高中數(shù)學(xué) 第一章 2解三角形應(yīng)用舉例（4） 必修5

1、2.2解三角形應(yīng)用舉例（4）教學(xué)目標：知識與技能：能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法進一步解決有關(guān)三角形的問題, 掌握三角形的面積公式的簡單推導(dǎo)和應(yīng)用過程與方法：本節(jié)課補充了三角形新的面積公式，巧妙設(shè)疑，引導(dǎo)學(xué)生證明，同時總結(jié)出該公式的特點，循序漸進地具體運用于相關(guān)的題型。另外本節(jié)課的證明題體現(xiàn)了前面所學(xué)知識的生動運用，教師要放手讓學(xué)生摸索，使學(xué)生在具體的論證中靈活把握正弦定理和余弦定理的特點，能不拘一格，一題多解。只要學(xué)生自行掌握了兩定理的特點，就能很快開闊思維，有利地進一步突破難點。情感態(tài)度與價值觀：讓學(xué)生進一步鞏固所學(xué)的知識，加深對所學(xué)定理的理解，提高創(chuàng)新能力；進一步培養(yǎng)學(xué)生研究和發(fā)

2、現(xiàn)能力，讓學(xué)生在探究中體驗愉悅的成功體驗批 注教學(xué)重點：推導(dǎo)三角形的面積公式并解決簡單的相關(guān)題目教學(xué)難點：利用正弦定理、余弦定理來求證簡單的證明題教學(xué)用具：三角板，直尺，投影教學(xué)方法：本節(jié)課補充了三角形新的面積公式，巧妙設(shè)疑，引導(dǎo)學(xué)生證明，同時總結(jié)出該公式的特點，循序漸進地具體運用于相關(guān)的題型。教學(xué)過程：.課題導(dǎo)入創(chuàng)設(shè)情境師：以前我們就已經(jīng)接觸過了三角形的面積公式，今天我們來學(xué)習(xí)它的另一個表達公式。在ABC中，邊BC、CA、AB上的高分別記為h、h、h，那么它們?nèi)绾斡靡阎吅徒潜硎?？生：h=bsinC=csinB h=csinA=asinC h=asinB=bsinaA師：根據(jù)以前學(xué)過的三角形

3、面積公式S=ah,應(yīng)用以上求出的高的公式如h=bsinC代入，可以推導(dǎo)出下面的三角形面積公式，S=absinC，大家能推出其它的幾個公式嗎？生：同理可得，S=bcsinA, S=acsinB師：除了知道某條邊和該邊上的高可求出三角形的面積外，知道哪些條件也可求出三角形的面積呢？生：如能知道三角形的任意兩邊以及它們夾角的正弦即可求解.講授新課范例講解例1、在ABC中，根據(jù)下列條件，求三角形的面積S（精確到0.1cm）（1）已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5;（2）已知B=62.7,C=65.8,b=3.16cm;（3）已知三邊的長分別為a=41.4cm,b=27.3cm,c=

4、38.7cm分析：這是一道在不同已知條件下求三角形的面積的問題，與解三角形問題有密切的關(guān)系，我們可以應(yīng)用解三角形面積的知識，觀察已知什么，尚缺什么？求出需要的元素，就可以求出三角形的面積。解：（1）應(yīng)用S=acsinB，得 S=14.823.5sin148.590.9(cm)(2)根據(jù)正弦定理， = c = S = bcsinA = bA = 180-(B + C)= 180-(62.7+ 65.8)=51.5 S = 3.164.0(cm)(3)根據(jù)余弦定理的推論，得cosB = = 0.7697sinB = 0.6384應(yīng)用S=acsinB，得S 41.438.70.6384511.4(c

5、m)例2、如圖,在某市進行城市環(huán)境建設(shè)中,要把一個三角形的區(qū)域改造成室內(nèi)公園,經(jīng)過測量得到這個三角形區(qū)域的三條邊長分別為68m,88m,127m,這個區(qū)域的面積是多少？（精確到0.1cm）？師：你能把這一實際問題化歸為一道數(shù)學(xué)題目嗎？生：本題可轉(zhuǎn)化為已知三角形的三邊，求角的問題，再利用三角形的面積公式求解。由學(xué)生解答，老師巡視并對學(xué)生解答進行講評小結(jié)。解：設(shè)a=68m,b=88m,c=127m,根據(jù)余弦定理的推論，cosB= =0.7532sinB=0.6578應(yīng)用S=acsinB S 681270.65782840.38(m)答：這個區(qū)域的面積是2840.38m。例3、在ABC中，求證：（1

6、）（2）+=2（bccosA+cacosB+abcosC）分析：這是一道關(guān)于三角形邊角關(guān)系恒等式的證明問題，觀察式子左右兩邊的特點，聯(lián)想到用正弦定理來證明證明：（1）根據(jù)正弦定理，可設(shè) = = = k顯然 k0，所以 左邊= =右邊（2）根據(jù)余弦定理的推論， 右邊=2(bc+ca+ab) =(b+c- a)+(c+a-b)+(a+b-c)=a+b+c=左邊變式練習(xí)1：已知在ABC中，B=30,b=6,c=6,求a及ABC的面積S提示：解有關(guān)已知兩邊和其中一邊對角的問題，注重分情況討論解的個數(shù)。答案：a=6,S=9;a=12,S=18變式練習(xí)2：判斷滿足下列條件的三角形形狀，（1） acosA = bcosB sinC =提示：利用正弦定理或余弦定理，“化邊為角”或“化角為邊”（1） 師：大家嘗試分別用兩個定理進行證明。生1：（余弦定理）得a=bc= 根據(jù)邊的關(guān)系易得是等腰三角形或直角三角形生2：（正弦定理）得sinAcosA=sinBcosB,sin2A=sin2B,2A=2B, A=B 根據(jù)邊的關(guān)系易得是等腰三角形師：根據(jù)該同學(xué)的做法，得到的只有一種情況，而第一位同學(xué)的做法有兩種，請大家思考