沈陽市普通高中2015屆高三質(zhì)量監(jiān)測(二)數(shù)學(xué)【理】試題及答案

1、沈陽市普通高中2015屆高三質(zhì)量監(jiān)測（二）數(shù)學(xué)(理科)本試卷分第卷(選擇題)和第卷(非選擇題)兩部分，滿分150分.考試時(shí)間為120分鐘，其中第卷22題24題為選考題，其它題為必考題.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.注意事項(xiàng)：1 答題前，考生必須將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi).2 選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚.3 請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效.4 保持卡面清潔，不要折疊、不要弄破、不準(zhǔn)使用涂改液、刮紙刀.第卷一、選擇題（本大題包

2、括12小題，每小題5分，共60分，每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請將正確選項(xiàng)填涂在答題卡上）.1. 已知集合，則A. B. C. D. 2. 設(shè)復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位），則=A. B. C. D. 3. 已知 ，且，則向量與向量的夾角為A. B. C. D. 4. 已知中，內(nèi)角的對邊分別為，若，則的面積為A. B. 1 C. D. 25. 已知，則函數(shù)6. 為增函數(shù)的概率是A. B. C. D. 7. 閱讀如圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序. 若輸出的S為，則判斷框中填寫的內(nèi)容可以是A. B. C. D. 8. 如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為，粗線畫出的是某多面體的三視圖，則該多

3、面體的體積為A. B. C. D. 9. 在平面直角坐標(biāo)系中，若滿足，則的最大值是A. 2 B. 8 C. 14 D. 1610. 已知直線與拋物線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)，若，則A. B. C. D. 0 11. 對定義在上，并且同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件的函數(shù)稱為函數(shù)：(i) 對任意的，恒有；(ii) 當(dāng)時(shí)，總有成立. 則下列四個(gè)函數(shù)中不是函數(shù)的個(gè)數(shù)是 A. 1 B. 2C. 3D. 412. 已知雙曲線與函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，若函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線過雙曲線左焦點(diǎn)，則雙曲線的離心率是A. B. C. D. 13. 若對，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值是A. B. 1 C. 2 D. 第卷本卷包括必考題和選考題兩

4、部分，第13題21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答，第22題24題為選考題，考生根據(jù)要求作答.二、填空題(本大題包括4小題，每小題5分，共20分，把正確答案填在答題卡中的橫線上).14. 函數(shù)()的單調(diào)遞增區(qū)間是_. 15. 的展開式中常數(shù)項(xiàng)為_. 16. 已知定義在上的偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則不等式的解集是_.17. 底面是正多邊形，頂點(diǎn)在底面的射影是底面中心的棱錐叫正棱錐. 已知同底的兩個(gè)正三棱錐內(nèi)接于同一個(gè)球. 已知兩個(gè)正三棱錐的底面邊長為a，球的半徑為R. 設(shè)兩個(gè)正三棱錐的側(cè)面與底面所成的角分別為、，則的值是 . 三、解答題（本大題包括6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程

5、或演算步驟）.18. (本小題滿分12分)已知數(shù)列中，其前項(xiàng)的和為，且滿足. 求證：數(shù)列是等差數(shù)列； 證明：當(dāng)時(shí)，. 19. (本小題滿分12分)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，DAB，PD平面ABCD，PD=AD=1，點(diǎn)分別為AB和PD中點(diǎn). 求證：直線AF平面PEC ； 求PC與平面PAB所成角的正弦值. 20. (本小題滿分12分) 某校甲、乙兩個(gè)班級各有5名編號為1，2，3，4，5的學(xué)生進(jìn)行投籃訓(xùn)練，每人投10次，投中的次數(shù)統(tǒng)計(jì)如下表： 學(xué)生1號2號3號4號5號甲班65798乙班48977 從統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)看，甲、乙兩個(gè)班哪個(gè)班成績更穩(wěn)定（用數(shù)字特征說明）； 若把上表數(shù)據(jù)作

6、為學(xué)生投籃命中率，規(guī)定兩個(gè)班級的1號和2號同學(xué)分別代表自己的班級參加比賽，每人投籃一次，將甲、乙兩個(gè)班兩名同學(xué)投中的次數(shù)之和分別記作和，試求和的分布列和數(shù)學(xué)期望. 21. (本小題滿分12分)已知橢圓:的上頂點(diǎn)為，且離心率為. 求橢圓的方程； 證明：過橢圓:上一點(diǎn)的切線方程為； 從圓上一點(diǎn)向橢圓引兩條切線，切點(diǎn)分別為，當(dāng)直線分別與軸、軸交于、兩點(diǎn)時(shí)，求的最小值. 22. (本小題滿分12分)定義在上的函數(shù)滿足，. 求函數(shù)的解析式； 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； 如果、滿足，那么稱比更靠近. 當(dāng)且時(shí)，試比較和哪個(gè)更靠近，并說明理由. 請考生在22，23，24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記

7、分. 做答時(shí)，用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應(yīng)的標(biāo)號涂黑. 23. (本小題滿分10分) 選修41：幾何證明選講如圖所示，為圓的直徑，為圓的切線，為切點(diǎn). 求證：； 若圓的半徑為2，求的值.24. (本小題滿分10分) 選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系中，圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)）. 以原點(diǎn)為極點(diǎn)、軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求圓的極坐標(biāo)方程； 已知，圓上任意一點(diǎn)，求面積的最大值.25. (本小題滿分10分) 選修45：不等式選講 已知都是正數(shù)，且，求證：； 已知都是正數(shù)，求證：. 數(shù)學(xué)(理科)參考答案說明：一、本解答給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主

8、要考查內(nèi)容比照評分標(biāo)準(zhǔn)制訂相應(yīng)的評分細(xì)則. 二、對解答題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，如果后繼部分的解答未改變該題的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤，就不再給分. 三、解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù). 四、只給整數(shù)分?jǐn)?shù)，選擇題和填空題不給中間分. 一、選擇題(本大題包括12小題，每小題5分，共60分)1. C2. A3. B4. C5. B6. C7. D8. C9. B10. A11. A12. D. 二、填空題(本大題包括4小題，每小題5分，共20分)13. 14. 15. 1

9、6. 三、解答題1. (本小題滿分12分)【命題意圖】本小題主要考查有關(guān)于數(shù)列的基礎(chǔ)知識，其中包括數(shù)列基本量的求取，數(shù)列前項(xiàng)和的求取，以及利用放縮法解決數(shù)列不等式問題，雖存在著一定的難度，但是與高考考查目標(biāo)相配合，屬于一道中檔題，對考生的運(yùn)算求解能力，化歸與轉(zhuǎn)化能力提出一定要求.【試題解析】解：（1）當(dāng)時(shí)，從而構(gòu)成以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列.(6分)（2）由（1）可知，當(dāng)時(shí)，從而.(12分)2. 【命題意圖】本小題主要考查立體幾何的相關(guān)知識，具體涉及到線面的平行關(guān)系、線面角的求法及空間向量在立體幾何中的應(yīng)用. 本小題對考生的空間想象能力與運(yùn)算求解能力有較高要求. 【試題解析】解：（1）證明

10、：作FMCD交PC于M. 點(diǎn)F為PD中點(diǎn)，. ，AEMF為平行四邊形，AFEM，直線AF平面PEC. (6分)（2），如圖所示，建立坐標(biāo)系，則 P(0，0，1)，C(0，1，0)，E(，0，0)，A(，0)，.設(shè)平面PAB的一個(gè)法向量為.，取，則，平面PAB的一個(gè)法向量為.，設(shè)向量，PC平面PAB所成角的正弦值為. (12分)3. 【命題意圖】本小題主要考查統(tǒng)計(jì)與概率的相關(guān)知識，其中包括方差的求法、基本概率的應(yīng)用以及離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的求法. 本題主要考查學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力.【試題解析】解：（1）兩個(gè)班數(shù)據(jù)的平均值都為7，甲班的方差，乙班的方差，因?yàn)椋装嗟姆讲钶^小，所以甲班的成績比較穩(wěn)

11、定.4分（2）可能取0，1，2，所以分布列為：012P6分?jǐn)?shù)學(xué)期望8分可能取0，1，2，所以分布列為：012P10分?jǐn)?shù)學(xué)期望. 12分4. 【命題意圖】本小題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求取，直線與圓錐曲線的相關(guān)知識以及圓錐曲線中最值的求取. 本小題對考生的化歸與轉(zhuǎn)化思想、運(yùn)算求解能力都有很高要求.【試題解析】解：（1）， ，橢圓方程為. 2分（2）法一：橢圓:，當(dāng)時(shí)，故，當(dāng)時(shí)，. 4分切線方程為，. 6分同理可證，時(shí)，切線方程也為. 當(dāng)時(shí)，切線方程為滿足. 綜上，過橢圓上一點(diǎn)的切線方程為. 7分法二：. 當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為，聯(lián)立方程：可得，化簡可得：

12、，由題可得：， 4分化簡可得：， 式只有一個(gè)根，記作，為切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，切點(diǎn)的縱坐標(biāo)，所以，所以，所以切線方程為：，化簡得：. 6分當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，切線為，也符合方程，綜上：在點(diǎn)處的切線方程為. 7分（3）設(shè)點(diǎn)為圓上一點(diǎn)，是橢圓的切線，切點(diǎn)，過點(diǎn)的橢圓的切線為，過點(diǎn)的橢圓的切線為. 兩切線都過點(diǎn)，. 切點(diǎn)弦所在直線方程為. 9分，. 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等，的最小值為. 12分5. 【命題意圖】本小題主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到用導(dǎo)數(shù)來描述函數(shù)的單調(diào)性等情況. 本小題主要考查考生分類討論思想的應(yīng)用，對考生的邏輯推理能力與運(yùn)算求解有較高要求.【試題解析】解：（1），所以，即. 又，

13、所以，所以. 4分（2），.5分當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；6分當(dāng)時(shí)，由得，時(shí)， 單調(diào)遞減；時(shí)，單調(diào)遞增. 綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為. 8分（3）解：設(shè)，在上為減函數(shù)，又，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，.，在上為增函數(shù)，又，時(shí)，在上為增函數(shù)，.當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，在上為減函數(shù)，比更靠近.當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，在時(shí)為減函數(shù)，在時(shí)為減函數(shù)，比更靠近.綜上：在時(shí)，比更靠近. 12分6. 【命題意圖】本小題主要考查平面幾何的證明，具體涉及到圓的切線的性質(zhì)，三角形相似等內(nèi)容. 本小題重點(diǎn)考查考生對平面幾何推理能力. 【試題解析】解： (1) 連接是圓的兩條切線， 又為直徑，.5分(2)由，. 10分7. 【命題意圖】本小題主要考查極坐標(biāo)系與參數(shù)方程的相關(guān)知識，具體涉及到極坐標(biāo)方程與平面直角坐標(biāo)方程的互化、平面內(nèi)直線與曲線的位置關(guān)系等內(nèi)容. 本小題考查考生的方程思想與數(shù)形結(jié)合思想，對運(yùn)算求解能力有一定要求.【試題解析】解：（1）圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)）所以普通方程為. 2分圓的極坐標(biāo)方程：