhì)量為的兩端分別懸有質(zhì)量為 和和 的物體，且的物體，且 ，設(shè)滑輪，設(shè)滑輪 的質(zhì)量為的質(zhì)量為 ，半徑為，半徑為 ，繩與輪之間無相對(duì)滑動(dòng)，求物體，繩與輪之間無相對(duì)滑動(dòng)，求物體 加速度和繩中張力。加速度和繩中張力。 1 m 2 m 21 mm M R M R gm1 gm2 2 T 2 m 1 m 1 T c 1 T 2 T 解：將三個(gè)物體隔離出來受力分析解：將三個(gè)物體隔離出來受力分析 其中其中 和和 大小不能假定相等，但大小不能假定相等，但 1 T 2 T 2211 ,TTTT 對(duì)平動(dòng)物體應(yīng)用牛頓第二定律對(duì)平動(dòng)物體應(yīng)用牛頓第二定律 am

13、gmT 111 amTgm 221 對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)滑輪，由于轉(zhuǎn)軸通過輪中心，所以僅有張力對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)滑輪，由于轉(zhuǎn)軸通過輪中心，所以僅有張力 和和 對(duì)它有力矩作用。對(duì)它有力矩作用。 由轉(zhuǎn)動(dòng)定律由轉(zhuǎn)動(dòng)定律 1 T 2 T JRTRT 12 其中滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量其中滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 2 2 1 MRJ Ra 2 21 12 M mm gmm a R M mm gmm 2 21 12 2 2 2 21 21 1 M mm g M mm T 2 2 2 21 12 2 M mm g M mm T 一根長(zhǎng)為一根長(zhǎng)為 l l ，質(zhì)量為，質(zhì)量為 m m 的均勻細(xì)直棒，可繞軸的均勻細(xì)直棒，可繞軸 O O 在豎在豎 直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，初始

14、時(shí)它在水平位置直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，初始時(shí)它在水平位置 求求 它由此下擺它由此下擺 角時(shí)的角時(shí)的 O lm C x 解解 mxggmxMdd取一質(zhì)元取一質(zhì)元 C mxmx dC mgxM 重力對(duì)整個(gè)棒的合力矩等于重力全部重力對(duì)整個(gè)棒的合力矩等于重力全部 集中于質(zhì)心所產(chǎn)生的力矩集中于質(zhì)心所產(chǎn)生的力矩 dm cos 2 1 mglM l g ml mgl J M 2 cos33 cos 2 1 2 t d d d d mg l g 00 d 2 cos3 d l g sin3 例例 圓盤以圓盤以 0 0 在桌面上轉(zhuǎn)動(dòng)在桌面上轉(zhuǎn)動(dòng), ,受摩擦力而靜止受摩擦力而靜止 解解 rrsmd2dd mgrfrMddd

15、 mgRMM R 3 2 d 0 t JM d d t mRmgR d d 2 1 3 2 2 d 4 3 d 0 0 0 g R t t g R t 4 3 0 例例 求求 到圓盤靜止所需到圓盤靜止所需時(shí)間時(shí)間 取一質(zhì)元取一質(zhì)元 由轉(zhuǎn)動(dòng)定律由轉(zhuǎn)動(dòng)定律 摩擦力矩摩擦力矩 R 剛體的平衡條件剛體的平衡條件 沿任意方向分量為零沿任意方向分量為零 剛體平衡條件剛體平衡條件 合外力為零合外力為零合外力矩為零合外力矩為零 對(duì)任意轉(zhuǎn)軸為零對(duì)任意轉(zhuǎn)軸為零 5.5 5.5 繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能 動(dòng)能定理動(dòng)能定理 一一. . 轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能 z z O i r i v i m 設(shè)系統(tǒng)包括有

16、設(shè)系統(tǒng)包括有 N N 個(gè)質(zhì)量元個(gè)質(zhì)量元 Ni mmmm,.,., 21 Ni rrrr .,., ,21 Ni ,.,.,vvvv 21 , ,其動(dòng)能為其動(dòng)能為 i m 2 2 1 iiki mEv 2 2 2 1 iir m 各質(zhì)量元速度不同，各質(zhì)量元速度不同， 但角速度相同但角速度相同 2 2 2 1 iikik rmEE 剛體的總動(dòng)能剛體的總動(dòng)能 2 2 2 1 iir m P 繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能等于剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能等于剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣 量與其角速度平方乘積的一半量與其角速度平方乘積的一半 結(jié)論結(jié)論 取取 2 2 1 JEk 二二. . 力矩的功力矩的功 O r

17、 F r r d d 功的定義功的定義 sFAdcosddrF dcosFr drF 力矩作功的微分形式力矩作功的微分形式 力的累積過程力的累積過程力矩的空間累積效應(yīng)力矩的空間累積效應(yīng) . . P dMdA ds=rd 對(duì)一有限過程對(duì)一有限過程 2 1 d MA 若若 M = C )( 12 MA ( ( 積分形式積分形式 ） (2) 力矩的功就是力的功。力矩的功就是力的功。 (3) 內(nèi)力矩作功之和為零。內(nèi)力矩作功之和為零。 討論討論 (1) 合力矩的功合力矩的功 i i i i i i AMMA 2 1 2 1 dd 三三. . 轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理 力矩功的效果力矩功的效果 ) 2 1

18、 d( 2 JddMA d)d d d (J t J 對(duì)于一有限過程對(duì)于一有限過程 2 1 2 1 ) 2 1 d(d 2 JAA 2 1 2 2 2 1 2 1 JJ k E 繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體在任一過程中動(dòng)能的增量，等于在該過繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體在任一過程中動(dòng)能的增量，等于在該過 程中作用在剛體上所有外力所作功的總和。這就是繞定程中作用在剛體上所有外力所作功的總和。這就是繞定 軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能定理動(dòng)能定理 k dEdA 剛體的機(jī)械能剛體的機(jī)械能PKEEE 剛體重力勢(shì)剛體重力勢(shì)能能 C mghJE 2 2 1 iip ghmE C ii mgh m hm mg 剛體的剛體的 機(jī)械能機(jī)械能

19、質(zhì)心的勢(shì)能質(zhì)心的勢(shì)能 剛體的機(jī)械能守恒剛體的機(jī)械能守恒C 2 1 2 C mghJ 對(duì)于包括剛體的系統(tǒng)，功能原理和機(jī)械能守恒定律仍成立對(duì)于包括剛體的系統(tǒng)，功能原理和機(jī)械能守恒定律仍成立 c h C i m i h 例：例：一質(zhì)量為一質(zhì)量為M M、半徑為、半徑為R R的勻質(zhì)圓柱體，其上繞輕繩。的勻質(zhì)圓柱體，其上繞輕繩。 繩下端懸掛物體繩下端懸掛物體m m，不計(jì)軸的摩擦，不計(jì)軸的摩擦，m m由靜止釋放，并帶由靜止釋放，并帶 動(dòng)動(dòng)M M定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。求定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。求m m下降下降h h后的速度。后的速度。J=MRJ=MR2 2/2/2 解：解： 方法一方法一 m 0 0 ah2 2 平動(dòng)平動(dòng)maTmg 轉(zhuǎn)

20、動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng) JTR Ra 轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律牛頓定律牛頓定律 J R a T 2 g R T m m a 2 ah2 2 Mm mgh 2 4 方法二方法二動(dòng)能定理動(dòng)能定理 M m m: 外力作功外力作功= =動(dòng)能增量動(dòng)能增量 2 2 1 )(mhTmg M M： 外力矩作功外力矩作功= =轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能增量轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能增量 2 2 1 JTR R h R 方法三方法三 將將M、m、地、繩視為系統(tǒng)，無外力及保守內(nèi)力、地、繩視為系統(tǒng)，無外力及保守內(nèi)力 機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒 選：選：m下降下降h后為重力勢(shì)能零點(diǎn)后為重力勢(shì)能零點(diǎn) 開始：開始： mgh 結(jié)束：結(jié)束： 22 2 1 2 1 Jm R 2 2 1 MRJ

21、 例例 一根長(zhǎng)為一根長(zhǎng)為 l l ，質(zhì)量為，質(zhì)量為 m m 的均勻細(xì)直棒，可繞軸的均勻細(xì)直棒，可繞軸 O O 在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，初始時(shí)它在水平位置在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，初始時(shí)它在水平位置 解解cos 2 1 mglM 00 dcos 2 dmg l MA 由動(dòng)能定理由動(dòng)能定理 0 2 1 2 J0sin 2 lmg l g sin3 2 2 3 1 mlJ 21 ) sin3 ( / l g 求求 它由此下擺它由此下擺 角時(shí)的角時(shí)的 此題也可用機(jī)械能守恒定律方便求解此題也可用機(jī)械能守恒定律方便求解 O lm C x mg O lm C x mg mg ll Jmg l 2 sin 2 1 2 2

22、2 3 1 mlJ 21 ) sin3 ( / l g 一一. . 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩 ( (角動(dòng)量角動(dòng)量) )定理和動(dòng)量矩守恒定律定理和動(dòng)量矩守恒定律 1. 1. 質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩( (對(duì)對(duì)O O點(diǎn)點(diǎn)) ) v mrPrLO 其大小其大小 sinsinvmrrpLO 特例：特例：質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)vmrrpL 5.6 5.6 動(dòng)量矩和動(dòng)量矩守恒定律動(dòng)量矩和動(dòng)量矩守恒定律 O L O O r P S S 慣性參照系慣性參照系 v mr tt L d d d d v v m t r t m r d d d )d( 0vv mMFr t L M d d LtM dd 12 d

23、2 1 LLtM t t (質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩定理的積分形式質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩定理的積分形式) (質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩定理的微分形式質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩定理的微分形式) 質(zhì)點(diǎn)所受合力矩的沖量質(zhì)點(diǎn)所受合力矩的沖量矩矩等于質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量等于質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩矩的增量的增量 2. 2. 質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理 說明說明 (1) (1) 沖量矩是質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩變化的原因沖量矩是質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩變化的原因 (2) (2) 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩的變化是力矩對(duì)時(shí)間的積累結(jié)果質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩的變化是力矩對(duì)時(shí)間的積累結(jié)果 3. 3. 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩（角動(dòng)量）守恒定律質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩（角動(dòng)量）守恒定律 當(dāng)合外力矩為零時(shí)當(dāng)合外力矩為零時(shí) 0M 動(dòng)量矩守恒定律動(dòng)量矩守恒定律恒矢量 JL

24、類比類比 0F 時(shí)時(shí)恒矢量 mp (2)(2) 通常對(duì)有心力：通常對(duì)有心力： 例如例如 由動(dòng)量矩守恒定律可導(dǎo)出行星運(yùn)動(dòng)的開普勒第二定律由動(dòng)量矩守恒定律可導(dǎo)出行星運(yùn)動(dòng)的開普勒第二定律 (1) 動(dòng)量矩守恒定律是物理學(xué)的基本定律之一，它不僅適用于動(dòng)量矩守恒定律是物理學(xué)的基本定律之一，它不僅適用于 宏觀體系，也適用于微觀體系，且在高速低速范圍均適用宏觀體系，也適用于微觀體系，且在高速低速范圍均適用 t S m t rr m 2 sin 2 1 2 sinsinr t r mrmL v 討論討論 S d m r r d 行星對(duì)太陽的位矢在相等的時(shí)間內(nèi)掃過相等的面積行星對(duì)太陽的位矢在相等的時(shí)間內(nèi)掃過相等的

25、面積 F 過過O點(diǎn)點(diǎn),M=0,動(dòng)量矩守恒動(dòng)量矩守恒 二二. .質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理和動(dòng)量矩守恒定律質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理和動(dòng)量矩守恒定律 質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力矩不能改變質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力矩不能改變質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩 三三. . 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)量矩定理和動(dòng)量矩守恒定律剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)量矩定理和動(dòng)量矩守恒定律 1. 1. 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)量矩剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)量矩 剛體上任一質(zhì)點(diǎn)對(duì)剛體上任一質(zhì)點(diǎn)對(duì) Z Z 軸的動(dòng)量矩軸的動(dòng)量矩 都具有相同的方向都具有相同的方向 i 2 iir m Z J i m i r i v O O ( (所有質(zhì)元的動(dòng)量矩之和所有質(zhì)元的動(dòng)量矩之和) ) Z ZZ JL i v iiiZ

26、rmL 2. 2. 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)量矩（角動(dòng)量）定理剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)量矩（角動(dòng)量）定理 t JM z d d 由轉(zhuǎn)動(dòng)定律由轉(zhuǎn)動(dòng)定律JJtM z ddd 12 2 1 2 1 dd JJJtM t t z （動(dòng)量矩定理（動(dòng)量矩定理積分形式）積分形式） 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體所受合外力矩的沖量矩等于其動(dòng)量矩的增量定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體所受合外力矩的沖量矩等于其動(dòng)量矩的增量 0 z M0L常量J (1) (1) 變形體繞某軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，若其上各點(diǎn)變形體繞某軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，若其上各點(diǎn)( (質(zhì)元質(zhì)元) )轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度 相同，則變形體對(duì)該軸的動(dòng)量矩相同，則變形體對(duì)該軸的動(dòng)量矩 tJrm kk 2 說明說明 3. 3. 剛

27、體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)量矩（角動(dòng)量）守恒定律剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)量矩（角動(dòng)量）守恒定律 對(duì)對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體 動(dòng)量矩定理動(dòng)量矩定理 微分形式微分形式 當(dāng)當(dāng)變形體所受合外力矩為零時(shí)，變形體的動(dòng)量矩也守恒變形體所受合外力矩為零時(shí)，變形體的動(dòng)量矩也守恒 tJ tJ 如：花樣滑冰如：花樣滑冰 跳水跳水 芭蕾舞等芭蕾舞等 2211 JJ 例例1 1 一長(zhǎng)為一長(zhǎng)為L(zhǎng) L ，質(zhì)量為，質(zhì)量為m m的均勻細(xì)直棒，可繞軸的均勻細(xì)直棒，可繞軸 O O 自由轉(zhuǎn)動(dòng)。自由轉(zhuǎn)動(dòng)。 一質(zhì)量為一質(zhì)量為m m ，速度為，速度為 的子彈射入棒內(nèi)距支點(diǎn)為的子彈射入棒內(nèi)距支點(diǎn)為 a a 處，處， 使棒偏轉(zhuǎn)使棒偏轉(zhuǎn) 30300 0 。 解解

28、 求求 子彈的初速率子彈的初速率 L a O m m 過程過程1 1：子彈射入棒。子彈、棒系統(tǒng)：子彈射入棒。子彈、棒系統(tǒng)受力矩為零受力矩為零 Jam 過程過程2 2：棒從：棒從 1 2 1 2 。子彈、棒、地球。子彈、棒、地球 系統(tǒng)系統(tǒng) 1 2 0 內(nèi)非外 AA 機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒 選選 O O 點(diǎn)為勢(shì)能零點(diǎn)點(diǎn)為勢(shì)能零點(diǎn) 22 1 2 L gmmgaJ 6 cos 26 cos L gmmga 22 3 1 maLmJ（1） （2） ma 1 )3)(2)(32( 6 22 maLmmaLm g 求求 相對(duì)地面，人和轉(zhuǎn)臺(tái)各旋轉(zhuǎn)的角度。相對(duì)地面，人和轉(zhuǎn)臺(tái)各旋轉(zhuǎn)的角度。 解解 設(shè)設(shè) 例例2 2

29、質(zhì)量為質(zhì)量為M M 、半徑為、半徑為R R 的轉(zhuǎn)臺(tái)，可繞通過中心的豎直軸的轉(zhuǎn)臺(tái)，可繞通過中心的豎直軸 轉(zhuǎn)動(dòng)。設(shè)阻力忽略不計(jì)。質(zhì)量為轉(zhuǎn)動(dòng)。設(shè)阻力忽略不計(jì)。質(zhì)量為m m 的人站在臺(tái)邊緣，人沿臺(tái)的人站在臺(tái)邊緣，人沿臺(tái) 邊緣奔跑一周。邊緣奔跑一周。 O 人和轉(zhuǎn)臺(tái)組成的系統(tǒng)無人和轉(zhuǎn)臺(tái)組成的系統(tǒng)無 外力矩，動(dòng)量矩守恒外力矩，動(dòng)量矩守恒 臺(tái)臺(tái) 人人 2 2 1 MRJ 2 mRJ （相對(duì)地面） （人相對(duì)地面） （人相對(duì)臺(tái)） （正方向） 22 2 1 mRMR M mM2 臺(tái)對(duì)地人對(duì)臺(tái)人對(duì)地 人跑一周時(shí)間人跑一周時(shí)間 )2( 22 mM M t 人對(duì)地人對(duì)地 mM M t 2 2 臺(tái)對(duì)地臺(tái)對(duì)地 mM m t

30、2 4 M 2m 例例3 3 光滑水平桌面上，有長(zhǎng)為光滑水平桌面上，有長(zhǎng)為2L2L 質(zhì)量為質(zhì)量為 m m 的勻質(zhì)細(xì)桿，的勻質(zhì)細(xì)桿， 可繞過其中點(diǎn)且垂直于桿的豎直光滑固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)（可繞過其中點(diǎn)且垂直于桿的豎直光滑固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)（J=mLJ=mL2 2/3)/3)。 起始桿靜止。桌面上有兩個(gè)質(zhì)量均為起始桿靜止。桌面上有兩個(gè)質(zhì)量均為m m的小球，各自在垂直的小球，各自在垂直 于桿的方向上，正對(duì)桿的一端，以相同速率于桿的方向上，正對(duì)桿的一端，以相同速率U U0 0，同時(shí)與桿兩，同時(shí)與桿兩 端發(fā)生完全非彈性碰撞。求碰撞后系統(tǒng)的角速度。端發(fā)生完全非彈性碰撞。求碰撞后系統(tǒng)的角速度。 解解角動(dòng)量（動(dòng)量矩）守恒角動(dòng)量

31、（動(dòng)量矩）守恒 開始開始 0 0 22 222 mL L mLmL 碰撞后碰撞后系統(tǒng)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量系統(tǒng)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量22 2 3 1 mLmLJ 0 2mLJ L 0 7 6 例例4 4 一長(zhǎng)為一長(zhǎng)為l l的輕繩一端固定于光滑水平桌面的輕繩一端固定于光滑水平桌面O O點(diǎn)，另一端系點(diǎn)，另一端系 一個(gè)一個(gè)m m小球，小球，m m開始位于開始位于O O/ /點(diǎn)點(diǎn), ,O OO O/ /=hl=hl，即開始時(shí)繩為松弛，即開始時(shí)繩為松弛 狀態(tài)。小球一初速率狀態(tài)。小球一初速率U U0 0沿直線運(yùn)動(dòng)。直線垂直于沿直線運(yùn)動(dòng)。直線垂直于O OO O/ /。當(dāng)。當(dāng)m m 與與O O相距相距l(xiāng) l時(shí)，繩拉緊，而時(shí)，繩拉緊，而m m作圓周運(yùn)動(dòng)。求作圓周運(yùn)動(dòng)。求m m作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的 動(dòng)能動(dòng)能E Ek k與直線運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能與直線運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能E Ek0 k0之比。