第十章非正弦周期電流電路

1、第十章非正弦周期電流電路 第十章(2) 非正弦周期電流電路 線性電路中若有多個不同頻率的正弦電 源，或者線性電路中含有非正弦周期電 源，則電路進(jìn)入穩(wěn)態(tài)后的電流和電壓響 應(yīng)將是非正弦周期函數(shù)，稱這種電路為 非正弦周期電流電路。 第十章非正弦周期電流電路 10(1).1 多個不同頻率正弦電源作用下線 性電路的穩(wěn)態(tài)響應(yīng) 10(1).2 非正弦周期電源作用下線性電路 的穩(wěn)態(tài)響應(yīng) 10(1).3 非正弦周期電流電路中電流和電 壓的有效值 10(1).4 非正弦周期電流電路的平均功率 10(1).5 例題 第十章非正弦周期電流電路 10(1).1 多個不同頻率正弦電源作用下 線性 電路的穩(wěn)態(tài)響應(yīng) 根據(jù)疊加

2、定理，當(dāng)電路中包含有多個不 同頻率正弦電源（其中可含直流電源） 時，可分別求出各單一頻率正弦電源及 支流電源單獨作用時電路的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)， 然后疊加。 第十章非正弦周期電流電路 應(yīng)注意以下問題： 求各單一頻率穩(wěn)態(tài)響應(yīng)時，可分別采用相量法。 不同頻率電源作用時，電感和電容的阻抗是不同的。 直流電源作用時，電感相當(dāng)于短路，電容相當(dāng)于開路。 不同頻率正弦量的相量求和是無意義的，疊加只能對 瞬時表達(dá)式進(jìn)行。 第十章非正弦周期電流電路 5 1 1 1H is 1F i0 + - us ,)(5cos10Vtu s 例：電路如圖，已知 )(4cos2Atis，求 i0 。 解：us 單獨作用時電路相量 模型如

3、圖。 1 + - Lj 1 C j 1 1 Sm U m I 0m I 5 1 jLj 2.0 1 1 j C j )(010VU o ms 第十章非正弦周期電流電路 解得: o o m jjjj I8 .1179. 9 )2 . 05()2 . 0(51 010 )(8 .112 .10 24 25 2 .05 5 AI jj j II o mmmo )( )8.115cos(2.10 0 Ati o 第十章非正弦周期電流電路 4 2 is 單獨作用時電路相量模型如圖。 4 2 jLj )(4 2 SjCj )(02AI o ms 1 Lj 2 C j 2 1 Sm I 0m I 解得: )

4、( )9.144cos(06.2 0 Ati o )(9.1406.2 4)41(1 4 02A jj j I o o mo 第十章非正弦周期電流電路 根據(jù)疊加定理，有： i0 的周期： i0 的周期： i0 的周期 T 是 T1 和 T2 的最小公倍數(shù)： 4.052 1 T 5.042 2 T 245 21 TTT 000 iii )( )9 .144cos(06. 2)8 .115cos(2 .10Att oo 第十章非正弦周期電流電路 10(1).2 非正弦周期電源作用下線 性電路的穩(wěn)態(tài)響應(yīng) v周期函數(shù)的傅立葉級數(shù)展開式 設(shè)周期函數(shù) 的周期 T ，且滿足狄氏條件（在 一周期內(nèi)絕對可積、在

5、一周期內(nèi)只有有限個極大值 和極小值、在一周期內(nèi)只有有限個不連續(xù)點），則 可展開成級數(shù)： )(tf )(tf 1 10 )cos()( k kk tkAatf （動畫（動畫14.1） 第十章非正弦周期電流電路 其中：a0 為 f(t)的恒定分量（平均值； )cos( 111 tA為 f(t)的基波分量， 基波頻率與f(t) 的頻率相同；T2 1 Ak是為 f(t)的 k 次諧波的振幅，k 是k 次諧波的 初相位， k 次諧波的頻率是基波頻率的 k 倍。 第十章非正弦周期電流電路 v非正弦周期電源作用下電路的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)求解 根據(jù)傅立葉級數(shù)將非正弦周期電源分解成直流分 量及各次諧波分量，相當(dāng)于在電路輸

6、入端施加多 個等效電壓源串聯(lián)。 分別計算個各次諧波分量單獨作用時電路的響應(yīng) 分量。 由于電路是線性的，根據(jù)疊加原理，上述響應(yīng)分 量的代數(shù)和就是非正弦周期電源作用下電路的穩(wěn) 態(tài)響應(yīng)。 一般步驟： 第十章非正弦周期電流電路 注意問題： 在直流電源激勵時，電感器 L 短接，電容器 C 開路。 在 k 次諧波激勵時，感抗為 ，容抗為LkX Lk1 ,1 1C kX Ck ,1 1L kBLk. 1C kBCk感納為容納為 第十章非正弦周期電流電路 10(1).3 非正弦周期電流電路中電流 和電壓的有效值 v非正弦周期電流和電壓的有效值 T dtti T I 0 2 )( 1 周期為 T 的非正弦周期電

7、流 i(t) 的有效值為： 第十章非正弦周期電流電路 若 i(t) 表為恒定分量和 L個不同頻率正弦分量的和： L k kkk taIIti 1 0 )(cos2)( 其中：ak ( k=1, 2 , ) 均為正整數(shù)，=2/T 。 T L k kkk dttaII T I 0 2 1 0 )(cos2 1 則： 第十章非正弦周期電流電路 考慮根號內(nèi)函數(shù)： T L k kkk dttaII T 0 2 1 0 )(cos2 1 展開后有如下項： 2 0 0 2 0 1 IdtI T T 0)cos(22 1 0 0 T kkk dttaII T 第十章非正弦周期電流電路 0)cos(2)cos(

8、22 1 0 T qqqkkk dttaItaI T 2 0 22 )(cos)2( 1 k T kkk IdttaI T 于是有： 22 2 2 1 2 0L IIIII 22 2 2 1 2 0L UUUUU 同樣可推得： 第十章非正弦周期電流電路 L k kikk taIIti 1 0 )(cos2)( 設(shè)非正弦周期電流電路中某一單口 網(wǎng)絡(luò)的端電流和端電壓表達(dá)式為： L k kukk taUUtu 1 0 )(cos2)( 其中：ak ( k=1, 2 , ) 均為正整數(shù)。i和 u 的周 期為 T = 2 / 。 N + - ui 10(1).4 非正弦周期電流電路的平均功率 第十章非正

9、弦周期電流電路 將被積函數(shù)展開后，以上積分式可分解成如下積分項： 00 0 00 1 IUdtIU T T 0)(cos2 1 0 0 T k ikk dttaIU T 0)(cos2 1 0 0 T kukk dttaUI T 則網(wǎng)絡(luò) N 吸收的平均功率為： TT dttitu T dttp T P 00 )()( 1 )( 1 第十章非正弦周期電流電路 T k ikkkukk dttaItaU T 0 )cos(2)cos(2 1 kkkk ikukk IUIUcos)(cos L L k kkk PPPPIUIUP 220 1 00 cos 平均功率等于直流分量構(gòu)成的功率和各次諧波分量

10、構(gòu)成的平均功率之和。 得： 0)cos(2)cos(2 1 0 T q iqqkukk dttaItaU T 第十章非正弦周期電流電路 N + - ui 例1：單口網(wǎng)絡(luò)如圖，已知 )(3cos302cos50cos100100)(Vttttu )( )1353cos(2)60cos(10)(Attti oo 求單口網(wǎng)絡(luò)吸收的平均功率 P 及電流和電壓的有效值。 第十章非正弦周期電流電路 解： 3210 PPPPP oo 135cos 2 2 2 30 060cos 2 10 2 100 0 )(8 .228)2 .21(250W )(21.752 2 2 2 10 22 AI )(23.129

11、16700 2 30 2 50 2 100 100 222 2 VU 第十章非正弦周期電流電路 例2：電路如圖，已知 )( )303cos(502cos100210)(Vtttu o 2,5LR 求 i 、I 及負(fù)載吸收的平均功率 P 。 解： )(2510 00 ARUI R L + - u i )(8 .2155.18 25 0100 1 1 A jLjR U I o o )(19.204 . 6 65 3050 3 3 3 A jLjR U I o o 第十章非正弦周期電流電路 )8 .21cos(55.1822 310 o tiiIi )( )19.203cos(4 . 62At o

12、2 3 2 1 2 0 IIII )(725.194 . 655.182 222 A 310 PPPP )(3 .1945 22 3 2 1 2 0 WRIRIRIRI 第十章非正弦周期電流電路 10(1).5 例題 + - u i 無源網(wǎng)絡(luò) 例1：如圖所示，已知 00 602sin40230sin802100ttu Vtt 00 754sin102453sin202 Atti 00 453sin2230sin42 求該電路的有功功率 P 。 第十章非正弦周期電流電路 + - u i 無源網(wǎng)絡(luò) 解：因為只有同頻率的電壓 和電流諧波分量才能構(gòu)成平 均功率，所以 333111 coscosIUIU

13、P W160 0000 4545cos2203030cos480 - - - - - - 第十章非正弦周期電流電路 R L uRu 例2：如圖所示RL串聯(lián)電路，若 ,100,1RL 輸入電壓 tVtu3sin70sin10020 且基波頻率為50Hz，求輸出電壓 。 R u 解： （1）輸入電壓已分解為傅氏級數(shù)，即 310 uuUu tVt3sin70sin10020 （2）計算各分量單獨作用時的輸出電壓。 單獨作用時，因為直流電路中電感相當(dāng)于短路，所以： 0 U VUU R 20 0 0 第十章非正弦周期電流電路 單獨作用時，應(yīng)用相量法可得： 1 u R LjR U R jXR U U m

14、L m Rm 11 1 1 V j 0 0 3 .72/ 3 .30100 314100 0/100 .3 .72sin3 .30 0 1 VtuR LX L 1 .3142sradf 式中 為基波感抗， 所以 第十章非正弦周期電流電路 R LjR U R jXR U U m L m Rm 3 33 3 3 V j 0 0 9 .83/4 . 7100 942100 0/70 3 u 13 33 LL XLX 單獨作用時，應(yīng)注意三次諧波感抗： 即三次諧波感抗為基波感抗的3倍，由此可推得k次 諧波感抗為基波感抗的k倍。 應(yīng)用相量法可得： .9 .833sin4 . 7 0 3 VtuR所以 第十

15、章非正弦周期電流電路 （3）將所求得的輸出電壓各諧波分量瞬時值相疊加得： 310 RRRR uuUu Vtt 00 9 .833sin4 . 73 .72sin3 .3020 注意： 由于電感電容的存在，因此電路對不同頻率的諧波 的阻抗不同，可稱之為諧波阻抗； 在最后結(jié)果時必須用待求量的各次諧波的瞬時值相 疊加，而絕不可把各次諧波的相量相疊加。 第十章非正弦周期電流電路 i3 R2 R1 i1i2 L C u 1 R Vttu 0 303sin7 .70sin4 .14110 ,2 1 LX L ,15 1 1 C X C ,5 1 R .10 2 R 例3：設(shè)如圖（a）所示電路中的電壓 且已

16、知 試求各支路電流及 支路吸收的平均功率。 （a） 解：題目已給定非正弦周期電壓 的傅立葉級數(shù)展開式，可直接進(jìn) 行計算。 第十章非正弦周期電流電路 直流分量單獨作用時的電路如圖（b）所示。按此 電路可計算各支路電流的直流分量 R2 R1 20 I 0 U 10 I30 I OC U + - （b） A R U I2 5 10 0 10 0 20 I AII2 1030 第十章非正弦周期電流電路 1 u 基波 單獨作用時的相量模型如圖（c）所示，用 相量法計算得各支路電流基波分量的相量： VU 00 1 0/1000/ 2 4 .141 25 0/100 0 1 1 11 jjXR U I L

17、A 0 0 0 8 .21/55.18 8 .21/39.5 0/100 1510 0/100 0 1 1 21 jjXR U I C A 0 0 0 31.56/55.5 31.56/03.18 0/100 R2 R1 11 I 1L jX 1 U 1C jX 21 I 31 I （c） 第十章非正弦周期電流電路 00 211131 31.56/55. 58 .21/55.18III 62. 408. 389. 622.17jj Aj 0 38. 6/43.2027. 23 .20 R2 R1 13 I 3L jX 3 U 33 I 23 I 3C jX （d） 3 u三次諧波 單獨作用時的

18、 相量模型如圖（d）所示， 用相量法計算 第十章非正弦周期電流電路 VU 00 3 30/5030/ 2 7 .70 A jjXR U I L 0 0 00 3 3 13 19.20/4 . 6 19.50/81. 7 30/50 65 30/50 A jjXR U I C 0 0 00 3 3 23 57. 6/475. 4 57.26/18.11 30/50 510 30/50 231333 III A 000 19.10/6 . 857.56/47. 419.20/4 . 6 第十章非正弦周期電流電路 0 1 8 .21sin55.1822ti At 0 19.203sin4 . 62

19、0 2 31.56sin55. 52ti At 0 57. 63sin47. 42 0 3 38. 6sin43.2022ti At 0 19.103sin6 . 82 把各支路電流的各諧波分量瞬時值進(jìn)行疊加得 最終結(jié)果： 第十章非正弦周期電流電路 33311110101 coscosIUIUIUP )19.20(30cos4 . 6508 .21cos55.18100210 000 W1947205172220 1 2 11 RIP AIIII06.3894 . 655.182 2222 13 2 11 2 10 2 1 WRIP1945506.389 1 2 11 1 R 支路吸收的功率：

20、 1 R 1 R 支路的平均功率還可以這樣計算：因為該支路的平 均功率實際上就是耗能元件 吸收的功率： 所以 計算結(jié)果與上面一致，出現(xiàn)的差值是由舍入誤差引起 的，是允許的。 第十章非正弦周期電流電路 例4：電路如圖所示，已知,100 1 FC ,1 s i ,)452000cos(8)301000cos(1 .1410 00 Vttus ,)301000cos(41. 1 0 ti 2 C 3 R 3 R 電流源 電壓源電流 電阻R中流過的直流電流為0.5A（方向如圖所示）。 試求R，L， ， 的值及 上的電壓。 R L 1 C i R i 2 C s i 3 R s u 第十章非正弦周期電流電路 解：根據(jù)已知條件可見，電流 與電壓源 中的基 波分量同頻同相，而二次諧波分量為零。這說明 支路對 中的基波頻率發(fā)生串聯(lián)諧振，而 回路 對二次諧波頻率發(fā)生并聯(lián)諧振。 i s u 1 LC 21C LC s u 1 LCsrad 3 1 10因為 支路對基波角頻率 發(fā)生串聯(lián) 諧振，所以 m C L10 1010 11 46 1 2 1 第十章非正弦周期電流電路 因為 回路對二次諧波角頻率 發(fā)生并聯(lián)諧振，所以回路的等效電容量 21C LCsrad 3 2 102 F L C 25 1010