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文檔簡(jiǎn)介
1、如果您需要使用本文檔,請(qǐng)點(diǎn)擊下載按鈕下載!概率論與隨機(jī)過(guò)程第一章習(xí)題答案1. 寫出下列隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間。(1) 記錄一個(gè)小班一次數(shù)學(xué)考試的平均分?jǐn)?shù)(設(shè)以百分制記分)。 解: ,其中為小班人數(shù)。(2) 同時(shí)擲三顆骰子,記錄三顆骰子點(diǎn)數(shù)之和。 解:。 (3) 10只產(chǎn)品中有3只是次品,每次從其中取一只(取出后不放回),直到將3只次品都取出,記錄抽取的次數(shù)。 解: 。(4) 生產(chǎn)產(chǎn)品直到得到10件正品,記錄生產(chǎn)產(chǎn)品的總件數(shù)。 解: 。(5) 一個(gè)小組有A,B,C,D,E5個(gè)人,要選正副小組長(zhǎng)各一人(一個(gè)人不能兼二個(gè)職務(wù)),觀察選舉的結(jié)果。 解: 其中,表示為正組長(zhǎng),為副組長(zhǎng),余類推。(6) 甲乙二
2、人下棋一局,觀察棋賽的結(jié)果。解: 其中,為和棋,為甲勝,為乙勝。(7) 一口袋中有許多紅色、白色、藍(lán)色乒乓球,在其中任意取4只,觀察它們具有哪幾種顏色。 解: 其中,分別表示紅色、白色、藍(lán)色。(8) 對(duì)某工廠出廠的產(chǎn)品進(jìn)行檢查,合格的蓋上“正品”,不合格的蓋上“次品”,如連續(xù)查出二個(gè)次品就停止檢查,或檢查4個(gè)產(chǎn)品就停止檢查,記錄檢查的結(jié)果。解: 其中,0為次品,1為正品。(9) 有A,B,C三只盒子,a,b,c三只球,將三只球裝入三只盒子中,使每只盒子裝一只球,觀察裝球的情況。 解: 其中,表示球放在盒子中,余者類推。(10) 測(cè)量一汽車通過(guò)給定點(diǎn)的速度。 解:(11) 將一尺之棰折成三段,觀
3、察各段的長(zhǎng)度。 解: 其中,分別表示第一段,第二段,第三段的長(zhǎng)度。#2. 設(shè)A,B,C為三事件,用A,B,C的運(yùn)算關(guān)系表示下列事件。(1) A發(fā)生,B與C不發(fā)生。 解:(2) A與B都發(fā)生,而C不發(fā)生。 解: (3) A,B,C都發(fā)生。 解: (4) A,B,C中至少有一個(gè)發(fā)生。 解: (5) A,B,C都不發(fā)生。 解: 1 / 141如果您需要使用本文檔,請(qǐng)點(diǎn)擊下載按鈕下載!(6) A,B,C中至多于一個(gè)發(fā)生。 解: (7) A,B,C中至多于二個(gè)發(fā)生。 解: (8) A,B,C中至少有二個(gè)發(fā)生。 解: . #3. 設(shè),,具體寫出下列各等式(1)。 解: ;(2)。 解: ;(3)。 解:;
4、(4) 。 解: (5)。 解: . # 4. 設(shè),具體寫出下列各式。(1)。 解: (2)。 解: (3)。 解: (4)。 解:. #5. 設(shè)A,B,C是三事件,且,求A,B,C至少有一個(gè)發(fā)生的概率。解:由題意可知:,故。或 ,。#6. 在1500個(gè)產(chǎn)品中有400個(gè)次品,1100個(gè)正品,任意取200個(gè)。(1) 求恰有90個(gè)次品的概率。(2) 至少有2個(gè)次品的概率。解:(1); (2) 設(shè)表示有個(gè)次品的概率,故至少有2個(gè)次品的概率為: . # 7.(1)在房間里有500個(gè)人,問(wèn)至少有一個(gè)人的生日是10月1日的概率是多少(設(shè)一年以365天計(jì)算)? (2)在房間里有4個(gè)人,問(wèn)至少有二個(gè)人的生日在
5、同一個(gè)月的概率是多少? 解:(1) 屬“分房問(wèn)題”,即有個(gè)人,每個(gè)人都以的概率被分在間房中的每一間中,某指定房間中至少有一人的概率。 設(shè)某指定房間中恰有個(gè)人的概率為,則有。故,某指定房間中至少有一人的概率為:2 / 142如果您需要使用本文檔,請(qǐng)點(diǎn)擊下載按鈕下載!。 所以,500個(gè)人中至少有一個(gè)人的生日是10月1日的概率為: (2) 屬“分房問(wèn)題”,即有個(gè)人,每個(gè)人都以的概率被分在間房中的每一間中,至少有二個(gè)人在同一間房中的概率。設(shè)A為“每一間房中至多有一個(gè)人”基本事件個(gè)數(shù):。“每一間房中至多有一個(gè)人”事件的個(gè)數(shù)為:。所以,“至少有二個(gè)人在同一間房中的概率”等于“至少有二個(gè)人的生日在同一個(gè)月的
6、概率”。 。 # 8. 一盒子中有4只次品晶體管,6只正品晶體管,隨機(jī)地抽取一只測(cè)試,直到4只次品管子都找到為止。求第4只次品管子在下列情況發(fā)現(xiàn)的概率。(1) 在第5次測(cè)試發(fā)現(xiàn)。(2) 在第10次測(cè)試發(fā)現(xiàn)。 解:(1) ;或; (2) 。 #9. 甲、乙位于二個(gè)城市,考察這二個(gè)城市六月份下雨的情況。以A,B分別表示甲,乙二城市出現(xiàn)雨天這一事件。根據(jù)以往的氣象記錄已知,求,及。解: ; 。 #10. 已知在10只晶體管中有2只次品,在其中取二次,每次隨機(jī)地取一只,作不放回抽樣,求下列事件的概率。(1) 二只都是正品。(2) 二只都是次品。(3) 一只是正品,一只是次品。(4) 第二次取出的是次品
7、。解: (1) ;(2) ;(3) ;或;(4) 。 #11. 某人忘記了電話號(hào)碼的最后一個(gè)數(shù)字,因而隨意地?fù)芴?hào),求他撥號(hào)不超過(guò)三次而接通所需的電話的概率是多少?如果已知最后一個(gè)數(shù)字是奇數(shù),那么此概率是多少?3 / 143如果您需要使用本文檔,請(qǐng)點(diǎn)擊下載按鈕下載!解:(1) ; (2) 。 #12. 某工廠中,機(jī)器分別生產(chǎn)產(chǎn)品總數(shù)的25%,35%和40%。它們生產(chǎn)的產(chǎn)品中分別有5%,4%,2%的次品,將這些產(chǎn)品混在一起,今隨機(jī)地取一只產(chǎn)品,發(fā)現(xiàn)是次品。問(wèn)這一次品是機(jī)器生產(chǎn)的概率分別是多少?解:設(shè)為“次品”,已知:,;,。故由,可得: ;。 # 13. 將二信息分別編碼為A和B傳送出去,接收站接
8、收時(shí),A被誤收作B的概率為0.02,而B被誤收作A的概率為0.01。信息A與信息B傳送的頻繁程度為2:1。若接收站收到的信息是A,問(wèn)原發(fā)信息是A的概率是多少?解:設(shè):分別表示收到信息是A 和B。由已知條件可知: ,。 。 #14. 如圖所示1,2,3,4,5,6表示繼電器接點(diǎn)。假設(shè)每一繼電器接點(diǎn)閉合的概率為,且設(shè)各繼電器接點(diǎn)閉合與否相互獨(dú)立。求L至R連通的概率是多少?解: 4 / 144如果您需要使用本文檔,請(qǐng)點(diǎn)擊下載按鈕下載! 。 #15. 對(duì)飛機(jī)進(jìn)行三次獨(dú)立的射擊,第一次射擊的命中率為0.4,第二次為0.5,第三次為0.7。飛機(jī)擊中一次而被擊落的概率為0.2,擊中二次而被擊落的概率為0.6
9、,若被擊中三次則飛機(jī)必然被擊落,求射擊三次而擊落飛機(jī)的概率。解: 設(shè):為第次射擊命中飛機(jī);:飛機(jī)擊中次而被擊落。:射擊三次而擊落飛機(jī)。 #16. 一袋中有5只乒乓球,編號(hào)為1,2,3,4,5,在其中同時(shí)取三只。以X表示取出的三只球中的最大號(hào)碼,寫出隨機(jī)變量X的概率質(zhì)函數(shù)。解: X3 4 5 17. (1) 設(shè)隨機(jī)變量X的概率質(zhì)函數(shù)為,為常數(shù),試確定常數(shù)。(2)設(shè)隨機(jī)變量X的概率質(zhì)函數(shù)為,試確定常數(shù)。解: (1), (2) , 。 #18. 設(shè)事件A在每一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為0.3,當(dāng)A發(fā)生不少于3次時(shí),指示燈發(fā)出信號(hào)。(1)進(jìn)行了5次獨(dú)立試驗(yàn),求指示燈發(fā)出信號(hào)的概率。(2)進(jìn)行了7次獨(dú)立試驗(yàn),
10、求指示燈發(fā)出信號(hào)的概率。解:由題意可知: 0.3 0.7 設(shè):,則。(1)時(shí),5 / 145如果您需要使用本文檔,請(qǐng)點(diǎn)擊下載按鈕下載!(2)時(shí),。 #19. 一電話交換機(jī)每分鐘的呼喚次數(shù)服從參數(shù)為4的泊松分布,求:(1)每分鐘恰有8次呼喚的概率。(2)每分鐘的呼喚次數(shù)大于10的概率。解: 參數(shù)為4的泊松分布為:, 。 故,(1) ; (2) 。 #20. 設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為 求, (2)求概率密度。解:(1)(2) (3) 。 #21. 一工廠生產(chǎn)的電子管的壽命X(以小時(shí)計(jì))服從參數(shù)為,的正態(tài)分布,若要求,允許最大為多少?解: 即,, 查表可得: 。 #22設(shè)隨機(jī)變量X的概率質(zhì)函數(shù)為 0
11、 1 31/5 1/6 1/5 1/15 11/30求的概率質(zhì)函數(shù)。解:由可知:。故有6 / 146如果您需要使用本文檔,請(qǐng)點(diǎn)擊下載按鈕下載!01491/57/301/511/3023. 設(shè)X的概率密度為,求的概率密度。解:,故。又, 。 # 24. 設(shè)概率變量(X,Y)的概率密度為求。解: 。 #25. 設(shè)X和Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,其概率密度分別為 試求隨機(jī)變量Z=X+Y的概率密度。7 / 147如果您需要使用本文檔,請(qǐng)點(diǎn)擊下載按鈕下載! y x+y=z1 x+y=1 0 x 1x+y1 x=z, y=0. 解:。 #26. 設(shè)概率變量(X,Y)的概率密度為。求的概率密度。解:是以原點(diǎn)
12、為中心,為半徑的圓域。且,故時(shí),。令,則 。 #27. 設(shè)某種型號(hào)的電子管的壽命(以小時(shí)計(jì))近似地服從分布,隨機(jī)地選取4只,求其中沒(méi)有一只壽命小于180 小時(shí)的概率。解: 設(shè)為取出的第只管子的壽命,故,令。因?yàn)橄嗷オ?dú)立,且同分布,所以,8 / 148如果您需要使用本文檔,請(qǐng)點(diǎn)擊下載按鈕下載!。 #28. 設(shè)隨機(jī)變量X的概率質(zhì)函數(shù)為-2 0 20.4 0.3 0.3求。解:,。 #29. 設(shè)X服從二項(xiàng)分布,其概率質(zhì)函數(shù)為 求和。解:。 #30. 設(shè)X服從泊松分布,其概率質(zhì)函數(shù)為 求和。解: ,。 #9 / 149如果您需要使用本文檔,請(qǐng)點(diǎn)擊下載按鈕下載!31. 設(shè)X服從均勻分布,其概率密度函數(shù)為
13、 求和。解: , 。 #32. 設(shè)X服從正態(tài)分布,其概率密度函數(shù)為。 求和。解: , 令,則其中,為奇函數(shù),故;而。 (令)。 #33. 有3只球,4只盒子,盒子的編號(hào)為1,2,3,4。將球獨(dú)立地,隨機(jī)地放入4只盒子中去。以X表示其中至少有一只球的盒子的最小號(hào)碼(例如X=3表示第1號(hào),第二號(hào)盒子是空的,第三只盒子至少有一只球),試求EX,DX。解:因?yàn)?球獨(dú)立放入4盒的總放法有43=64種。 按題意, X=4時(shí)的放法有種,故; X=3時(shí),放入3#盒后,余下的球必放入4#盒。其的放法有,故;X=2時(shí),放入2#盒后,余下的球必放入3#和4#盒。其的放法有種,故;X=1時(shí),放入1#盒后,余下的球必放
14、入2#,3#和4#盒。其的放法有10 / 1410如果您需要使用本文檔,請(qǐng)點(diǎn)擊下載按鈕下載!種,故;。,。 #34. 對(duì)于任意兩個(gè)隨機(jī)變量X,Y,證明下式成立:(1) ;(2) 。證: ; 。 #35. 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為。求(1)Y=2X,(2)的數(shù)學(xué)期望。解:;。 #36. 設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度函數(shù)為 試確定出常數(shù),并求。解: , 故, 。 #37. 已知正常男性成人血液中,每一毫升白細(xì)胞數(shù)平均是7300,均方差是700。 利用契契比雪夫不等式估計(jì)每毫升含白細(xì)胞數(shù)在52009400之間的概率。解: 已知:,。 故令11 / 1411如果您需要使用本文檔,請(qǐng)點(diǎn)擊下載按鈕下
15、載! 。 #38. 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為,其中為常數(shù)。求和。解: , ( )。 #39. 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為,其中為常數(shù)。求和。解: , ()。 #40. 設(shè)隨機(jī)變量X的概率質(zhì)函數(shù)為,。其中為常數(shù),則稱 X服從參數(shù)為的幾何分布。試求和。解:,=。 #41. 設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度函數(shù)為.。求、 。解: ,。#12 / 1412如果您需要使用本文檔,請(qǐng)點(diǎn)擊下載按鈕下載!42. 計(jì)算機(jī)在進(jìn)行加法時(shí),對(duì)每個(gè)加數(shù)取整(取為接近于它的整數(shù)),設(shè)所有的取整誤差是相互獨(dú)立的,且它們都在(-0.5,0.5)上服從均勻分布。(1) 若將1500個(gè)數(shù)相加,問(wèn)誤差總和的絕對(duì)值超過(guò)15的概率
16、是多少?(2) 幾個(gè)數(shù)可加在一起使得誤差總和的絕對(duì)值小于10的概率為0.90?解: 設(shè)X為取整誤差,則,。(1) 或: (2) , 。 # 43. (1)一個(gè)復(fù)雜的系統(tǒng),由100個(gè)相互獨(dú)立起作用的部件所組成。在整個(gè)運(yùn)行期間每個(gè)部件損壞的概率0.10。為了使整個(gè)系統(tǒng)起作用,至少必需有85個(gè)部件工作,求整個(gè)系統(tǒng)工作的概率。(2)一個(gè)復(fù)雜的系統(tǒng),由n個(gè)相互獨(dú)立起作用的部件所組成。每個(gè)部件的可靠性(即部件工作的概率)為0.90。且必須至少有80%部件工作才能使整個(gè)系統(tǒng)工作,問(wèn)n至少為多少才能使系統(tǒng)的可靠性為0.95。解: 設(shè)每個(gè)部件損壞的概率,則每個(gè)部件未損壞的概率。令,由此可知具有參數(shù)為,的二項(xiàng)分布, 故
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