概率練習(xí)冊答案

1、習(xí)題1-1隨機(jī)事件判斷題:1.A - B=A - A B :=AB(V2.(A - B) U (B -A)=(A U B) - AB(3.若A與B互斥,則A與B也互斥；(X4.若A與B對立,則A與B互斥。反之亦然；(X5.若AU B=Q,則A與B構(gòu)成完備事件組。(X二、填空題：1 .設(shè)A、B為某隨機(jī)試驗的兩個事件， 則A U B可以看作是三個互不相容事件 之和的事件。答案：AB, AB, AB2將一枚硬幣擲兩次，觀察兩次出現(xiàn)正、反面的情況，則其樣本空間Q所含的樣本點總數(shù) 為 個，具體的樣本點構(gòu)成為Q=答案：4，正正、正反、反正、反反3設(shè)某人像一把子射擊三次，用A表示“第i次射擊擊中靶子” (i

2、=1 , 2, 3)。使用符號及其運(yùn)算的形式表示以下事件：(1) “至少有一次擊中靶子”可表示為 ;(2) “恰有一次擊中靶子”可表示為 ;(3) “至少有兩次擊中靶子”可表示為 ;(4) “三次全部擊中靶子”可表示為 ;(5) “三次均未擊中靶子”可表示為 ;(6) “只在最后一次擊中靶子”可表示為答案： A u A2 u A3；(2)AA2A3 A1A2A3 A1A2A3；A1A2A1A3A2A3；(4)AA2A3；(5)入入2入3A1A2A34一批產(chǎn)品有合格品也有廢品，現(xiàn)從中又放回的依次抽取(即每次抽去一件觀察后放回)三件產(chǎn)品，以 A表示“第i次抽到廢品”的事件(i=1 , 2, 3)。

3、試用文字語言描述下列事 件：(1) A1 A2 A3 表示 ;(2) A U A2 U A3 表示 ；(3) A1 A2 A3 表示 ;(4) ( Ai u A) n A 表示(5) ( Ai u A2) n A 表示答案：(i)三次均抽到廢品；(2) 至少有一次抽到廢品；(3) 只在第三次才抽到廢品；(4) 前兩次至少抽到一件廢品且第三次抽到廢品；(5) 前兩次至少抽到一件正品且第三次抽到廢品。5.設(shè)事件A,B,C滿足ABOe將下列事件分解為互斥事件和的形式:AU BU C可表示為 ；A-BC可表示為 ；A U B C 可表示為答案5.(1 )ABC ABCABC ABC ABC ABC A

4、BC ora AbABC；(2)ABABC orAC ABC；(3) AC ABC習(xí)題1-2隨機(jī)事件的概率一、判斷題：(1 )若 ABC= ,則 P(AU BU C)=P(A)+P(B)+P(C)(X )(2) A B，則 P(A) P(B)(V )(3) 若 AB= ,則 P(AB) 1 P(A) P(B)(V )二、計算與求解題：1.已知 P(A)=0.5 , P(AB) 0.3，求 P(A B), P(AB), P(AB).解：P(AB)P(B)P(AB) 0.3,P(A B)0 P(AB)P(AB) 1P(A)P(A)P(AP(B) P(AB) 0.5 0.3 0.8,0.5,B) 0

5、.2.2.設(shè)事件 A,B,C兩兩互不相容，且知 P(A)=P(B)=0.2,P(C)=0.4 ,求 P(A U C)-B解：P( A C)B P(A C) P(AB AC)P(A) P(C)0.2 0.4P(AB) P(AC) P(ABC)0.63.設(shè) P(A)1護(hù)(B)14,p(a B)-,求 P(A2B), P(AB), P(A B).解:P(A B)P(AB)1 P(A)1 1 1341 P(AB) P(B) P(A121112B)P(AB)P(A B)P(A B)P(A)P(B.)12P(AB)P(A B)P(A)3 丄4 12P(B)56P(A) P(AB)4.設(shè) P(A)P(B)P

6、(C)丄,P(AB) P(BC)4P(AC)，P(A B C)81516求 P(A B C).151解：P(ABC) 1 P(ABC) 1 P(A B C) 1 16 屁,P(A BC).P(A) P(B)P(C) P(AB)P(BC) P(AC) P(ABC)c1c117=334816 16三、證明題:若B,C同時發(fā)生，則A必發(fā)生，那么，P(A) P(B)+P(C)-1證明：因為若B,C同時發(fā)生，則A必發(fā)生，BC A,P(A) P(BC) P(B) P(C) P(B C) P(B) P(C) 1 故，P(A) P(B)+P(C)-1習(xí)題1-3古典概型與幾何概型5只檢查，問：(1)5只都是好的

7、概1. 一箱燈泡有40只，其中3只是壞的，現(xiàn)從中任取 率是多少？ ( 2)5只中有2只壞的概率是多少？解:( 1)P(A)c；7c4o0.66c3 c2(2) P(B) 0.0003C402. 一幢10層樓中的一架電梯在底層走上 7位乘客，電梯在每一層都停，乘客從第二層起 離開電梯，設(shè)每位乘客在每層離開都是等可能的，求沒有2位乘客在同一層離開的概率。A7解：PA) 70.0379973設(shè)n個朋友隨機(jī)的圍繞圓桌而坐，求下列事件的概率：(1) 甲乙兩人坐在一起，且乙在甲的左邊；(2 )甲、乙、丙三人坐在一起；(3) 如果n個人并列坐在一張長桌的一邊，再求上述事件的概率。解(1) n個朋友隨機(jī)的圍繞

8、圓桌而坐，樣本空間樣本點總數(shù)為(n 1)!而事件A為甲乙兩人坐在一起，且乙在甲的左邊，可將兩人“捆綁”在一起,看成是“一個”人占“一個”座位，有利于事件A發(fā)生的樣本點個數(shù)為(n 2)!于是P(A) Z丄(n 1)! n 1(2) n個朋友隨機(jī)的圍繞圓桌而坐，樣本空間樣本點總數(shù)為(n 1)!，而事 件B為甲、乙、丙三人坐在一起，可將三人“捆綁”在一起，看成是“一個”人占“一個”座位，有利于事件 B發(fā)生的樣本點個數(shù)為A (n 3)!3A3(n 3)!6于是P(B)(n 1)! (n 1)( n 2)(3) n個人并列坐在一張長桌的一邊，樣本空間樣本點總數(shù)為n!，而事件A為甲乙兩人坐在一起，且乙在甲

9、的左邊，可將兩人“捆綁”在一起, 看成是“一個”人占“一個”座位，有利于事件A發(fā)生的樣本點個數(shù)為(n 1)!于是p(a) g丄n! n而事件B為甲、乙、丙三人坐在一起，可將三人“捆綁”在一起，看成是個”人占“一個”座位，有利于事件 B發(fā)生的樣本點個數(shù)為3!（n2）!于是P（B）皆侖）4兩艘船都要停靠在同一碼頭，它們可能在一晝夜的任意時刻到達(dá)。設(shè)兩艘船?？康臅r間 分別為1小時和2小時，求有一艘船靠位時必須等待一段時間的概率。解： (x, y)0 x 24,0 y 24A (x, y) x y 1,y x 2P(A)購242232S()2420.12066習(xí)題1-4條件概率一、填空題：一盒中有新舊

10、兩種乒乓球100只，其中新球中有 40只白的和30只黃的，舊球中有 20只白的和10只黃的?，F(xiàn)從中任取一只，則：（1 ）取到一只新球的概率是0.7；（2 ）取到一只黃球的概率是0.4；3（3）已知取到的是新球，該球是黃球的概率是7_（4）取到一只新黃球的概率是0.3；二、選擇題100人依次每人從中抽取1. 一個抽獎盒中有100張備抽獎券，其中有一張大獎獎券，現(xiàn)有一張（不放回），則最后一個抽獎?wù)叱榈么螵劦母怕蕿椋?C ）A . 0B . 12. 以下等式正確的是（B ）C. 1/100D. 99/100B. P(Ab)1 P(Ab)D. P(Ab)1 P(Ab)三、計算求解題：1. 袋中有一個白

11、球和一個黑球，依次的從袋中摸球，如果取出白球，則除把白球放回外再 加進(jìn)一個白球，直到取出黑球為止。求取了n次都還沒有取到黑球的概率。解: f 第i次取到白球, i 1,2, ,nP(AA An) P(A)P(A2 A)卩(人人人)P(AA2 An)12 3n2 3 4 n n 11n 12. 市場上某種產(chǎn)品分別有甲、乙、丙三個廠所生產(chǎn)，其產(chǎn)量結(jié)構(gòu)為2: 4: 5，已知三個廠的次品率分別為4% 5囁口 3%求：（1 ）市場上該種產(chǎn)品總的次品率是多少？（2 ）若從該市場上任取一件這種產(chǎn)品發(fā)現(xiàn)是次品，則該次品最可能是哪個廠生產(chǎn)的？解:設(shè)Aj（i 1,2,3）分別表示分別有甲、乙、丙三個廠所生產(chǎn)的產(chǎn)品

12、B表示任取一個產(chǎn)品是次品（1）由全概率公式P B PBApA 0.04 0.05 0.03 0.039i 1111111(2)由貝葉斯公式P(A1 B)P(BA)P(A)0 186047P(B)P(B|A2)P(A2)P(A2 B)-0.465116P(B)P(A3 B)P(Ba3)P(a3) 0.348837P(B)因此，若從該市場上任取一件這種產(chǎn)品發(fā)現(xiàn)是次品，則該次品最可能是乙廠生產(chǎn)的3種玻璃杯成箱出售，每箱20只，假設(shè)各箱含有 0、1、2只殘次品的概率分別為 0.8、0.1和0.1。一顧客欲買一箱，在購買時，顧客會隨機(jī)的查看箱中的4只，若無殘次品則買下，否則退回，試求：(1)隨機(jī)選取一箱

13、玻璃杯，顧客買下該箱的概率；(2 )在顧客買下的一箱玻璃杯中確實沒有殘次品的概率。解設(shè)Ai(i0,1,2,)表示箱中有i件次品,B表示顧客買下該箱玻璃杯(1)由全概率公式2P B P BA P Ai 0C40-810J 證0.1C：80.94(2) 由貝葉斯公式P(A0 B)P(BA0)P(A0)P(B)0.85習(xí)題1-5事件的獨(dú)立性、判斷題：(1) 若事件A與B相互獨(dú)立，則 A與B互不相容；(X)(2) 若事件A , B , C兩兩獨(dú)立，則 A, B, C相互獨(dú)立；(X)(3) 若事件A與B相互獨(dú)立，則它們的對立事件 A與B也獨(dú)立。(V)請將其中你認(rèn)為正確的所有選項二、選擇題(注意：每小題的

14、備選項中可能不止一個正確, 的標(biāo)號寫在相應(yīng)的括號內(nèi))1 若事件 A與B相互獨(dú)立，且 P(A U B)=0.6 , P(A)=0.4，貝U P(B)=()1/51/33/52/52.若事件A與B相互獨(dú)立，則以下各式正確的有()P(AB)P(A) P(B)P(AB) 1 P(A)P(B)P(AB)P(A)P(B)P(AB)P(A)P(B)P(A)P(A/ B)P(A)1 P(B)三、計算求解題：他們各自能破譯該密碼的概率分別為1 甲、乙、丙三人獨(dú)立的去破譯一個密碼,求：(1 )該密碼能被他們破譯的概率；(2)該密碼被僅僅三人中的一人破譯的概率。解 設(shè)代B,C分別表示甲、乙、丙獨(dú)立的去破譯出密碼,(

15、1) 該密碼能被他們破譯的概率為4 323P(A B C) 1 P(A)P(B)P(C) 1 - - - 35 435(2) 該密碼被僅僅三人中的一人破譯的概率為P(ABC) P(ABC) P(ABC)P(A)P(B)P(C) P(A)P(B)P(C) P(A)P(B)P(C)13241243 1135435 4 354 3302某射手射靶5次，各次射中的概率都是 0.6，求下列各事件的概率:(1 )前3次中靶，后2次脫靶；(2)第一、三、五次中靶，第二、四次脫靶；(3 )五次中恰有三次中靶。(4) 五次中至少1次中靶。解 設(shè)Ai(i1,2,345)表示第i次中靶(1) P(AA2A3A4 A

16、5) P(A)P(A2)P(A3)P(A4)P( A5)320.60.40.0346(2) P(A A2A3A4 A5) P(A)P(A2)P(A3)P(A4)P(A5)320.60.40.0346(3) C；0.630.420.3456(4) P(A A2 A3 A4 A5) 1 P(A)P(A2)P(A3)P(A4)P(A5)510.40.98983. 甲乙為交戰(zhàn)雙方，甲方一架飛機(jī)要飛過乙方的一個高炮陣地，假設(shè)該處每門炮能夠擊落 該飛機(jī)的概率均為 0.4，若要保證以不低于 95%勺概率擊落該飛機(jī)，那么該陣地至少需要配 置多少門這種高炮？解設(shè)A表示擊落該飛機(jī)(即至少有一門炮擊中飛機(jī))，且需要

17、配置n門這種高 炮P(A) 1 P(A) 10.6n 0.95lg0.05n6lg0.6因此若要保證以不低于95%勺概率擊落該飛機(jī)，那么該陣地至少需要配置6門 這種高炮.習(xí)題2.1-2.2離散型隨機(jī)變量及其概率分布一填空題k，則該射手的命811.設(shè)離散型隨機(jī)變量X分布律為PX k 5A(1/2) (k 1,2,)則 A=1/52 .一射手對同一目標(biāo)獨(dú)立地進(jìn)行四次射擊，若至少命中一次的概率為中率為_2/33設(shè)一批產(chǎn)品有12件，其中2件次品，10件正品，現(xiàn)從這批產(chǎn)品中任取3件，若用X表示取出的3件產(chǎn)品中的次品件數(shù)，則 X的分布 律為X 012P 6/119/221/22二解答題1從一批有10個合格

18、品與3個次品的產(chǎn)品中一件一件地抽取產(chǎn)品，各種產(chǎn)品被抽到的可能性相同，求在二種情況下，直到取出合格品為止，所求抽取次數(shù)的分布率。(1)放回 (2) 不放回解 (1) PX K (3/13) k 1(10/13)(2)I X1234P10/13(3/13)(10/12)(3/13)(2/12)(10/11)(3/13)(2/12)(1/11)2 設(shè)在獨(dú)立重復(fù)實驗中，每次實驗成功概率為 0.5，問需要進(jìn)行多少次實驗，才能使至少 成功一次的概率不小于 0.9。解：X b(n,0.5)PX 11 P(X 0 1 Cn0.5n0.60.5n0.1,故 n43商店的歷史銷售記錄表明，某種商品每月的銷售服從參

19、數(shù)為10的泊松分布，為了以95%以上的概率保證商品不脫銷，問商店在月底至少應(yīng)進(jìn)商品多少件？解 設(shè)商店每月銷售該商品X本，月底的庫存量為 n件，按題意要求為P X n 0.95，由X服從10的泊松分布，則有n 10k 10 e k 0 k!0.95由附錄的泊松分布表知14 10k 10e0.917k 0 k!0.95 ,15 10kk 0 k!100.9510.95，于是，這家商店只要在月底庫存該商品15件，就可以95%勺概率保證該商品在下個月內(nèi)不 會脫銷.4袋子中裝有5只白球，3只黑球，從中任取1只，如果是黑球就不放回去，并從其它地方 取來一只白球放入袋中，再從袋中取1只球.如此繼續(xù)下去，直到

20、取到白球為止.求直到取到白球為止時所需的取球次數(shù) X的分布律.解：PX158PX2369883232721PX3 888256321 83PX4 888 8256X1234P592138322562565.已知某類產(chǎn)品的次品率為0.2,現(xiàn)從一大批這類產(chǎn)品中隨機(jī)抽查20件，問恰有k件次品的概率是多少？解：X b(20,0.2)PX k 20 (0.2)k(0.8)20kk習(xí)題2.3隨機(jī)變量的分布函數(shù)一填空題1隨機(jī)變量X的分布律為X-1P0.4010.30.3則 P(X 0.3)_072.設(shè)隨機(jī)變量 X B(2 , p)、Y B(1 , p)。若 PX15/9，則 p =設(shè)離散型隨機(jī)變量 X的分布

21、律為：P(X k)aG 0,1,2,.)，則 a k!4e 3解答題1 .設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為X-101p1/41/21/4求它的分布函數(shù)，并求P0 X10,1J解: F(x) 43 ,041 ,0 PX 1-22.一批產(chǎn)品20件中有5件次品，從中任取4件,求其中次品數(shù)的分布函數(shù)值F (2.5)。1 P X 2解：F(2.5 PX 2.5 PX 0 PX43 P0 X 1 PX2 20.968C15C15C5C15C5C4C4C420 20 203 .從學(xué)校乘汽車到火車站的途中有3個交通崗，假設(shè)在各個交通崗遇到紅燈的事件是相互獨(dú)立的，并且概率都是 2/5。設(shè)X為途中遇到紅燈的次數(shù)，求 X的分

22、布律和分布函數(shù)。 解：X的分布律為X0123P32233小23c3 -32C 35553 555即X0123P2754368125125125125所以，X的分布律為X113P0.20.40.40 ,x0,27125 ,0x1,81F(x),1x2,1251172x3,1251 ,x3.4.隨機(jī)變量X的分布函數(shù)：Fxp Xx函數(shù)為4解：禾U用各點的“躍度”可以計算出各點的為 PX 10.2, PX 10.4, PX 30, x 10 21x1求X的分布律。06 1 x 31, x 30.4習(xí)題2-4連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度1.設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量 X的密度函數(shù)為:X,1 - 221X2PP1 -

23、 2p02XX - 2 3-2 0X2.設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量(x)9 -16X的密度函數(shù)為:cex, x 00, x 0(1)求常數(shù)c ；(2)求分布函數(shù)F(x)。解：(1)由 f(x)dx 1.得 cexdxxce0(2) X的分布函數(shù)為xQx 0x te tdt, x 00F(x)f(t)dt10dt0,x 01 e x.x 03.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f (x)2x1x2 ，求X的分布函數(shù)F(x)。0 其他解：X的分布函數(shù)為0,x0xtdt,0 10x11xtdt01 (2 t)dt, 1x21,x2所以F(x)2x2x124 .公共汽車車門的高度是按男子與車門碰頭的機(jī)會在0.01以下來設(shè)

24、計的，設(shè)男子的身高X : N(168,72),問車門的高度應(yīng)如何確定?解：設(shè)車門高度為x0PX x00.01PX x。0.99x01687查表得屮2.33Xo184.31 (米)5.設(shè)K在(0,5)服從均勻分布，求方程24x2 4Kx K 20有實根的概率。20有實根,解：當(dāng) 16k216(k 2)0 時，方程 4x2 4kx k即k 2或k 1時，有實根的概率為251dx 5習(xí)題2-5隨機(jī)變量函數(shù)的分布1.設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為X-2-1013P1/51/61/51/1511/30求Y X2的分布律。解：PY01/5,PY17/30PY41/5PY911/302.設(shè)的分布律如下表所示Xi-2

25、-1/2024Pi1/81/41/81/61/3試求(1)+2；( 2)(1)2的分布律。解： (1)2的分布律為：203/2246Pi1/81/41/81/61/32(2)(1)的分布律為:(1)219/49Pi7/241/411/2423設(shè)隨機(jī)變量 X N(0,1)，試求函數(shù)Y X 概率密度。解:y x20,則 y 1 時FyW) oy 1 時 F/y) PX2yP yx yy 1y.,2 e2yTdy又因為f,y)FyW)1故fY(y), 201 丄2 2 y 2e4. 設(shè)隨機(jī)變量X在(0,服從均勻分布，求丫2ln X的概率密度。1解: fX(X)0X 1其他(1) y 2ln x,h(

26、y)yX ejh(x)J(y)fxh(y) h (y), a y0,其他,1丄 ?e2,y 00else5 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為fx(X)2 ，求隨機(jī)變量Y(1 x )13IX的概率密度函數(shù)fY(y)。解：y g(x)13 x, h(y)X (1y)3,h(x)3(1 y)2, x0時g(x)嚴(yán)格單調(diào)減少fY(y)fXh(y)h(y)3(1y)261 (1 y)第二章復(fù)習(xí)題一填空題1 . 已知隨機(jī)變量X的密度為f(x)a b ax b,0 x0,其它1/25/8 ,則0.3，則 Px 0f(x)dx1解：51f(x)dx1(ax0 28b)dx1a2b 2a 1A11 (ax2b)dx

27、583a4b 5b -22設(shè) X N(2,2)，且 P2x 44 2 2 2 2解：因為 P2 x 40.3, 土二0.3,-0.82 2PX 0110.80.23若隨機(jī)變量在(1, 6)上服從均勻分布，則方程xP 240 P 2 P 26 124dx 0dx - 55 4 即則方程x2+ x+1=0有實根的概率是 一 二選擇題1.設(shè)XN( , 2),那么當(dāng)增大時，PX | A)增大 B)減少C)不變 D)增減不定。答案：CP| X | PX2 (1) 1那么當(dāng)增大時，P| X |不變2設(shè)X的密度函數(shù)為f (x)，分布函數(shù)為F(x)，且f(x) f( x)。那么對任意給定的a+ x+1=0有實

28、根的概率是1解：f(x)5,x (1,6)0,其他都有a1aA) f ( a) 1 o f(x)dxB)F( a) -0 f(x)dxC) F(a) F( a)D) F( a) 2F(a) 1解答：根據(jù)題設(shè)f(x) f ( X)與概率密度的性質(zhì)有0 f(x)dx 12A) F(x)C) F(x)1丄x1x-(1 e ),0,1 1F (x)arcta nx2xF(x) f (t) dt，其中f(t)dt答案：B4.假設(shè)隨機(jī)變量 列各式中正確的是A) F(x) = F(-x);C) f (x) = f (-x);令Y X解答:Fy(x)得f(X的分布函數(shù)為PY x P Xx) f(x)F(x),密度函數(shù)為f(x).若X與-X有相同的分布函數(shù),B)D)F(x) = - F(-x); f (x) = - f (-x).則下xPX x1 F( x) F(x)兩邊求導(dǎo)故選C5.已知隨機(jī)變量X的密度函數(shù)Aef(x)=0,x(0,A為常數(shù))，則概率P X0)的值A(chǔ) )與a無關(guān)，隨 C)與答案：無關(guān)，隨C的增大而增大 a的增大而增大B )與D )與a無關(guān)，隨無關(guān)，隨