上冊(cè)總復(fù)習(xí)IPPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1 上冊(cè)總復(fù)習(xí)上冊(cè)總復(fù)習(xí)I 第一章 函數(shù)與極限 內(nèi)容回顧內(nèi)容回顧 一、一、 函數(shù)函數(shù) 1. 函數(shù)的概念 定義定義: Df :R)(Df DxxfyyDf, )()( 定義域 值域 設(shè) ,RD 函數(shù)為特殊的映射: 其中 第1頁/共67頁 2. 函數(shù)的特性函數(shù)的特性 有界性 ,單調(diào)性 ,奇偶性 ,周期性 3. 反函數(shù)反函數(shù) )(:DfDf 設(shè)函數(shù) 為單射, 反函數(shù)為其逆映射 DDff )(: 1 4. 復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù) 給定函數(shù)鏈 )(: 11 DfDf 1 )(:DDgDg 則復(fù)合函數(shù)為 )(:DgfDgf 5. 初等函數(shù)初等函數(shù) 有限個(gè)有限個(gè)常數(shù)及基本初等函數(shù)經(jīng)有限次有限次四則運(yùn)算與復(fù)

2、復(fù)合而成的一個(gè)表達(dá)式的函數(shù). 第2頁/共67頁 1. 設(shè) ,0)(,1)(,)( 2 xxxfexf x 且 求 )(x 及其定義域 . 由 )( 2 x ex1 得 ,)1ln()(xx0,(x ,e)(f x 2 xf)(x 解解: e )(x 2 第3頁/共67頁 二、二、 連續(xù)與間斷連續(xù)與間斷 1. 函數(shù)連續(xù)的等價(jià)形式 )()(lim 0 0 xfxf xx 0lim 0 y x )()()( 000 xfxfxf ,0,0, 0 時(shí)當(dāng) xx 有 )()( 0 xfxf 2. 函數(shù)間斷點(diǎn) 第一類間斷點(diǎn) 第二類間斷點(diǎn) 可去間斷點(diǎn) 跳躍間斷點(diǎn) 無窮間斷點(diǎn) 振蕩間斷點(diǎn) 第4頁/共67頁 有界

3、定理 ; 最值定理 ;零點(diǎn)定理 ;介值定理 . 3. 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 例例2. 設(shè)函數(shù) )(xf , 2 )cos1 ( x xa 0 x ,10 x , )(ln 2 xb0 x 在 x = 0 連續(xù) , 則 a = , b = . 提示提示: 2 0 )cos1 ( lim)0( x xa f x 2 a 2 2 1 cos1xx )(lnlim)0( 2 0 xbf x bln b a ln1 2 2e 第5頁/共67頁 ) 1)( )( xax be xf x 有無窮間斷點(diǎn) 0 x 及可去間斷點(diǎn) , 1x 解解: 為無窮間斷點(diǎn), 0 x ) 1)( lim 0 xax be x

4、 x 所以 be xax x x ) 1)( lim 0 b a 1 0 1,0ba 為可去間斷點(diǎn) , 1x ) 1( lim 1 xx be x x 極限存在 0)(lim 1 be x x eeb x x 1 lim 例例3. 設(shè)函數(shù) 試確定常數(shù) a 及 b . 第6頁/共67頁 三、三、 極限極限 1. 極限定義的等價(jià)形式 (以 為例 ) 0 xx Axf xx )(lim 0 0)(lim 0 Axf xx (即 為無窮小) Axf)( , )( 0 xxx nn n 有 Axf n n )(lim n x, 0 x Axfxf )()( 00 2. 極限存在準(zhǔn)則及極限運(yùn)算法則 第7頁

5、/共67頁 3. 無窮小 無窮小的性質(zhì) ;無窮小的比較 ; 常用等價(jià)無窮小: 4. 兩個(gè)重要極限兩個(gè)重要極限 6. 判斷極限不存在的方法 xsin;x xtan;xxcos1; 2 2 1 x xarctan;xxarcsin;x)1ln(x;x 1 x e;x1 x a;lnax1)1 ( x ;x 5. 求極限的基本方法 1 sin lim) 1 ( 0 e ) 1 1(lim)2( 第8頁/共67頁 例例4. 求下列極限： )sin1(sinlim) 1 (xx x x x x sin 1 1 2 lim)2( x x x x cot 1 1 0 lim)3( 提示提示: xxsin1s

6、in) 1 ( 2 1 cos 2 1 sin2 xxxx 2 1 cos )1(2 1 sin2 xx xx 無窮小 有界 第9頁/共67頁 令 1 lim)2( x 1 xt 0 lim t) 1(sin )2( t tt 0 lim tt tt sin )2( 0 lim tt tt )2( 2 x x sin 1 2 第10頁/共67頁 0 lim)3( x x x x cot 1 1 0 lim x x x x cot ) 1 2 1( e )1(ln 1 2 x x x x 1 2 2 e 則有 )( )(1lim 0 xv xx xu 復(fù)習(xí)復(fù)習(xí): 若 ,0)(lim 0 xu x

7、x ,)(lim 0 xv xx e )(1ln)(lim 0 xuxv xx e )()(lim 0 xuxv xx )(lim 1 2 sin cos 0 x x x x x 1 第11頁/共67頁 5. 求 .)321 (lim 1 x xx x 解解: 令 x xx xf 1 )321 ()( x xx 1 1)()(3 3 2 3 1 則 )(xf3 x 1 33 利用夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則可知 .3)(lim xf x 第12頁/共67頁 第二章 導(dǎo)數(shù)與微分 內(nèi)容回顧內(nèi)容回顧 一、一、 導(dǎo)數(shù)和微分的概念及應(yīng)用導(dǎo)數(shù)和微分的概念及應(yīng)用 導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù) : x xfxxf xf x )()( lim

8、)( 0 當(dāng)時(shí),為右導(dǎo)數(shù) 當(dāng)時(shí),為左導(dǎo)數(shù) 0 x )(xf 0 x )(xf 微分微分 : xxfxfd)()(d 關(guān)系關(guān)系 : 可導(dǎo)可微 第13頁/共67頁 應(yīng)用應(yīng)用 : (1) 利用導(dǎo)數(shù)定義解決的問題 (3)微分在近似計(jì)算與誤差估計(jì)中的應(yīng)用 (2)用導(dǎo)數(shù)定義求極限 1) 推出三個(gè)最基本的導(dǎo)數(shù)公式及求導(dǎo)法則 xxxC x cos)(sin;)(ln;0)( 1 其他求導(dǎo)公式都可由它們及求導(dǎo)法則推出; 2) 求分段函數(shù)在分界點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù) , 及某些特殊 函數(shù)在特殊點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù); 3) 由導(dǎo)數(shù)定義證明一些命題. 第14頁/共67頁 例例1.1.設(shè) )( 0 x f 存在,求 . )()( lim 0

9、 2 0 0 x xfxxxf x 解解: : 原式= x xfxxxf x )()( lim 0 2 0 0 2 )( xx 2 )( xx )( 0 x f 第15頁/共67頁 )(xf 設(shè) 0)(,xxf在討論 解解: )(lim 0 xf x 又 x fxf x )0()( lim 0 例例2. 所以 )(xf0 x 在 處連續(xù)連續(xù). 即 )(xf 0 x 在 處可導(dǎo) . x x x 1 sinlim 2 0 )0(0f x x x 1 sinlim 0 0 0, 1 sin 2 x x x 0,0 x 處的連續(xù)性及可導(dǎo)性. x x x x 1 2 0 sin lim 0)0( f 第

10、16頁/共67頁 二、二、 導(dǎo)數(shù)和微分的求法導(dǎo)數(shù)和微分的求法 1. 正確正確使用導(dǎo)數(shù)及微分公式和法則 2. 熟練熟練掌握求導(dǎo)方法和技巧 (1) 求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 注意討論界點(diǎn)處左右導(dǎo)數(shù)是否存在和相等 (2) 隱函數(shù)求導(dǎo)法 對(duì)數(shù)微分法 (3) 參數(shù)方程參數(shù)方程求導(dǎo)法 極坐標(biāo)方程求導(dǎo) (4) 復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法(可利用微分形式不變性) 轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化 (5) 高階導(dǎo)數(shù)的求法 逐次求導(dǎo)歸納 ; 間接求導(dǎo)法;利用公式. 第17頁/共67頁 例例3.3.設(shè) , )(arctansin 1 sin x xx feey 其中 )(xf 可微 , . y 求 解解: yd)d(sin sin xx ee)d(s

11、in sinxx ee )d(arctan)(arctan 11 xx f )d(sinsin sin xee xx )d(cos sinxxx eee )d( 1 1 )(arctan 1 1 1 2 x x x f xexe xx d) sin(cos sin xf x x d)(arctan 1 1 1 2 x y y d d xx ee cos 第18頁/共67頁 例例4.4.設(shè)由方程 ) 10(1sin 2 2 2 yyt ttx 確定函數(shù) , )(xyy 求 . d d 2 2 x y 解解: :方程組兩邊對(duì) t 求導(dǎo),得 t x d d t 2 t x d d y t t y c

12、os1 2 d d 故 x y d d )cos1)(1(yt t 22 t t y d d ycos t y d d 0 ) 1(2t t y d d t x d d 第19頁/共67頁 2 2 d d x y )( d d d d x y t t x d d )( )cos1)(1(d d yt t t ) 1(2t yttysin) 1()cos1 ( 23 )cos1 () 1(2yt t y d d yttysin) 1(2)cos1 ( 22 33 )cos1 () 1(2yt 第20頁/共67頁 第三章 中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 內(nèi)容回顧 第21頁/共67頁 拉格朗日中值定理拉格朗日

13、中值定理 )()(bfaf 一、一、 微分中值定理及其應(yīng)用微分中值定理及其應(yīng)用 1. 微分中值定理及其相互關(guān)系微分中值定理及其相互關(guān)系 羅爾定理 0)(f x y o a b )(xfy )( )( )()( )()( F f aFbF afbf ab afbf f )()( )( )()( )( bfaf xxF 1 0 ) 1( ! ) 1( 1 )( nn n xxf 柯西中值定理 xxF)( x y o a b )(xfy 泰勒中值定理 )()()( 000 xxxfxfxf nn n xxxf)( 00 )( ! 1 0n 第22頁/共67頁 2. 微分中值定理的主要應(yīng)用微分中值定理

14、的主要應(yīng)用 (1) 研究函數(shù)或?qū)?shù)的性態(tài) (2) 證明恒等式或不等式 (3) 證明有關(guān)中值問題的結(jié)論 第23頁/共67頁 3. 有關(guān)中值問題的解題方法有關(guān)中值問題的解題方法 利用逆向思維逆向思維 , 設(shè)輔助函數(shù) .一般解題方法: (1)證明含一個(gè)中值的等式或根的存在 , (2) 若結(jié)論中涉及到含中值的兩個(gè)不同函數(shù) , (3) 若結(jié)論中含兩個(gè)或兩個(gè)以上的中值 , 可用原函數(shù)法找輔助函數(shù) . 多用羅爾定理羅爾定理, 可考慮用 柯西中值定理柯西中值定理 . 必須多次應(yīng)用多次應(yīng)用 中值定理中值定理 . (4) 若已知條件中含高階導(dǎo)數(shù) , 多考慮用泰勒公式泰勒公式 , (5) 若結(jié)論為不等式 , 要注意

15、適當(dāng)放大適當(dāng)放大或縮小縮小的技巧. 有時(shí)也可考慮對(duì)導(dǎo)數(shù)用中值定理對(duì)導(dǎo)數(shù)用中值定理 . 第24頁/共67頁 例例1. 設(shè) 在 )(xf 1 ,0 內(nèi)可導(dǎo), 且 ,0) 1 (f 證明至少存在一點(diǎn) )(f , ) 1 ,0( 使 上連續(xù), 在 ) 1 ,0( )(2 f 證證: 問題轉(zhuǎn)化為證 .0)(2)(ff 設(shè)輔助函數(shù) )()( 2 xfxx 顯然 )(x 在 0 , 1 上滿足羅爾定理?xiàng)l件, 故至 , ) 1 ,0( 使 0)()(2)( 2 ff 即有 )(f )(2 f 少存在一點(diǎn) 第25頁/共67頁 例例2. ,)(,)(內(nèi)可導(dǎo)，在，上連續(xù)在設(shè)babaxf 且 ,0ba 試證存在 ).

16、( 2 )( f ba f 使, ),(,ba 證證: 欲證 , 2 )()( f ba f 因 f ( x ) 在 a , b 上滿足拉氏中值定理?xiàng)l件, 故有 ),(, )()()(baabfafbf ,)( 2 上滿足柯西定理?xiàng)l件在及又因baxxf ),(, 2 )()()( 22 ba f ab afbf 將代入 , 化簡得 故有 ),( 2 )( f ba f ),(,ba 即要證 . 2 )()( 22 f ab abf 第26頁/共67頁 二、二、 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 1. 研究函數(shù)的性態(tài): 增減 ,極值 ,凹凸 ,拐點(diǎn) ,漸近線 2. 解決最值問題 目標(biāo)函數(shù)的建立與簡化 最值的判別

17、問題 3. 其他應(yīng)用 :求不定式極限不定式極限 ;幾何應(yīng)用 ; 相關(guān)變化率;證明不等式 ;研究方程實(shí)根等. 第27頁/共67頁 例例3. 設(shè) 在 )(xf),( 上可導(dǎo), 且 證明 f ( x ) 至多只有一個(gè)零點(diǎn) . 證證: 設(shè) )()(xfex x 則 )()()(xfxfex x 0 ,0)()(xfxf 故 )(x 在 ),( 上連續(xù)單調(diào)遞增, 從而至多只有 一個(gè)零點(diǎn) . 又因 ,0 x e 因此 )(xf 也至多只有一個(gè)零點(diǎn) . 思考思考: 若題中 0)()(xfxf 改為 ,0)()(xfxf 其它不變時(shí), 如何設(shè)輔助函數(shù)? )()(xfex x 第28頁/共67頁 例例4. 設(shè)

18、,0)0(f 且在 ),0 上 )(x f 存在 , 且單調(diào) 遞減 , 證明對(duì)一切 0,0ba 有 )()()(bfafbaf 證證: 設(shè) , )()()()(xfafxafx 則 0)0( )()()(xfxafx)0(0 x 所以當(dāng) 時(shí)，0 x )(x0)0( 令 ,bx 得 0)()()()(bfafbafb 即所證不等式成立 . 第29頁/共67頁 例例5. ,10:時(shí)當(dāng)證明 x. 1 1 2 x x e x 證證: 只要證 ) 10(01)1 ( 2 xxex x ,1)1 ()( 2 xexxf x 設(shè) 0)0(f則 , 1)21 ()( 2 x exxf 0)0( f ) 10(

19、04)( 2 xexxf x 利用一階泰勒公式泰勒公式, 得 2 !2 )( )0()0()(x f xffxf ) 10(02 22 xxe 故原不等式成立. 第30頁/共67頁 求下列極限 : ;) 1 1ln(lim) 1 2 x x x x 解解: t t t t 1 )1ln( 1 lim 2 0 2 0 )1ln( lim t tt t 22 0 ln(1)ln(1) 2) lim. seccos x xxxx xx ) 1 1ln(lim) 1 2 x x x x )1 (2 lim 0tt t t t t t2 1 lim 1 1 0 2 1 ) 1 ( x t 令 第31頁/

20、共67頁 xx xx xcossec )1ln( lim 222 0 1 xx xx xcossec )1 (ln lim 42 0 xx xx xcossec lim 42 0 0 lim x 1sec 42 sin lim 2 2 0 x x x x x 22 0 ln(1)ln(1) 2)lim seccos x xxxx xx 解解: 原式 = 3 42xx xxtansec)sin(x 第32頁/共67頁 第四章 不定積分 內(nèi)容回顧 一、一、 求不定積分的基本方法求不定積分的基本方法 1. 直接積分法直接積分法 通過簡單變形, 利用基本積分公式基本積分公式和運(yùn)算法則 求不定積分的方法

21、 . 2. 換元積分法換元積分法 xxfd)( 第一類換元法第一類換元法 tttfd)()( 第二類換元法 (注意常見的換元積分類型) (代換: ) )(tx 第33頁/共67頁 3. 分部積分法分部積分法 vuxvud 使用原則: 1) 由 v 易求出 v ; 2) x vud 比 xvud 好求 . 一般經(jīng)驗(yàn)經(jīng)驗(yàn): 按“反反, 對(duì)對(duì), 冪冪, 指指 , 三三” 的順序, 排前者取為 u ,排后者取為 . v xvud 第34頁/共67頁 例例1. 求 .d 49 32 x xx xx 解解:原式 x xx xx d 23 32 22 x x x d )(1 )( 2 3 2 3 2 x x

22、 2 3 2 3 2 3 2 )(1 )(d ln 1 xaaa xx dlnd C x 3ln2ln )arctan( 3 2 第35頁/共67頁 例例2. 求 .d cos1 sin x x xx 解解 : 原式 x x xx x d 2 cos2 2 cos 2 sin2 2 2 tand x xx x d 2 tan C x x 2 tan 分部積分 第36頁/共67頁 例例3. 求 .d arctan x e e x x 解解: x earctan原式 x ed xx eearctan x ex e e x x d 1 2 xx eearctan x e ee x xx d 1 )1

23、 ( 2 22 xx eearctan xCe x )1 (ln 2 2 1 第37頁/共67頁 例例4. 求 .d1xx 解解: 設(shè) 1)(xxF 1x,1x 1x,1x 則 )(xF 1, 1 2 2 1 xCxx 1, 2 2 2 1 xCxx 因 )(xF 連續(xù) , , ) 1 ()1 ()1 (FFF 得 21 2 1 11 2 1 CC 2 2 1 1 2 1 CC 記作記作 C 得 xxd1 )(xF 1, 2 1 2 2 1 xCxx 1, 2 1 2 2 1 xCxx ,) 1( 2 2 1 Cx ,) 1( 2 2 1 Cx 利用 第38頁/共67頁 例例5. 設(shè) 解解:

24、)(xF為 )(xf 的原函數(shù), 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)0 x ,2sin)()( 2 xxFxf有有 且 ,1)0(F ,0)(xF 求 . )(xf 由題設(shè) , )()(xfxF 則 ,2sin)()( 2 xxFxF 故 xxFxFd)()(xxd2sin 2 x xd 2 4cos1 即 CxxxF4sin)( 4 1 2 ,1)0(F, 1)0( 2 FC0)(xF , 因此 14sin)( 4 1 xxxF 故 )()(xFxf 14sin 2sin 4 1 2 xx x 又 第39頁/共67頁 二、幾種特殊類型的積分二、幾種特殊類型的積分 1. 一般積分方法一般積分方法 有理函數(shù) 分解 多項(xiàng)式

25、及 部分分式之和 指數(shù)函數(shù)有理式 指數(shù)代換 三角函數(shù)有理式 萬能代換 簡單無理函數(shù) 三角代換 根式代換 第40頁/共67頁 2. 需要注意的問題需要注意的問題 (1) 一般方法不一定是最簡便的方法 , (2) 初等函數(shù)的原函數(shù)不一定是初等函數(shù) , 要注意綜合 使用各種基本積分法, 簡便計(jì)算 . 因此不一 定都能積出. 例如例如 , ,d 2 xe x ,d sin x x x ,dsin 2 xx ,d ln 1 x x , 1 d 4 x x ,d1 3 xx , ) 10(dsin1 22 kxxk 第41頁/共67頁 例例6. 求不定積分 .d sin)cos2( 1 x xx 解解:

26、)cos(xu 令令 原式 u uu d ) 1)(2( 1 2 ) 1)(2( 1 2 uuu A 21 u B 1 u C 3 1 A 6 1 B 2 1 C 2ln 3 1 u1ln 6 1 uCu1ln 2 1 )2ln(cos 3 1 x)cos1ln( 6 1 xCx) 1ln(cos 2 1 x xx x d sin)cos2( sin 2 第42頁/共67頁 第五章 定積分 內(nèi)容回顧 一、與定積分概念有關(guān)的問題的解法一、與定積分概念有關(guān)的問題的解法 b a xxfd)( i n i i xf 1 0 )(lim )(d)()(abMxxfabm b a )(ba 第43頁/共6

27、7頁 練習(xí)練習(xí): 1. 求極限 ). 21 (lim 22222 nn n n n n n n 解：解：原式 n n 1 lim n i n i 1 2 )(1 1 x x d 1 1 1 0 2 4 2. 求極限 ). 22 1 2 (lim 1 2 1 21 n nnnn n n nn 提示提示： 原式 n n 1 lim n i n i 1 2 1 lim n n n n i n i 1 2 n 1 x x d2 1 0 2ln 1 1 1 lim nn n i n i 1 2 左邊= 右邊 第44頁/共67頁 例例3. 證明 .2d 2 2 2 0 4 2 exe e xx 證證: 令

28、 ,)( 2 xx exf 則 xx exxf 2 ) 12()( 令 ,0)( x f 得 , 2 1 x , 1)0(f, 1 )( 42 1 e f 2 )2(ef , 1 )(min 4 2,0e xf 2 2,0 )(maxexf 故 2 2 0 4 2d 2 2 exe e xx 第45頁/共67頁 例例4. t t t tfxf x d cos2 sin )()( 0 2 求可微非零函數(shù) f (x) 使?jié)M足 解解: 等式兩邊對(duì) x 求導(dǎo), 得 )()(2xfxf x x xf cos2 sin )( 由于 f (x)0, 則 x x xf cos2 sin 2 1 )( xxfx

29、fd)()( x x x d cos2 sin 2 1 Cx )cos2ln( 2 1 第46頁/共67頁 注意 f (0) = 0, 得 3ln 2 1 C 3ln 2 1 )cos2ln( 2 1 )(xxf xcos2 3 ln 2 1 t t t tfxf x d cos2 sin )()( 0 2 Cxxf)cos2ln( 2 1 )( 第47頁/共67頁 二、有關(guān)定積分計(jì)算和證明的方法二、有關(guān)定積分計(jì)算和證明的方法 1. 熟練運(yùn)用定積分計(jì)算的常用公式和方法常用公式和方法 2. 注意特殊形式定積分的計(jì)算 3. 利用各種積分技巧計(jì)算定積分 4. 有關(guān)定積分命題的證明方法 思考思考: 下

30、列作法是否正確? x x x 1 d 1 1 1 2 1 1 2 x x d 1 1 1 1 32 )( 32 xt 令0d 2 3 1 1 2 1 1 1 tt t 第48頁/共67頁 例例5. 求 .d1 2ln 0 2 xe x 解解: 令 ,sinte x 則 ,sinlntx,d sin cos dt t t x 原式 t t t td sin cos cos 6 2 t t t d sin sin1 2 6 2 tttd)sin(csc 2 6 coscotcsclnttt 6 2 2 3 )32(ln 第49頁/共67頁 例例6. 設(shè) ,d)( 0 2 2 yexf x yy 解

31、解: .d)() 1( 1 0 2 xxfx 求 xxfxd)() 1( 1 0 2 0 1 3 )() 1( 3 1 xfxxxfxd)() 1( 3 1 1 0 3 xex xx d) 1( 3 1 1 0 23 2 2 1 0 1) 1(2 ) 1d() 1( 6 1 2 xex x ) 1( 2 xu令 1 0 d 6 ueu e u 0 1 ) 1( 6 u eu e )2( 6 1 e 第50頁/共67頁 例例7. ,0)(,)(, )(xgbaxgxf且上連續(xù)在設(shè) 試證 , ),(ba 使 b a xxfd)( b a xxgd)( )( )( g f 分析分析:要證 0d)()

32、(d)()( b a b a xxgfxxfg 即 x a xxgd)( b a xxfd)( x a xxfd)( b a xxgd)( x 0 故作輔助函數(shù) b a x a b a x a xxgxxfxxfxxgxFd)(d)(d)(d)()( 至少存在一點(diǎn) 第51頁/共67頁 證明證明: 令 b a x a b a x a xxgxxfxxfxxgxFd)(d)(d)(d)()( )(, )(xgxf因在 ,ba 上連續(xù), ,)(上連續(xù)在故baxF 在 ,),(內(nèi)可導(dǎo)ba, 0)()(bFaF且 至少 , ),(ba 使 ,0)(F 即 0d)()(d)()( b a b a xxgf

33、xxfg 因在 ,ba 上 )(xg 連續(xù)且不為0 , 0d)( b a xxg 從而不變號(hào),因此 故所證等式成立 . 故由羅爾定理知 , 存在一點(diǎn) 第52頁/共67頁 第六章 定積分的應(yīng)用 內(nèi)容回顧 1. 定積分的應(yīng)用定積分的應(yīng)用 幾何方面幾何方面 :面積、體積、弧長、表面積 . 物理方面物理方面 :質(zhì)量、作功、側(cè)壓力、引力. 2. 基本方法基本方法 :微元分析法 微元形狀 : 條、段、帶、片、扇、環(huán)、殼 等. 第53頁/共67頁 1. 平面圖形的面積面積 邊界方程 參數(shù)方程 極坐標(biāo)方程 2. 平面曲線的弧長弧長 曲線方程參數(shù)方程方程 極坐標(biāo)方程 22 )(d)(ddyxs 弧微分: d)(

34、)(d 22 rrs 直角坐標(biāo)方程 上下限確定 直角坐標(biāo)方程 注意注意: 求弧長時(shí)積分上求弧長時(shí)積分上 下限必須下限必須上大下小 2 1 d)()( t t tttA d)( 2 1 2 A 第54頁/共67頁 3. 已知平行截面面面積函數(shù)的立體體積立體體積 b a xxAVd)( 旋轉(zhuǎn)體的體積 2 )(yxA 繞 x 軸 : yxxA2)( 繞 y 軸 :)(xyy 第55頁/共67頁 例例1. 設(shè)非負(fù)函數(shù) 上滿足在 1,0)(xf)()(xfxfx 曲線 )(xfy 與直線 1x 及坐標(biāo)軸所圍圖形 (1) 求函數(shù) ;)(xf (2) a 為何值時(shí), 所圍圖形繞 x 軸一周所得旋轉(zhuǎn)體 解解:

35、 (1) 時(shí)，當(dāng)0 x 由方程得 a x xfxfx 2 3)()( 2 a x xf 2 3)( , 2 2 3 x a 面積為 2 , 體積最小 ? 即 xCxaxf 2 2 3 )( 故得 第56頁/共67頁 又 1 0 d)(2xxfxxCxad 2 3 2 1 0 22 Ca aC 4xaxaxf)4( 2 3 )( 2 (2) 旋轉(zhuǎn)體體積 Vxxfd)( 1 0 2 16 10 1 3 2 aa ,01 5 1 3 aV 令5a得 又 V 5a ,0 15 5 a 為唯一極小點(diǎn),因此 5a 時(shí) V 取最小值 . x o y 1x o y 1 第57頁/共67頁 a 2sin 2 a 例例2. 求雙紐線 所圍圖形面積 . 解解: 利用對(duì)稱性對(duì)稱性 , 2cos 22 ar d2cos 2 1 2 a 4 0 4 A 4 0 2 a)2(d2cos 0 則所求面積為 4 2 a 思考思考: 用定積分表示該雙紐線與圓 sin2ar 所圍公共部分的面積 . 2A dsin 2 0 2 6 a d2cos 2 1 4 6 2 a y ox 4 4 答案答案: 第58頁/共67頁 d 222 aa 例例3. 求阿基米德螺線 相應(yīng)于 02 一段的弧長 . 解解: )0(aar x a2