§2.2概率論的基本知識

1、2.2 2.2 概率論的基本知識概率論的基本知識 在在1.61.6中討論氣體分子碰壁數(shù)及氣體壓強公式時認中討論氣體分子碰壁數(shù)及氣體壓強公式時認 為每一分子均以平均速率運動，為每一分子均以平均速率運動， 氣體分子的速率是隨機變量氣體分子的速率是隨機變量, ,如何去求平均速率、方如何去求平均速率、方 均根速率均根速率? ? 其關(guān)鍵是其關(guān)鍵是找到一個因分子速率大小不同，因而它們出找到一個因分子速率大小不同，因而它們出 現(xiàn)的概率也不同的規(guī)律，我們稱它為分子按速率的概現(xiàn)的概率也不同的規(guī)律，我們稱它為分子按速率的概 率分布律。率分布律。 本節(jié)將介紹有關(guān)概率及概率分布函數(shù)的基本知識。本節(jié)將介紹有關(guān)概率及概率

2、分布函數(shù)的基本知識。 2.2.12.2.1伽爾頓板實驗伽爾頓板實驗 概率統(tǒng)計的最直觀的演示是伽爾頓板實驗，如下左圖概率統(tǒng)計的最直觀的演示是伽爾頓板實驗，如下左圖 所示。所示。 因為無法使小球落入漏斗內(nèi)的初始狀態(tài)完全相同因為無法使小球落入漏斗內(nèi)的初始狀態(tài)完全相同, ,因因 而小球進入哪一小槽完全是隨機的。而小球進入哪一小槽完全是隨機的。 只要小球總數(shù)足夠多（只要小球總數(shù)足夠多（N N ），），則每一小槽內(nèi)都則每一小槽內(nèi)都 有小球落入，且第有小球落入，且第i i個槽內(nèi)小球數(shù)個槽內(nèi)小球數(shù)N Ni i 與小球總數(shù) 與小球總數(shù)N N（N N =N Ni i）之比有一定的分布。之比有一定的分布。 若板中各

3、釘子是等距離配置的，則其分布曲線是對若板中各釘子是等距離配置的，則其分布曲線是對 稱的稱的, ,如下右圖所示。如下右圖所示。 重復(fù)實驗重復(fù)實驗N N次次, , （ N N ），），其分布曲線都相同。其分布曲線都相同。 由此可見，由此可見，雖然各小球在與任一釘子碰撞后向左還是雖然各小球在與任一釘子碰撞后向左還是 向右運動都是隨機的，由很多偶然因素決定，向右運動都是隨機的，由很多偶然因素決定， 但最終大量小球的總體在各槽內(nèi)的分布卻有一定的分但最終大量小球的總體在各槽內(nèi)的分布卻有一定的分 布規(guī)律，這種規(guī)律由統(tǒng)計相關(guān)性所決定。布規(guī)律，這種規(guī)律由統(tǒng)計相關(guān)性所決定。 2.2.2 2.2.2 等概率性與概率

4、的基本性質(zhì)等概率性與概率的基本性質(zhì) （一）概率的定義（一）概率的定義 在一定條件下，如果某一現(xiàn)象或某一事件可能發(fā)生也在一定條件下，如果某一現(xiàn)象或某一事件可能發(fā)生也 可能不發(fā)生，就稱為隨機事件?？赡懿话l(fā)生，就稱為隨機事件。 例如擲骰子哪一面朝上完全是隨機的，受到許多不能例如擲骰子哪一面朝上完全是隨機的，受到許多不能 確定的偶然因素的影響。確定的偶然因素的影響。 若在相同條件下重復(fù)進行同一個試驗（如擲骰子），若在相同條件下重復(fù)進行同一個試驗（如擲骰子）， 在總次數(shù)在總次數(shù) N N 足夠多的情況下（即足夠多的情況下（即 N N ），），計算所計算所 出現(xiàn)某一事件（如哪一面向上）的次數(shù)出現(xiàn)某一事件（如

5、哪一面向上）的次數(shù) N Ni i，則則 )(lim i i N N P N 其百分比即該事件出現(xiàn)其百分比即該事件出現(xiàn) 的概率為的概率為 （二）等概率性（二）等概率性 在擲骰子時，一般認為出現(xiàn)每一面向上的概率是相等在擲骰子時，一般認為出現(xiàn)每一面向上的概率是相等 的。的。 但是若在某一面上鉆個小孔，在小孔中塞進些鉛，然但是若在某一面上鉆個小孔，在小孔中塞進些鉛，然 后再封上，哪一面向上的概率必然不相等。后再封上，哪一面向上的概率必然不相等。 由此可總結(jié)出一條基本原理：由此可總結(jié)出一條基本原理： （三）概率的基本性質(zhì)（三）概率的基本性質(zhì) （1 1） 所謂所謂n n個互相排斥（簡稱互斥）的事件是指，出

6、現(xiàn)事個互相排斥（簡稱互斥）的事件是指，出現(xiàn)事 件件1 1，就不可能同時出現(xiàn)事件，就不可能同時出現(xiàn)事件2 2，3 3 n n，同樣對同樣對2 2， 3 3 n n 事件也是如此。事件也是如此。 （ 例如例如: :把一個骰子連續(xù)擲兩次，若骰子擲第二次出現(xiàn)把一個骰子連續(xù)擲兩次，若骰子擲第二次出現(xiàn) 的概率與第一次擲過否，第一次出現(xiàn)的哪一面向上都的概率與第一次擲過否，第一次出現(xiàn)的哪一面向上都 無關(guān)，無關(guān)， 我們就說連續(xù)兩次擲骰子是統(tǒng)計獨立的。我們就說連續(xù)兩次擲骰子是統(tǒng)計獨立的。 若骰子是剛性的，且每一面向上的概率都是若骰子是剛性的，且每一面向上的概率都是1/61/6，連，連 續(xù)擲兩次出現(xiàn)的花樣為續(xù)擲兩次

7、出現(xiàn)的花樣為1111，1212，,65,65，6666共共3636種花種花 樣。樣。 顯然這顯然這3636種花樣也是等概率的，故連續(xù)擲兩次均出種花樣也是等概率的，故連續(xù)擲兩次均出 現(xiàn)現(xiàn) “1” “1”的概率是的概率是 )1 ()1 ( 6 1 6 1 36 1 11 PPP 2.2.3 平均值及其運算法則平均值及其運算法則 統(tǒng)計分布的最直接的應(yīng)用是求平均值。統(tǒng)計分布的最直接的應(yīng)用是求平均值。 以求平均年齡為例，以求平均年齡為例，N N 個人的年齡平均值就是個人的年齡平均值就是 N N 個人個人 的年齡之和除以總?cè)藬?shù)的年齡之和除以總?cè)藬?shù) N N。 求年齡之和可以將人按年齡分組，設(shè)求年齡之和可以將

8、人按年齡分組，設(shè)u ui i為隨機變量（例為隨機變量（例 如年齡），其中出現(xiàn)（年齡）如年齡），其中出現(xiàn)（年齡）u u1 1值的次（或人）數(shù)為值的次（或人）數(shù)為N N1 1， u u2 2值的次（或人）數(shù)為值的次（或人）數(shù)為N N2 2, , 則該隨機變量（年齡）則該隨機變量（年齡） 的平均值為的平均值為 i i N uNuN u 2211 這兩個式子的不同是，上式是通過隨機變量的和（即這兩個式子的不同是，上式是通過隨機變量的和（即 求和式）來求平均值的，求和式）來求平均值的， 而下式是利用概率分布來求平均值的。而下式是利用概率分布來求平均值的。 利用下式可把求平均值的方法推廣到較為復(fù)雜的情況，

9、利用下式可把求平均值的方法推廣到較為復(fù)雜的情況， 從而得到如下的平均值的運算公式從而得到如下的平均值的運算公式 ii i uPuPuPu 2211 ii n i Pufuf)()( 1 N uN N uNuN u ii i i i 2211 因為因為N Ni i / / N N 是出現(xiàn)是出現(xiàn) u ui i 值的百分比，當(dāng) 值的百分比，當(dāng)N N 時該百時該百 分比就是出現(xiàn)分比就是出現(xiàn) u ui i 值的概率 值的概率 P Pi i ， ，故故 平均值的性質(zhì)平均值的性質(zhì): ( (3)3)若隨機變量若隨機變量 u u 和隨機變量和隨機變量 v v 相互統(tǒng)計獨立。又相互統(tǒng)計獨立。又 f f ( ( u

10、 u ) ) 是是u u 的某一函數(shù)，的某一函數(shù)，g g（v v）是是 v v 的另一函數(shù)，的另一函數(shù)， 則則 )()()()(ugufuguf )()(ufcucf )()()()(vgufvguf 1 1 i n i P 設(shè)設(shè)f f（u u）是隨機變量是隨機變量 u u 的函數(shù)，則的函數(shù)，則 ( 1 )( 1 ) （2 2）若）若 C C 為常數(shù)，則為常數(shù)，則 應(yīng)該注意到，以上討論的各種概率都是歸一化的，即應(yīng)該注意到，以上討論的各種概率都是歸一化的，即 2.2.4 2.2.4 均方偏差均方偏差 其偏離值的平均值為零，其偏離值的平均值為零， 但均方偏差不為零但均方偏差不為零。 uuu ii

11、2 2 2 2 2uuuuuu 0 2 u 2 2 2 2uuuuu 2 2 uu 隨機變量會偏離平均值隨機變量會偏離平均值 ，即，即 0uu 可見可見 rms 2 1 2 2 1 2 u u u u u 0 rms u 定義相對方均根偏差定義相對方均根偏差 當(dāng)當(dāng)u ur r 所有值都等于相同值時，所有值都等于相同值時， 2.2.5 概率分布函數(shù)概率分布函數(shù) 上面所討論的隨機變量只能取分立的，或稱離散的上面所討論的隨機變量只能取分立的，或稱離散的 數(shù)值。數(shù)值。 實際上有很多變量是連續(xù)變化的，例如粒子的空間位實際上有很多變量是連續(xù)變化的，例如粒子的空間位 置或粒子的速率。置或粒子的速率。 在隨機

12、變量取連續(xù)值時，上述求平均值公式中在隨機變量取連續(xù)值時，上述求平均值公式中 P Pi i 也也 是連續(xù)分布的。是連續(xù)分布的。 但是因為測量儀器總有一定誤差，在測量分子速率時，但是因為測量儀器總有一定誤差，在測量分子速率時， 我們測不出分子速率恰好為我們測不出分子速率恰好為100 m/s100 m/s的分子數(shù)是多少，的分子數(shù)是多少， 若儀器的誤差范圍為若儀器的誤差范圍為1 m/s1 m/s，則我們只能測出分子速，則我們只能測出分子速 率從率從99.5 m/s99.5 m/s到到100.5 m/s100.5 m/s的分子數(shù)是多少。的分子數(shù)是多少。 我們也不能講分子速率恰好處于我們也不能講分子速率恰

13、好處于100 m/s100 m/s的概率，而的概率，而 只能講分子速率介于某一范圍（例如只能講分子速率介于某一范圍（例如99 m/s99 m/s101 101 m/sm/s）內(nèi)的概率。）內(nèi)的概率。 為了對連續(xù)變量的概率分布了解得更清楚，下面舉為了對連續(xù)變量的概率分布了解得更清楚，下面舉 一個有關(guān)打靶試驗的例子一個有關(guān)打靶試驗的例子。 子彈沿子彈沿靶板的分布實驗靶板的分布實驗: : 右圖是用直角坐標(biāo)表示靶右圖是用直角坐標(biāo)表示靶 板上靶點的分布。板上靶點的分布。 把靶平面劃分出很多寬為把靶平面劃分出很多寬為 x x的窄條，的窄條， x x的寬度比黑點的大小要的寬度比黑點的大小要 大得多。大得多。

14、數(shù)出在數(shù)出在x x 到到x x +x x 范圍窄范圍窄 條內(nèi)的黑點數(shù)條內(nèi)的黑點數(shù)N N， 把它除以靶板上總的黑點把它除以靶板上總的黑點 數(shù)數(shù)N N。 則其百分比則其百分比 N / N N / N 就是黑點處于就是黑點處于x x 到到x x + +x x 范圍內(nèi)這一窄條范圍內(nèi)這一窄條 的概率。的概率。 然后以然后以 N / N N / N x x = = f f ( (x x ) )為縱坐標(biāo)，以為縱坐標(biāo)，以 x x 為橫坐標(biāo)，為橫坐標(biāo)， 畫出一根根豎條，每根豎條的寬度為畫出一根根豎條，每根豎條的寬度為 x x。 豎條面積才是粒子數(shù)所占的豎條面積才是粒子數(shù)所占的 百分比，即概率。百分比，即概率。

15、若令若令 x x0 0 ，就得到一條，就得到一條 連續(xù)曲線，連續(xù)曲線， 這時的縱坐標(biāo)這時的縱坐標(biāo) N / N N / N x x = = f f ( (x x ) )稱為黑點沿稱為黑點沿 x x 方向分方向分 布的概率密度，表示黑點沿布的概率密度，表示黑點沿x x 方向的相對密集程度方向的相對密集程度 f f（x x）d dx x表示黑點的位置處于表示黑點的位置處于x x 到到 x x + d+ dx x 范圍內(nèi)范圍內(nèi) 的概率。的概率。 這就是曲線中這就是曲線中x x 到到x x + d+ dx x 微小線段下的面積。而黑微小線段下的面積。而黑 點處于點處于x x1 1到到x x2 2范圍內(nèi)的

16、概率為范圍內(nèi)的概率為 xxf x x d)( 2 1 1d)( xxf 如果把積分區(qū)域擴展為無窮大如果把積分區(qū)域擴展為無窮大, ,則則 這稱為歸一化。這稱為歸一化。 類似地可把靶板沿類似地可把靶板沿y y方向劃分為若干寬為方向劃分為若干寬為 y y 的窄條的窄條, , 數(shù)出每一窄條中的黑點數(shù)，求出數(shù)出每一窄條中的黑點數(shù)，求出 F F ( ( y y )= )= N /N N /N y y 并令并令 y y 0 ,0 ,可得到黑點處于可得到黑點處于y y 到到 y y + d+ dy y 范圍內(nèi)的概范圍內(nèi)的概 率率 f f（y y）d dy y。 顯然，黑點處于顯然，黑點處于 x x 到到 x

17、x + d+ dx x，同時處于同時處于 y y 到到 y y + + d dy y 范圍內(nèi)的概率就是圖中打上斜線的范圍內(nèi)的黑點范圍內(nèi)的概率就是圖中打上斜線的范圍內(nèi)的黑點 數(shù)與總黑點數(shù)之比。為什么數(shù)與總黑點數(shù)之比。為什么? ? 因為這樣的黑點既要處于因為這樣的黑點既要處于 x x 到到 x x + d+ dx x 范圍內(nèi)，又范圍內(nèi)，又 要處于要處于 y y 到到 y y + d+ dy y 范圍內(nèi)，這是同時事件。范圍內(nèi)，這是同時事件。 又粒子處于又粒子處于x x 坐標(biāo)與坐標(biāo)與y y 坐標(biāo)是彼此獨立的。坐標(biāo)是彼此獨立的。 按相互獨立事件的概率相乘法則按相互獨立事件的概率相乘法則, , 粒子處于該面積上的概率為粒子處于該面積上的概率為 f f（x x）d dx x f f（y y）d dy y = = f f（x x，y y）d dx xd dy y f f（x x，y y）稱為黑點沿平面位置的稱為黑點沿平面位置的概率密度分布函數(shù)概率密度分布函數(shù)， 它表示在這一區(qū)域內(nèi)黑點相對密集的程度。它表示在這一區(qū)域內(nèi)黑點相對密集的程度。 f f（x x，y y）d dx x d dy y 稱為沿平面位置的稱為沿平面位置的概率分布函數(shù)。概率分布函數(shù)。 如果要求出處于如果要求出處于x x1 1到到x x2 2、y y1