人船模型的建立及其應(yīng)用

1、人船模型”的建立及其應(yīng)用山東省高青一中 于正和動(dòng)量守恒是高中的重點(diǎn)內(nèi)容之一，也是高考考查的主要內(nèi)容在動(dòng)量守恒問題中常見到這樣一類問題：初態(tài)時(shí)系統(tǒng)總 動(dòng)量為零，在物體發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)某一方向的動(dòng)量守恒（如水平方向） 對(duì)于這類問題我們可以借用“人船模型”很 方便的解決建模 如圖 1 所示，長為 、質(zhì)量為 的小船停在靜水中，質(zhì)量為 的人從 靜止開始從船頭走到船尾，不計(jì)水的阻力，求船和人對(duì)地面的位移各為多少？解析：以人和船組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象，在人由船頭走到船尾的過程中，系 統(tǒng)在水平方向不受外力作用，所以整個(gè)系統(tǒng)在水平方向動(dòng)量守恒當(dāng)人起步加速 前進(jìn)時(shí)，船同時(shí)向后做加速運(yùn)動(dòng)；人勻速運(yùn)動(dòng)，則船勻速運(yùn)動(dòng)

2、；當(dāng)人停下來時(shí)， 船也停下來 設(shè)某時(shí)刻人對(duì)地的速度為 v，船對(duì)地的速度為 V，取人行進(jìn)的方向?yàn)?正方向，根據(jù)動(dòng)量守恒定律有： mv MV=0即 V mvM因?yàn)槿擞纱^走到船尾的過程中，每一時(shí)刻都滿足動(dòng)量守恒定律，所以每一人船時(shí)刻人的速度與船的速度之比，都與它們的質(zhì)量之比成反比因此人由船頭走到船尾的過程中，人的平均速度均速度 V 也與它們的質(zhì)量成反比，即們的質(zhì)量成反比，即 s船 m s人 M圖1v 與船的平V m 而人的位移 s人=v t ，船的位移 s 船=V t ，所以船的位移與人的位移也與它 vM式是“人船模型”的位移與質(zhì)量的關(guān)系，此式的適用條件：原來處于靜止?fàn)顟B(tài)的系統(tǒng)，在系統(tǒng)發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)

3、的過程中，某一個(gè)方向的動(dòng)量守恒由圖可以看出： s 船 s 人 = 由 兩式解得 s人M Ls船m LM m M m應(yīng)用模型解題例 如圖所示，斜面長為 L，傾角為 、質(zhì)量為 M 的斜面頂端上，有一質(zhì)量為 m、邊 長為 l 的正方形小物塊由靜止開始下滑，若不計(jì)一切摩擦，求小物塊由頂端剛滑到底端過程中 斜面在水平面上滑行的位移解析：設(shè)末狀態(tài)物塊和斜面對(duì)地的速度分別為v、V，以斜面的運(yùn)動(dòng)方向?yàn)檎较?，由?dòng)量守恒得： MV mv =0由“人船模型”知：Ms1 ms2 =0由圖知： s1+s2=（ Ll ）costt圖2由以上兩式解得s1=mMm(L l)cos例 2 如圖所示，質(zhì)量為 m、半徑為 R的小

4、球，放在半徑為 2R、質(zhì)量為 2m的大空心球內(nèi)大球開始靜止在光滑的水平面上，當(dāng)小球從圖示位置無初速度沿大球內(nèi)壁滾到最低點(diǎn)時(shí)，大球移動(dòng)的距離是 解析：設(shè)大球運(yùn)動(dòng)的位移為 s，由圖 3 知小球運(yùn)動(dòng)的位移為 （R s） 由“人船模型”知兩球在水平方向動(dòng)量守恒，因此有m（Rs） 2ms解得： s R3R-ss圖3例 3如圖所示，光滑水平面上有一小車，小車上固定一桿，總質(zhì)量為M；桿頂系一長為 L 的輕繩，輕繩另一端系質(zhì)量為 m的小球繩被水平拉直處于靜止?fàn)顟B(tài) （ 小球處于最左端 ） 將小球由靜止釋放，小球從最左端擺下并繼續(xù)擺至最右 端的過程中，小車運(yùn)動(dòng)的距離是多少？解析：該題立意新穎，但仔細(xì)分析與“人船模型”有相似之處，都是研究兩個(gè)物體相互作用的過程，都具有水平方向 合外力為零的特征，從而水平的動(dòng)量守恒，初始狀態(tài)球和車都處于靜止?fàn)顟B(tài)，因此可借助“人船模型”來處理設(shè)某時(shí)刻小球速度的水平分量為 v（方向向右 ），小車的速度為 V（方向向左 ） ，取水平向左為正方向，根據(jù)動(dòng)量守恒定律有： MVmv =0即vVms1與小車的位移 s2 與它們的質(zhì)量成反比即因?yàn)樾∏蛟跀[動(dòng)過程中，系統(tǒng)綜動(dòng)量在每時(shí)刻都等于零，所以每一時(shí)刻小球速度的水平分量與小車的速度都跟它們的 質(zhì)量成反比；從而可知小球從最左端擺至最右端的過程中，小球的